Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2. Продольно-поперечная схемаНазываемая также схемой переменных направлений, является одной из лучших двумерных экономичных схем. Выберем изображенный на рис. 83 шаблон, содержащий полуцелый слой
где разностные операторы Исследуем продольно-поперечную схему. Вычисление разностного Поэтому значения Наоборот, при переходе при помощи уравнений (596) с полуцелого слоя на целый схема явна по направлению Как и в одномерной схеме (6), диагональные матричные элементы в уравнениях (59) преобладают; следовательно, прогонка устойчива, а разностное решение существует и единственно. Устойчивость продольно-поперечной схемы исследуем методом разделения переменных. Множители роста гармоники на первом и втором полушаге по времени могут быть различными. Поэтому положим
Подставляя соотношения (60) в схему (59), получим множители роста
Нетрудно заметить, что для всех гармоник при любых шагах выполняется неравенство Нетрудно проверить, что дополнительный признак устойчивости по правой части (9.54) выполняется на каждом полушаге по времени. Следовательно, схема (59) устойчива по правой части. Замечание 1. Если Замечание 2. Суммарный множитель роста Аппроксимация. При переходе с целого на полуцелый слой каждая пространственная разность вычисляется несимметрично по времени и погрешность равна В этом легко убедиться при помощи следующего преобразования. Вычитая уравнение (596) из (59а), получим
Сложим уравнения (59) и подставим в них полученное значение
Предпоследний член справа есть Остановимся на аппроксимации краевых условий (556). На целом слое в уравнения продольно-поперечной схемы (59) входят значения решения
Для полуцелого слоя требуются значения
аналогичное условие записывается для стороны Сходимость. Проведенное исследование аппроксимации и устойчивости показывает, что схема (59) безусловно сходится в Более сложными методами можно доказать равномерную сходимость со вторым порядком точности. Отметим некоторые усложнения исходной задачи (55). Произвольная область. Пусть для уравнения (55а) в области произвольной формы заданы краевые условия первого рода
Тогда разностное краевое условие (646) не удается применить, ибо неясно, как вычислять
где у — множество граничных узлов. Погрешность аппроксимации условия (65) на полуцелом слое равна Если область ступенчатая, т. е. составлена из прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат, то в ней можно написать краевое условие повышенной точности (646). В этом случае схема (59) имеет второй порядок точности. Переменный коэффициент теплопроводности. Для уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом можно составить два варианта продольно-поперечной схемы, являющихся обобщением наилучшей схемы (34). В первом варианте на всех слоях исходном, полуцелом и новом целом разностный коэффициент теплопроводности я приписывают полуцелому слою i] во втором варианте на этих слоях берут соответственно Оба варианта успешно применяются на практике. Второй вариант лучше исследован теоретически; для него доказана безусловная сходимость в прямоугольной области с точностью Анизотропная теплопроводность в простейшем случае приводит к тому, что по каждому направлению имеется свой коэффициент
Продольно-поперечная схема, ее обобщения и все теоретические обоснования переносятся на этот случай практически без изменений.
|
1 |
Оглавление
|