Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ГЛАВА XI. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯГлава XI посвящена численному решению уравнений параболического типа. В § 1 рассмотрены одномерные задачи, начиная от случая простейшего уравнения с постоянными коэффициентами и кончая квазилинейным уравнением с разрывными коэффициентами в криволинейных координатах. Разобраны основные разностные схемы, используемые для решения таких задач. В § 2 обсуждены принципиальные трудности, возникающие при переходе к случаю многих измерений; изложены продольно-поперечная прогонка, дающая хорошие результаты при решении задач с двумя пространственными переменными, и локально-одномерный метод, пригодный при любом числе измерений. § 1. Одномерные уравнения1. Постановки задач.К параболическим уравнениям приводят задачи теплопроводности, диффузии и ряд других. Типичной полной постановкой одномерной задачи является, например, первая краевая задача для случая линейной теплопроводности в однородной среде:
Она включает в себя задание самого уравнения, начальных данных на некотором отрезке и краевых условий на обоих концах этого отрезка. Наиболее хорошо изучены линейные задачи, в которых и уравнение и краевые условия линейны. Для таких задач рассматривают три типа краевых условий. Условия первого рода (2) применительно к уравнению теплопроводности означают, что на границах задана зависимость температуры и от времени. Условия второго рода
соответствуют заданию тепловых потоков через границы. Условия третьего рода
возникают, если на границах имеется линейный (ньютоновский) теплообмен с окружающей средой. Для задачи (1) с краевыми условиями (2), (3) или (4) корректность постановки доказана (см., например, [40]). Часто встречаются и нелинейные задачи. Например, в главе IX было рассмотрено квазилинейное уравнение (9.9), связанное с задачами теплопроводности в плазме. Краевые условия также могут быть нелинейными; так, остывание черного тела за счет излучения с поверхности приводит к краевому условию
В главе IX отмечалась важная качественная особенность решений параболических уравнений: разрывы начальных данных сглаживаются с течением времени. Другое любопытное свойство следует из вида функции точечного источника на бесконечной прямой для линейного уравнения
Если Следовательно, при Строго говоря, параболическое уравнение лишь приближенно описывает процесс теплопроводности. На самом деле скорость распространения тепла конечна и не превышает (при молекулярной или электронной теплопроводности) тепловой скорости частиц. Влияние же удаленных точек, как видно из выражения для функции Грина (5), ослабевает очень быстро; отрезку времени Этисоображения надо учитывать при построении разностных схем, поскольку, как отмечалось в главе X, правильный учет зоны влияния необходим для устойчивости схемы. 2. Семейство неявных схем. Рассмотрим простейшие, но хорошие разностные схемы для уравнения теплопроводности (1) с постоянным коэффициентом:
Возьмем в области
Здесь записано меньше уравнений, чем имеется неизвестных
Рис. 76. В качестве правой части Схема (6а, б) содержит параметр а; он является весовым множителем при пространственной производной с верхнего слоя. Поэтому (6а, б) есть однопараметрическое семейство схем. Меняя вес о, можно добиться улучшения тех или иных свойств схемы. Исследуем схему (6а, б). Существование решения и его вычисление. Если Если
На каждом слое уравнения (7) образуют линейную систему с неизвестными Таким образом, при Замечание 1. При Аппроксимация. Разложим решение в узлах шаблона рис. 76 по формуле Тейлора, выбирая за центр разложения точку
где все производные отнесены к центру разложения. Разложение для получается из (8) изменением знака h, разложение для
Отсюда видно, что если положить Надо проверить аппроксимацию не только уравнения, но и начальных и краевых условий. Начальное условие (16) и краевые условия первого рода (2) мы аппроксимировали точно, положив Замечание 2. Для k = const за счет специального выбора веса и правой части можно построить схемы повышенной точности. Для решения
Подставляя его в (9), преобразуем невязку:
Если положить
то обе квадратные скобки в (10) обратятся в нуль и погрешность аппроксимации схемы (6), (11) будет равной Замечание 3. Можно заменить
Этот вариант схемы повышенной точности имеет аппроксимацию также Замечание 4. Приведенные оценки аппроксимации справедливы, если непрерывны те производные решения и Устойчивость. Исследуем устойчивость по начальным данным методом разделения переменных. Поскольку схема (б) линейна, то для этого достаточно положить в ней
Он вещественный, причем при любом
Последнее неравенство является условием равномерной устойчивости схемы (6) по начальным данным (в Примененный здесь простейший вариант метода резделения переменных не является строгим. Однако для схемы на равномерной сетке (6) нетрудно проверить, что функции
являются собственными функциями разностной задачи Штурма — Лиувилля для (6). Соответствующие им собственные значения имеют вид (13), причем Дополнительное условие устойчивости по правой части (9.54), как легко видеть из (6), выполняется при любых Для чисто неявной схемы, симметричной схемы и схемы повышенной точности условие (14) выполняется при любом соотношении шагов Замечание 5. Справедливо более сильное утверждение: все эти схемы устойчивы в
Оно более жестко, чем условие (14), но в случае явной и чисто неявной схем из него следует сделанное выше утверждение. Сходимость. Из сказанного выше следует, что на решениях и Для схем с Схема повышенной точности с весом (11) и соответственно выбранной Замечание 6. Поскольку схема (6) двуслойная, то она без изменения переносится на неравномерную сетку по t (разумеется, при шаге по времени
В этом случае схема по-прежнему сходится в Подвед ем итоги. Поскольку погрешность почти для всех значений а есть В этом случае явная схема устойчива при настолько малом Обычно для расчетов берут двуслойные неявные безусловно устойчивые схемы. Чаще всего используют симметричную схему или схему повышенной точности, обеспечивающие хорошую точность расчета при не слишком малых шагах
|
1 |
Оглавление
|