Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2. Величина и доверительный интервал.Пусть измерение проводят несколько раз, причем условия эксперимента поддерживают, насколько возможно, неизменными. Поскольку строго соблюдать неизменность условий невозможно, результаты отдельных измерений Очевидно, математическое ожидание Обработка измерений основана на центральной предельной теореме теории вероятностей: если с есть случайная величина, распределенная по любому закону, то
есть также случайная величина, причем
а закон распределения величины
является приближенным значением измеряемой величины, причем с тем большей надежностью, чем больше число измерений Однако равенство не является точным, и нельзя даже строго указать предел его ошибки; в принципе Ошибка приближенного равенства (2) носит вероятностный характер и описывается доверительным интервалом Р, т. е. границей, которую с доверительной вероятностью
Доверительный интервал зависит от закона распределения Доверительную вероятность Замечание 1. Пусть требуется найти величину z, но измерять удобнее величину
так, среднее значение переменного тока равно нулю, а средний джоулев нагрев отличен от нуля. Поэтому, если мы вычислим сначала Ширина доверительного интервала. Если известна плотность распределения
относительно
здесь Подставляя (5) в (4) и полагая
Интеграл ошибок, стоящий в правой части (6), табулирован, так что из этого соотношения можно определить доверительный интервал Из таблицы 23 видно, что доверительный интервал Таким образом, если известна дисперсия Критерий Стьюдента. Чаще всего дисперсия D? неизвестна, поэтому выполнить оценку ошибки указанным выше способом обычно не удается. При этом точность однократного измерения неизвестна. Однако, если измерение повторено несколько раз, можно приближенно найти дисперсию:
Точность этого выражения невелика по двум причинам: во-первых, число членов суммы обычно мало; во-вторых, использование замены вносит ошибку
где величину s называют стандартом выборки. Далее будем пользоваться только оценкой (8). Оценка (8) также является приближенной, поэтому нельзя пользоваться формулой (6), заменяя в ней
где коэффициенты Стьюдента Таблица 23 Коэффициенты Стьюдента
Очевидно, при больших Пример 1. Выбрано К сожалению, не все физики и инженеры знакомы с понятием доверительного интервала и критерием Стьюдента. Нередко встречаются экспериментальные работы, в которых при малом числе измерений пользуются критерием Для приведенного выше йримера при первой ошибке был бы дан ответ Замечание 2. Зачастую одна и та же величина Нередко при этом суммарный стандарт s оказывается больше, чем стандарты Значит, при совместной обработке разнотипных измерений обычно систематическая ошибка значения Замечание 3. Если в разных лабораториях используется оборудование разного класса точности, то при такой совместной обработке надо суммировать с весами
где Произвольное распределение. Чаще всего число измерений Для произвольного распределения
Отсюда можно оценить доверительный интервал:
Коэффициент Из таблицы видно, что если в качестве доверительной вероятности принять Разумеется, если вместо Проверка нормальности распределения. Из сравнения критериев (6) и (11) видно, что даже при невысокой доверительной вероятности Распространенный способ проверки — исследование так называемых центральных моментов распределения:
Два первых момента, по определению, равны Удобно вычислять не сами моменты, а составленные из них безразмерные комбинации — асимметрию
где s определяется формулой (8). Собственные дисперсии этих величин известны и зависят только от числа измерений:
причем собственное распределение А является симметричным. Поэтому, если выполняются соотношения
то по критерию Чебышева (11) отличие А и Е от нуля недостоверно, так что можно принять гипотезу о нормальности распределения Формулы (13)-(15) непосредственно относятся к распределению единичного измерения. На самом деле надо проверить, нормально ли распределение среднеарифметического Разумеется, такую тщательную проверку проводят не в каждой измеряемой точке, а лишь во время отработки методики эксперимента. Замечание 4. Аналогично проверяют любые естественнонаучные гипотезы. Производят большое число экспериментов и выясняют, нет ли среди них событий, маловероятных с точки зрения этой гипотезы. Если найдутся такие события, то гипотезу отвергают, если нет — условно принимают. Выбор Чтобы найти удовлетворяющее этому требованию
где коэффициенты Стьюдента Из таблицы 23 видно, что при Пример 2. Отношение систематической ошибки к стандарту выборки оказалось Обнаружение грубых ошибок. Отличить грубую ошибку от случайной не всегда легко. Если число измерений мало, то широк доверительный интервал и даже значительные отклонения от среднего в него укладываются. Если же Пусть сделано
Предполагая, что g имеет нормальное распределение, сравнивая (17) с критерием Стьюдента (9) и учитывая, что величина s вычислена по всей выборке, а применяется к отклонению единичного измерения, получим
Вместо неизвестной величины
поскольку они носят вероятностный характер, то к ним надо применять не неравенство треугольника, а суммирование квадратов, что дает
Подставляя сюда найденные Если для всех измеренных величин выполняется оценка
то нет оснований считать одну из них грубо ошибочной. Если какое-либо измерение не укладывается в пределы (20), то его можно считать грубо ошибочным и отбрасывать. Общепринятых критериев для выбора вероятности Пример 3. Пусть проведено
|
1 |
Оглавление
|