Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3. Фазовый метод.Классическая задача для уравнения второго порядка (88) имеет много важных физических приложений. В частности, к этому уравнению приводит квантовомеханическая задача об уровнях энергии частицы, движущейся в заданном одномерном (например, сферически-симметричном) поле. В последнем случае задача Коши для уравнения (88) оказывается очень плохо обусловленной: общее решение уравнения обращается в бесконечность на обоих концах отрезка Воспользуемся тем, что качественное поведение решения известно. Решение имеет осциллирующий характер, причем амплитуда может сильно зависеть от координаты. Введем амплитуду
Это соотношение неоднозначно определяет амплитуду и фазу. Для определенности подчиним их дополнительному соотношению
Наглядный смысл его состоит в том, что если взять вектор с координатами и, и, т. е. перейти в фазовую плоскость, то Дифференцируя (89а) и (896) и сравнивая их между собой, получим соотношения
Исключая при помощи этих соотношений и формул (89) функцию
Граничные условия (88) при этом естественно приписываются фазе. Если надо найти решение, соответствующее квантовому числу
Таким образом, мы получили задачу на собственные значения (91)-(92) только для уравнения фазы. Она легко решается методом стрельбы, поскольку задача Коши для уравнения (91) хорошо обусловлена. Важной особенностью этой задачи является то, что правому краевому условию (92) удовлетворяет только одно определенное После нахождения фазы уравнение для амплитуды легко интегрируется в квадратурах
Амплитуда определена с точностью до множителя и не меняет знака, как и должно быть по смыслу задачи. Замечание 1. Задача (88) может иметь и другие типы краевых условий. Если исходное краевое условие имеет вид и
Замечание 2. Фаза Замечание 3. Для преодоления последнего недостатка предложена замена функций, несколько более сложная, чем (89), но зато делающая 4. Разностный метод обычно используется в тех случаях, когда стрельба оказывается многопараметрической, или если задача Коши для исходного дифференциального уравнения плохо обусловлена. Формулируется он так же, как для краевых задач. Введем на
(для простоты записи мы ограничиваемся случаем одного собственного значения). Эта система содержит Возникают те же вопросы, что и в краевых задачах. Имеет ли алгебраическая система (93) решение? Если имеет, то как его фактически вычислить? Если разностное решение найдено, то насколько оно близко к точному решению? Сейчас мы рассмотрим линейные задачи, для которых на эти вопросы ответить легче. Пусть исходная задача является линейной и однородной относительно
где Задача (94) имеет спектр собственных значений, состоящий из Собственные значения и собственные векторы линейной системы (93) вычисляют методами, описанными в главе VI. Поскольку во многих приложениях матрица системы трехдиагональная (реже — пятидиагональная), а нужны только несколько первых собственных, значений, то выгодно применять метод Дервюдье (см. главу VI, § 4, п. 2). При небольшом числе интервалов сетки удобно также находить корни характеристического многочлена методом парабол, вычисляя сам многочлен по рекуррентным соотношениям (см. главу VI, § 1, п. 4). Сходимость разностного решения к точному при
Оказывается, что простейшая схема (94) дает не очень хорошие, а при разрывных коэффициентах — даже неверные результаты. Следует составлять консервативные разностные схемы (они будут подробно рассмотрены в главах X и XI). Если коэффициенты уравнения непрерывны вместе со своими вторыми производными, то простейшие консервативные схемы обеспечивают равномерную сходимость Пример. Рассмотрим частный случай задачи Штурма—Лиувилля
Точное решение этой задачи есть Выполняя расчеты для сеток с числом интервалов Они представлены в таблице 22 вместе с точными значениями Таблица 22
На этом примере хорошо видно, что сочетание схемы невысокого (обычно второго) порядка точности с правилом Рунге выгодно: оно обеспечивает высокую точность расчета при несложном алгоритме. Схемы высокого порядка точности обычно довольно громоздки, и организация расчета по ним сложнее.
|
1 |
Оглавление
|