Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2. Схемы бегущего счета.Эти схемы предназначены для решения смешанной задачи Коши (3), (5). Они легко обобщаются на случай любого числа измерений. Схемы бегущего счета являются наиболее простыми и позволяют численно решать даже очень сложные задачи переноса с хорошей точностью при умеренном объеме вычислений. Рассмотрим задачу (3), (5) и построим в области Выберем четыре шаблона, изображенные на рис. 56 — 59. Составим на трехточечных шаблонах (рис. 56 — 58) простейшие схемы с использованием односторонних производных:
а на четырехточечном шаблоне (рис. 59) — схему с симметризованными производными:
Правую часть мы для определенности выбираем в центре ячейки, соответствующей шаблону, хотя возможен и другой выбор.
Рис. 56.
Рис. 57.
Рис. 58.
Рис. 59. Организация расчета по этим схемам очень проста. Хотя формально схема (9) является явной, а остальные три — неявными, фактически при расчете сметанной задачи Коши они ведут себя, как явные. В самом деле, во всех четырех схемах значение Замечание 1. Явная схема (9) пригодна для решения задачи Коши на полубесконечной (или бесконечной) прямой; неявные схемы бегущего счета к такой задаче неприменимы. Правда, в практике численных расчетов задача Коши для уравнения переноса в неограниченной области почти не встречается. Из описанного алгоритма видно, что для каждой из схем (9)-(12) разностное решение при любых Схема (9). Исследуем ее погрешность аппроксимации. Пусть начальные и граничные данные дважды непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют условиям согласования типа (6) с
Отсюда легко определим невязку схемы (9):
При сделанных предположениях схема (9) имеет аппроксимацию, в Устойчивость исследуем при помощи принципа максимума. Критерий равномерной устойчивости по начальным данным (9.53) с константой
Он выполняется только при так называемом условии Куранта:
Таким образом, схема (9) является условно устойчивой в Методом разделения переменных можно доказать необходимость условия (14). Рассматривая отдельную гармонику
легко получим множитель роста этой гармоники:
Если
т. е. амплитуды этих гармоник неограниченно нарастают при Непосредственно видно, что дополнительное условие устойчивости по правой части (9.54) выполняется, причем Тогда из теорем о сходимости следует, что если решение и Схема (10) исследуется аналогично; при исследовании аппроксимации разложение по формуле Тейлора удобнее вести, около узла
обеспечивает сходимость со скоростью Схема (11) безусловно устойчива и на дважды непрерывно дифференцируемых решениях сходится со скоростью Схема (12) симметричная, и при исследовании ее аппроксимации целесообразно разлагать и
Схема имеет второй порядок аппроксимации, если решение и Устойчивость схемы (12) при помощи принципа максимума установить не удается. Однако можно провести исследование методом разделения переменных. Для гармоники
найдем
Отсюда видно, что Дополнительный критерий устойчивости по правой части (9.54) после умножения на
Убедимся, что для Из сказанного выше следует, что на трижды непрерывно дифференцируемых решениях Замечание 2. Схемы бегущего счета сходятся на решениях меньшей гладкости и даже на разрывных решениях (разумеется, не равномерно, а в среднем). Например, теоретический анализ и примеры численных расчетов [65, 66] показали, что схема (11) сходится на кусочно-непрерывных решениях в Замечание 3. Схемы бегущего счета очевидным образом обобщаются на случай неравномерной сетки. Например, схему (9) можно записать следующим образом:
Критерии устойчивости (14) и (16) принимают при этом соответственно вид:
Интересно сравнить схемы Схемы (9) — (11) имеют первый порядок точности. Первые две из них условно устойчивы, что неудобно при Численных расчетах. Схема (11) безусловно устойчива и очень надежна в расчете; однако по точности она уступает схемам (9) и (10), в чем нетрудно убедиться, сравнив невязки этих схем. Дальше мы увидим, что схемы (9) и (10) можно объединить в единую явно-неявную схему, безусловно устойчивую и превосходящую схему (11) по точности.
|
1 |
Оглавление
|