§ 3. Ограниченные решения

Как упоминалось в § 1, мы будем пользоваться аппроксимацией, которая основана на доминировании линейных членов в уравнении (9.1). В частности, для того чтобы такая аппроксимация достигала цели, существенно, чтобы решение было ограниченно.

Допустим на время, что для некоторого К, не зависящего от при всех выполняется неравенство

Тогда ниже в (9.42) мы покажем, что можно аппроксимировать функциями причем оценка погрешности будет зависеть от и А:

Теперь отбросим допущение, что неравенство (9.11) справедливо при всех но по-прежнему будем предполагать, что . Будет показано, что функции содержат произвольные постоянные, которые можно выбрать так, чтобы Тогда будут полностью определены и можно будет найти верхнюю границу К, для которой при всех

Предположим, что для лежащих в некоторой окрестности точки можно выбрать К так, чтобы

Тогда

и, следовательно, неравенство (9.11) справедливо для всех Это показывает, что ограниченность тесно связана с ограниченностью Пока мы можем выбрать К, большее, чем К

(возможно, зависящее от е), для которого условия (9.13) справедливы, до тех пор будет иметь место и оценка (9.11) при всех Когда этого сделать нельзя, теория становится неприменимой из-за больших решений.

Нужно отметить, что К может не быть точной верхней границей величин Более того, излагаемая теория не дает нам средства для вычисления этой границы. К может зависеть от Без ограничения общности можно предполагать для удобства, что К не стремится к 0 при т. е. что чем мы и будем пользоваться. Кроме того, мы ограничим К сверху, предположив, что при

Допущения, которые мы сделали, исключают из рассмотрения значения и его производных, столь большие, что Линейные члены в уравнении (9.1) не будут доминировать над нелинейными членами. Наш метод аппроксимации пригоден только при таком доминировании. Хотя пока мы не нуждаемся в предположении (9.14), использование этого предположения с самого начала дает некоторые упрощения.

Не определяя более точно К, мы предположим выполненным неравенство (9.11) и приступим к вычислению функции [см. (9.42)]. Имея эту функцию и К, полученное из оценки (9.12), мы найдем К, удовлетворяющее условиям (9.13). Обычно существует бесконечно много возможных значений К. Наилучшим будет то, которое придает наименьшее значение.

В гл. IX—XI, если не оговорено противное, обозначения и будут относиться к т. е. мы говорим, что или если остается при ограниченным или соответственно стремится к нулю. Отметим, что соотношение не предполагает существования ненулевого предела для при

Теперь мы можем показать, что

Первое из этих соотношений вытекает из того, что, в силу абсолютной сходимости ряда (9.5), он имеет тот же порядок, что его

главные члены, которые удовлетворяют условию (9.II). Третье соотношение следует из условия iii § 1. После этого второе соотношение будет прямым следствием первого, третьего, уравнения (9.1) и условия (9.14). Четвертое, в свою очередь, получается из первого и второго соотношений и условий ii, iii § 1 и (9.14).

Неудобно пользоваться множеством всех корней характеристического уравнения Пусть -конечное множество корней характеристического уравнения (9.6), включающее по крайней мере все те корни, у которых действительные части положительны или имеют небольшие отрицательные значения. Из сказанного в последнем абзаце § 1 и оценок (9.15) следует, что условия теоремы 2.5 выполнены, так что для

По формулам (9.8) — (9.10), для , получим