§ 2. Уравнение 2y'_k(t)-y_k+1(t)-y_k-1(t) = w_k(t)

Это уравнение или уравнения, легко сводящиеся к нему, изучали Бейтмен [1], [4], Буль [1], Деч [2], Грегори [1], [2], Гершель [1], Лакруа 11], Нильсен [1], Ольтрамар [2], [3], Паоли [1], Шредингер [1] и Сонин [1].

Функция интегрируема области I комплексной -плоскости и по А для —1. Кроме того, аналитична по для Начальные условия состоят в том, что задана и интегрируема по в области и по для и аналитична по для

Наше уравнение может быть переписано в виде

Это уравнение совпадает с уравнением (1) приложения А при и

Иначе говоря, если эти значения подставить в уравнение (1) приложения А, то получится уравнение (7.1). Поэтому уравнение (7.1) имеет, по теореме 3 приложения А, единственное решение которое интегрируемо по в области и по на любом конечном интервале в области и аналитично по для и — 2.

Следовательно, должны существовать преобразования Эйлера — Лапласа функций и их производных по если область интегрирования лежит в Мы можем записать

Умножив уравнение (7.1) на проинтегрируем его от до и подставим найденные выражения. Получим

Непосредственной подстановкой можно проверить, что решением этого уравнения будет

где полином Чебышева второго рода, определяемый соотношением

Несколько раз интегрируя (7.2) по частям, получаем

Следовательно,

где - полином. Подставим это в (7,4):

где и (2) — полиномы от Это выражение можно обратить по теореме 1.4. Для найдем

В обоих интегралах контуры интегрирования могут быть сделаны замкнутыми путем добавления соответственно правой или левой полуокружности бесконечно большого радиуса. Так как подинтегральные выражения внутри этих контуров аналитичны, то интегралы оказываются равными нулю. Поэтому для