§ 4. Уравнение y'_k(t)-y_k-1(t) = w_k(t)

Это уравнение или уравнения, легко сводящиеся к нему, изучали Бейтмен [1], [4], Дёч [2] и Гершель [1].

Функция интегрируема по на действительном интервале I и по А на любом конечном интервале в области Кроме того, имеет ограниченную вариацию по для и Начальные условия состоят в том, что задана и интегрируема по на интервале и по А для и для некоторого значения из задана и интегрируема по А на любом конечном интервале в области .

Наше уравнение получается, если мы подставим в уравнение (1) приложения А следующие значения: и

По теореме 1 приложения А, наше уравнение имеет единственное решение такое, что интегрируемы по на интервале и по на любом конечном интервале в области и имеют ограниченную вариацию по для

Следовательно, преобразования Эйлера — Лапласа функций существуют, если пределы интегрирования а и лежат в Мы можем записать

Умножив наше уравнение на проинтегрируем его от до и подставим найденные выше выражения:

Решение этого уравнения будет иметь вид

где

Обращая (7.14) по теореме 1.4, получим для

где путь интегрирования проходит справа от начала координат. В силу (7.12) и (7.13), это выражение можно записать в виде

Замкнем контуры интегрирования в первом и втором интеграле по добавив правую и левую полуокружности бесконечно большого радиуса. Тогда подинтегральное выражение во втором интеграле будет регулярной функцией внутри его контура, и поэтому второй интеграл равен нулю. Подинтегральное выражение в первом интеграле имеет полюс в точке По теореме о вычетах,

для Здесь а было положено равным .