§ 3. Уравнение y'_k(t)-y_k+1(t) = w_k(t)

Это уравнение, или уравнения, легко сводящиеся к нему, изучали Бейтмен [4], Буль [1], Грегори [1], [2], Паоли [1] и особенно Трусделл

Функция интегрируема по в области I комплексной -плоскости и по для —1. Кроме того, аналитична по для Начальные условия состоят в том, что задана и интегрируема по в области и по для и аналитична по для

Наше уравнение можно переписать в виде

Это уравнение получается, если мы подставим в уравнение (1) приложения А следующие значения: и

По теореме 3 приложения А, уравнение (7.8) имеет единственное решение которое интегрируемо по в области и по на любом конечном интервале в области и аналитично по для

Следовательно, должны существовать преобразования Эйлера —

Лапласа функций и их производных по если область интегрирования лежит в Мы можем записать

Умножив уравнение (7.8) на проинтегрируем его от до и подставим найденные выражения:

Решение этого уравнения будет иметь вид

где Следовательно, по (7.6),

где и -полиномы от Мы можем обратить это выражение по теореме 1.4. Для имеем

В обоих интегралах контуры интегрирования могут быть сделаны замкнутыми путем добавления соответственно правой и левой полуокружности бесконечно большого радиуса. Так как подинтегральные выражения внутри этих контуров аналитичны, то интегралы оказываются равными нулю. Поэтому для и