Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
7. Диссипативные схемы.Когда устойчивость линейных разностных схем исследуется методом разделения переменных, то для каждой гармоники определяют ее множитель роста Схема устойчива, если
где Схема обладает аппроксимационной вязкостью, если Это требование реализуется у многих схем. Например, схема (9) имеет множитель роста (15), который с учетом замечания об ограниченности числа гармоник принимает вид
Легко проверить, что если Аналогично доказывается, что схема (10) обладает аппроксимационной вязкостью при У схемы второго порядка точности (12) множитель роста (18) таков, что При наличии аппроксимационной вязкости гармоники с q Ф О затухают, напоминая тем самым точное решение (9.7а) параболического уравнения. В точном решении параболического уравнения разрывы начальных данных сглаживаются со временем. Из рис. 68 было видно, что расчет по схеме с аппроксимационной вязкостью (11) приводит к аналогичному сглаживанию разрыва начальных данных, а расчет по схеме без аппроксимационной вязкости (12) — нет. Понятие аппроксимационной вязкости применимо к линейным схемам. Для произвольных разностных схем, как линейных, так и нелинейных, можно ввести понятие первого дифференциального приближения. Пусть дифференциальное уравнение
где В — некоторый дифференциальный оператор (обычно оператор В содержит производные, порядок которых на
Это означает, что разностная схема Первым дифференциальным приближением разностной схемы
Разностная схема аппроксимирует свое первое дифференциальное приближение более точно, чем исходное уравнение. Поэтому следует ожидать, что свойства разностного решения будут во многом напоминать свойства точных решений уравнения (41). Пусть уравнение (41) является диссипативным, т. е. описывает какой-либо физический процесс с затуханием: теплопроводность (это сильное затухание), колебания в вязкой среде (слабое затухание) и т. д. Такие процессы приводят к более или менее быстрому сглаживанию разрывов начальных данных. Обычно в этих случаях разностное решение тоже имеет сглаженный вид. Наоборот, если уравнение (41) является недиссипативным, например чисто колебательным, то разрывы его решений не сглаживаются. В разностном решении при этом легко возникает слабо затухающая (или совсем не затухающая) «разболтка». Примеры. Рассмотрим однородную разностную схему (9), полагая
Если Случай Рассмотрим однородную разностную схему (12). Если учесть, что для однородного уравнения переноса выполняется соотношение
то главный член невязки (17) этой схемы принимает вид
которое не содержит диссипативных членов. Действительно, из рис. 68 было видно, что схема (12) не сглаживает разрывы решения. Если разностная схема обладает аппроксимационной вязкостью или ее первое дифференциальное приближение является уравнением с диссипативными членами, то схему называют диссипативной. Обычно в расчетах по таким схемам разболтки не возникает или она невелика; поэтому понятие диссипативности плодотворно используется при качественном анализе разностных схем. Однако это понятие не является строгим, и полученные при его помощи выводы надо проверять другими методами.
|
1 |
Оглавление
|