§ 3. Уравнение Ван дер Поля
Одним из наиболее известных нелинейных дифференциальных уравнений является уравнение Ван дер Поля
где 
- малый положительный параметр.
Уравнение (10.7) имеет вид (9.1) с 
Условия 
§ 1 гл. IX удовлетворяются, если заданы значения 
.
Согласно (9.6), характеристическая функция будет иметь вид
Характеристическое уравнение имеет два корня, которые мы обозначим 
(опуская индекс 1 в этом частном случае). Тогда 
В силу (9.55),
Следовательно, левая часть равенства (9.56) будет иметь вид
Поэтому из (9.56) вытекает, что
Согласно (9.59), уравнениями усреднений будут
Полагая
преобразуем их к виду
Эти уравнения имеют решение
где С — произвольная постоянная. Следовательно, по (10.9),
где 
произвольная постоянная.
По (9.39), 
По (9.60), 
. Условия (9.61) удовлетворяются.
Согласно (9.64), решение уравнения (10.7) может быть записано в виде
где 
произвольные постоянные, которые могут быть определены по начальным условиям.
