Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3. Метод Ритца.Ряд важных математических задач сводится к минимизации квадратичного функционала. Примером является решение корректно или некорректно поставленных задач для линейного операторного уравнения (54), приводящее к одному из функционалов (55), (56) или (58). Если в качестве пробных функций взять обобщенные многочлены
то на них квадратичный функционал будет квадратичной функцией параметров Обсудим выбор функций
Выберем какую-нибудь гладкую функцию
или
Остальные функции выберем так, чтобы они удовлетворяли однородным краевым условиям типа (72) и при этом образовывали бы полную систему. Например, согласно теореме Вейерштрасса любую непрерывную функцию можно аппроксимировать со сколь угодно высокой точностью алгебраическими или тригонометрическими многочленами. Поэтому можно положить
или
В этом случае пробные функции (71) при любых коэффициентах Пример. Рассмотрим задачу на минимум квадратичного функционала (58) с вещественным симметричным положительным оператором А:
Подставляя в этот функционал пробные функции Ритца (71), получим квадратичную функцию свободных параметров
Приравнивая нулю производные этой квадратичной функции по параметрам, получим для определения параметров линейную систему уравнений
Дадим схему исследования сходимости, не останавливаясь на деталях. В этом примере удобно ввести норму, связанную с данным положительным оператором А:
Сделаем естественное предположение, что эта норма не слабее Найдем вариацию функционала (74) на произвольной функции
Первое слагаемое этой вариации равно
Таким образом, последнее условие (70) теоремы о сходимости выполнено и метод Ритца в данном примере сходится. Заметим, что для не квадратичных функционалов 4. Сеточный метод. Введем сетку по аргументу
Решая задачу Например, рассмотрим сферически-симметричный сжатый атом в модели Томаса—Ферми; его энергия задается функционалом (65), где интегралы берутся по сферической атомной ячейке радиуса R. Вводя равномерную сетку
где атомный потенциал
а коэффициенты
причем это условие также надо приближенно записать в сеточной форме. Выражения (79а), (796) достаточно сложные, и при большом числе узлов сетки найти минимум численными методами трудно. Очевидно, что для произвольных функционалов число узлов сетки, которое практически возможно использовать в расчетах, очень невелико: оно не превышает 10 — 20. Однако даже при таком числе узлов нередко удается получить неплохую точность при умеренном объеме расчетов, используя прием сгущения сеток. Для этого выполняют серию расчетов на сгущающихся вдвое сетках с числами интервалов На каждой сетке минимум функции Для квадратичных функционалов при использовании линейных формул численного дифференцирования и интегрирования задача (78), как и в методе Ритца, сводится к нахождению минимума квадратичной функции. Например, возьмем функционал (62), но на ограниченном отрезке
Отыскание минимума опять сводится к решению линейной системы уравнений с неизвестными Пусть функционал имеет вид (69), т. е. явно содержит функцию и ее производные вплоть до В качестве пробных функций возьмём сплайны В качестве примера рассмотрим квадратичный функционал типа (62), содержащий первую производную:
Сплайн должен иметь порядок тоже не ниже первого. Ограничимся простейшим сплайном первого порядка — ломаной линией, проведенной через точки
Надо разбить интеграл (81) на сумму интегралов по отдельным интервалам сетки и каждый из этих интегралов вычислить, используя заданный закон интерполяции (82). Например, поскольку
Аналогично вычисляются остальные слагаемые в (81). Получающиеся выражения имеют более сложный вид, чем при не сплайновой аппроксимации (80); использование сплайнов высших порядков привело бы к еще более сложным выражениям (зато получающиеся при этом сеточные схемы имели бы более высокий порядок точности). Тем не менее, поскольку сами сплайны линейно зависят от узловых значений функции, то подстановка их в квадратичный функционал приводит к задаче на минимум квадратичной формы. Поэтому такой подстановкой пользуются даже для многомерных функционалов, к которым сводятся краевые задачи для эллиптических уравнений в частных производных Коснемся построения сплайнов в многомерных задачах. Если область G двумерна, то ее можно разбить на треугольные ячейки (у граничных ячеек одна сторона может быть не прямой). В каждой ячейке Описанный способ построения линейного сплайна естественно обобщается на случай любого числа измерений. При этом область G следует разбить на многомерные симплексы. Но для построения сплайнов более высокого порядка этот несложный алгоритм не годится: в этом случае он не гарантирует непрерывности и требуемой гладкости сплайновой поверхности на границах ячеек. Требования непрерывности функции и некоторого числа ее производных на границах ячеек надо формулировать в виде дополнительных уравнений, которым должны удовлетворять коэффициенты сплайнов. Надо, чтобы полное число уравнений равнялось полному числу коэффициентов; это будет не при любой форме ячейки. Например, рассмотрим двумерный кубический сплайн
|
1 |
Оглавление
|