§ 3. Ограниченные решения
Как упоминалось в § 1, мы будем пользоваться аппроксимацией, которая основана на доминировании линейных членов в уравнении (9.1). В частности, для того чтобы такая аппроксимация достигала цели, существенно, чтобы решение было ограниченно.
Допустим на время, что для некоторого К, не зависящего от 
при всех 
выполняется неравенство
Тогда ниже в (9.42) мы покажем, что 
можно аппроксимировать функциями 
причем оценка погрешности 
будет зависеть от 
и А:
Теперь отбросим допущение, что неравенство (9.11) справедливо при всех 
но по-прежнему будем предполагать, что 
. Будет показано, что функции 
содержат произвольные постоянные, которые можно выбрать так, чтобы 
Тогда 
будут полностью определены и можно будет найти верхнюю границу К, для которой при всех 
Предположим, что для 
лежащих в некоторой окрестности точки 
можно выбрать К так, чтобы
Тогда
и, следовательно, неравенство (9.11) справедливо для всех 
Это показывает, что ограниченность 
тесно связана с ограниченностью 
Пока мы можем выбрать К, большее, чем К
(возможно, зависящее от е), для которого условия (9.13) справедливы, до тех пор будет иметь место и оценка (9.11) при всех 
Когда этого сделать нельзя, теория становится неприменимой из-за больших решений.
Нужно отметить, что К может не быть точной верхней границей величин 
Более того, излагаемая теория не дает нам средства для вычисления этой границы. К может зависеть от 
Без ограничения общности можно предполагать для удобства, что К не стремится к 0 при 
т. е. что 
чем мы и будем пользоваться. Кроме того, мы ограничим К сверху, предположив, что при 
Допущения, которые мы сделали, исключают из рассмотрения значения 
и его производных, столь большие, что Линейные члены в уравнении (9.1) не будут доминировать над нелинейными членами. Наш метод аппроксимации пригоден только при таком доминировании. Хотя пока мы не нуждаемся в предположении (9.14), использование этого предположения с самого начала дает некоторые упрощения.
Не определяя более точно К, мы предположим выполненным неравенство (9.11) и приступим к вычислению функции 
[см. (9.42)]. Имея эту функцию и К, полученное из оценки (9.12), мы найдем К, удовлетворяющее условиям (9.13). Обычно существует бесконечно много возможных значений К. Наилучшим будет то, которое придает 
наименьшее значение.
В гл. IX—XI, если не оговорено противное, обозначения 
и 
будут относиться к 
т. е. мы говорим, что 
или 
если 
остается при 
ограниченным или соответственно стремится к нулю. Отметим, что соотношение 
не предполагает существования ненулевого предела для 
при 
Теперь мы можем показать, что
Первое из этих соотношений вытекает из того, что, в силу абсолютной сходимости ряда (9.5), он имеет тот же порядок, что его
главные члены, которые удовлетворяют условию (9.II). Третье соотношение следует из условия iii § 1. После этого второе соотношение будет прямым следствием первого, третьего, уравнения (9.1) и условия (9.14). Четвертое, в свою очередь, получается из первого и второго соотношений и условий ii, iii § 1 и (9.14).
Неудобно пользоваться множеством всех корней характеристического уравнения 
Пусть 
-конечное множество корней характеристического уравнения (9.6), включающее по крайней мере все те корни, у которых действительные части положительны или имеют небольшие отрицательные значения. Из сказанного в последнем абзаце § 1 и оценок (9.15) следует, что условия теоремы 2.5 выполнены, так что для 
По формулам (9.8) — (9.10), для 
, получим
