§ 2. Уравнение y'(t)-1/(2k)[y(t+1)-y(t-1)] = 0

Это уравнение изучали Лекорню и Титчмарш [2] (стр. 382),

Величина постоянна. Начальное условие состоит в том, что функция предполагается заданной, аналитической в окрестности отрезка и удовлетворяющей уравнению при

Мы получим разложение решения в ряд только для В случае разложение может быть легко получено отсюда в силу симметрии уравнения. Для наших целей уравнение можно переписать в виде

Это уравнение вида (2.4) с Так как то для получения решения в виде ряда мы должны использовать теорему 2.4. Однако в этой теореме требуется, чтобы было положительным. Мы обходим эту трудность дифференцированием уравнения, что дает

Это уравнение вида (2.4) с Предположения теоремы 2.4 выполнены, так что уравнение имеет единственное аналитическое решение в окрестности Луча действительной оси.

Характеристическим уравнением, согласно (2.12), будет

D-диаграмма для этого уравнения содержит точки и Имеются две цепи асимптотических корней. В силу (3.12) и (3.13), для больших положительных целых

Уравнение (6.2) имеет двойной корень при и четырехкратный корень при Все другие корни характеристического уравнения простые, за исключением случая, когда где В этом случае имеются двойные корни

Положив и отделив в (6.2) действительную и мнимую части, получим

При заданном можно построить графики левых и правых частей этих уравнений. Точки пересечения графиков дают корни уравнения (6.2), в частности малые корни, которые не могут быть получены по формулам (6.3). Точность, можно при желании улучшить с помощью методов § 7 гл. III.

Если все корни уравнения (6.2) простые, за исключением двойного корня согласно (2.11), решением в виде ряда рассматриваемого дифференциально-разностного уравнения будет

где суммирование производится по всем корням характеристического уравнения, за исключением Интегрируя по частям, получаем

где суммирование производится по всем корням характеристического уравнения, за исключением Ряд сходится абсолютно и равномерно на каждом конечном интервале в области