Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2. Метод стрельбы (называемый также баллистическим).Это численный метод, заключающийся в сведении краевой задачи к некоторой задаче Кощи для той же системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим его на примере простейшей задачи для системы двух уравнений первого порядка с краевыми условиями достаточно общего вида
Выберем произвольно значение и При этом получим решение и Значение
не обратится в нуль. Надо каким-либо способом менять параметр
Эта алгебраическая задача изучена в главе V, § 2. Рассмотрим, какие методы ее решения целесообразно применять в данном случае. Простейшим является метод дихотомии. Делают пробные Однако нахождение каждого нового значения функции Если правые части уравнений (50а) и левые части краевых условий (50б) имеют непрерывные и ограниченные первые производные, то
Входящие сюда производные по параметру от решения задачи Коши можно найти, если продифференцировать по этому параметру систему (50а). Вводя обозначения
и дифференцируя (50а) по параметру, получим
Одно из начальных условий для этой системы очевидно:
Интегрируя систему (55а) с начальными условиями (556) совместно с задачей Коши для системы (50а), определим вспомогательные функции
Однако описанный способ требует интегрирования лишней пары дифференциальных уравнений, что приводит к усложнению и двукратному увеличению трудоемкости каждой итерации. Поэтому им пользуются не часто. Можно избежать этого усложнения, если решать уравнение (52) разностным аналогом метода Ньютона — методом секущих. Для этого первые два расчета делают с наудачу выбранными значениями
Вместо этого процесса можно использовать метод парабол, в котором также не требуется располагать явным выражением производных, а достаточно лишь знать об их существовании. Напомним, что последние три метода быстро сходятся вблизи корня; сходимость вдали от корня зависит от того, насколько удачно выбрано нулевое приближение. Линейные задачи решаются методом стрельбы особенно просто. Пусть система (50а) и краевые условия (506) линейны;
Тогда начальные условия соответствующей задачи Коши примут вид
Нетрудно сообразить, что решение задачи Коши (58а), (58в) будет линейно зависеть от параметра Но линейная функция одного аргумента полностью определяется своими значениями в любых двух точках Замечание. Для линейных задач можно несколько уменьшить объем расчетов, если воспользоваться тем, что общее решение линейной неоднородной системы равно сумме ее какого-нибудь частного решения и общего решения соответствующей однородной системы. Найдем частное решение неоднородной системы (58а), (58в), соответствующее значению
вычислим ее решение и обозначим его через
Значение параметра с выбираем так, чтобы удовлетворить правому краевому условию (586):
Затем найдем искомое решение по формуле (59), что позволяет избежать третьего интегрирования задачи Коши. Метод стрельбы прост, применим как к линейным, так и к нелинейным задачам и позволяет использовать при численном интегрировании схемы Рунге—Кутта (или другие) высокого порядка точности. К большинству задач типа (50) он применяется успешно. Затруднения возникают в тех случаях, когда краевая задача (50) хорошо обусловлена, а соответствующая ей задача Коши плохо обусловлена. При этом численное интегрирование задачи Коши определяет функцию В этом случае пробуют поставить начальные условия на другом конце отрезка Если изменение направления интегрирования не помогает, то такую краевую задачу решают либо специальными, либо разностными методами. Одним из специальных методов для линейных краевых задач является дифференциальная прогонка (ее идея предложена в [1], а подробное описание алгоритма имеется, например, в [3, 4]). Этот метод хорошо устойчив именно в том случае, когда задача Коши для исходной линейной системы плохо обусловлена; этот факт вызывал одно время большой интерес к прогонке. Однако при хорошей устойчивости линейной задачи Коши прогонка становится недостаточно устойчивой. Поэтому в настоящее время дифференциальная прогонка употребляется не часто. Обычно используются ее разностные аналоги, рассматриваемые ниже; они обеспечивают удовлетворительную устойчивость расчета в большинстве интересных случаев.
|
1 |
Оглавление
|