Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
8. Квазилинейное уравнение.Значительную трудность для численных расчетов представляет случай квазилинейного уравнения теплопроводности, которое мы запишем, для определенности, в плоском случае:
1) В таких задачах коэффициент теплопроводности нередко сильно зависит от температуры и при высоких температурах может стать очень большим. Поэтому явные схемы для уравнения (49) совершенно непригодны из-за сильного ограничения на шаг, и расчет надо вести по безусловно устойчивым неявным схемам с весом 2) У квазилинейного уравнения теплопроводности существуют решения Поэтому для численного решения уравнения (49) удобно использовать чисто неявные схемы с весом
и нелинейным:
Здесь и определяется формулами типа (35а), например:
или
аналогично определяется Можно показать, что обе схемы абсолютно устойчивы, консервативны, монотонны и на четырежды непрерывно дифференцируемых решениях имеют погрешность аппроксимации Сравним эти схемы между собой. Линейный вариант (50) проще. Мы называем его линейным, ибо Нелинейный вариант (51) содержит дополнительную зависимость Вычислять решение системы (51) можно двумя способами. Первый способ — метод последовательных приближений, в котором значения к и
(в качестве нулевого приближения здесь, естественно, берутся значения с известного слоя). Величины Сложней, но заметно эффективней второй способ решения системы (51) — метод Ньютона. Учитывая,что Проводя линеаризацию, получим довольно громоздкие уравнения, линейные и трехточечные относительно
индекс итерации s в основном уравнении опущен. На каждой итерации уравнения (53) решают прогонкой. Полученный итерационный процесс сходится, если шаг Практика численных расчетов показала, что фактическая точность расчета по нелинейной схеме (51) обычно существенно лучше, чем по линейному варианту (50). Это позволяет вести расчет более крупным шагом Включение точки. В квазилинейных задачах возможно обращение
или
нельзя: если в точке Поэтому надо выбирать такую формулу вычисления
или
При дважды непрерывно дифференцируемом коэффициенте теплопроводности на произвольных сетках, а при кусочно-непрерывном коэффициенте с кусочно-непрерывными вторыми производными на специальных сетках они имеют аппроксимацию
|
1 |
Оглавление
|