Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
6. Регуляризация дифференцирования.При численном дифференцировании приходится вычитать друг из друга близкие значения функции. Это приводит к уничтожению первых значащих цифр, т. е. к потере части достоверных знаков числа. Если значения функции известны с малой точностью, то встает естественный вопрос — останется ли в ответе хоть один достоверный знак? Для ответа на этот вопрос исследуем ошибки при численном дифференцировании. При интерполировании обобщенным многочленом производная k-гo порядка определяется согласно (2)-(3) формулой типа
Если формула имеет порядок точности Но есть еще неустранимая погрешность, связанная с погрешностью функции Пока шаг достаточно велик, при его убывании неустранимая погрешность мала по сравнению с погрешностью метода; поэтому полная погрешность убывает. При дальнейшем уменьшении шага неустранимая погрешность становится заметной, что проявляется в не вполне регулярной зависимости результатов вычислений от величины шага. Наконец, при достаточно малом шаге неустранимая погрешность становится преобладающей, и при дальнейшем уменьшении шага результат вычислений становится все менее достоверным. Полная погрешность мажорируется суммой
Меньший шаг невыгоден, а меньшая погрешность, вообще говоря, недостижима (хотя отдельные вычисления случайно окажутся более точными, но мы этого не сможем узнать). Эта минимальная ошибка тем меньше, чем меньше погрешность входных данных и порядок вычисляемой производной и чем выше порядок точности формулы. Очевидно, при Эта тонкость связана с некорректностью задачи дифференцирования. Рассмотрим погрешность входных данных вида Изложенный выше способ определения оптимального шага и запрещение вести расчет шагом меньше оптимального есть некоторый способ регуляризации дифференцирования, так называемая регуляризация по шагу. Этот способ в простейшей форме давно применялся физиками, которые при однократном численном дифференцировании всегда выбирали такой шаг, чтобы К этой задаче применим и метод регуляризации А. Н. Тихонова; он будет изложен в главе XIV, § 2. Физики издавна употребляют (без строгого обоснования) еще один способ регуляризации — дифференцирование предварительно сглаженной кривой, причем сглаживание обычно выполняют методом наименьших квадратов. Роль параметра регуляризации здесь играет отношение числа свободных параметров Рассмотрим, как это делается в простейшем случае. Выберем около искомой точки не очень большой интервал изменения аргумента, чтобы двучленная аппроксимация у Система уравнений (2.43) для определения коэффициентов среднеквадратичной аппроксимации принимает следующий вид:
где сумма берется по узлам сетки
Тогда первое уравнение (25) можно записать в виде
Пользуясь определением средних (26), произведем несложное преобразование знаменателя в (27):
и аналогично преобразуем числитель. Тогда выражение (27) приводится к виду, напоминающему коэффициент парной корреляции величин х и у:
Последняя формула несколько выгодней для численных расчетов, чем предыдущая, ибо ошибки округления в ней меньше. Двучленная среднеквадратичная аппроксимация дает удовлетворительные результаты, только если В заключение отметим, что выравнивающие переменные позволяют вести расчет крупным шагом или с малым числом свободных параметров. Поэтому предварительное приведение к выравнивающим переменным существенно ослабляет влияние погрешности Начальных данных и позволяет теми же способами регуляризации Добиться большей точности.
|
1 |
Оглавление
|