Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
5. Аппроксимация и ее порядок.Пусть имеется область G переменных
Введем в области
а в нерегулярных узлах — разностным аналогом краевых условий (34б):
(индексом h отмечены величины, определенные только на сетке; мы будем опускать его там, где это не вызовет недоразумений). Близость разностной схемы (35) к исходной задаче (34) будем определять по величине невязки:
Определение. Разностная схема (35) аппроксимирует задачу (34), если
аппроксимация цмеет
Обсудим вопрос о выборе норм в этом определении. Функции
или гильбертова (среднеквадратичная):
(выражения написаны для одномерного случая). Часто используют связанные с оператором А энергетические нормы, напоминающие формулы для полной энергии колебательной системы, например:
Употребляются и другие нормы. Напомним (см. главу I), что из локальной близости функций следует их среднеквадратичная близость; поэтому Выбор той или иной нормы в конкретной задаче определяется двумя соображениями. Желательно, чтобы разностное решение Заметим, что функции Функции
В выборе разностных аналогов норм существует некоторый произвол. Например, сумму в (39) можно брать по Как надо понимать
Эту норму считают «величиной шага» в определениях аппроксимации, порядка аппроксимации и т. д. Если невязку оценивают в Замечание 1. Факт наличия или отсутствия аппроксимации и порядок аппроксимации зависят не только от операторов А и Замечание 2. Как правило, решение
то, очевидно, аппроксимация на решении и В подобных случаях аппроксимация на решении и Случай многих переменных имеет некоторые особенности. Определение аппроксимации остается в основном прежним; надо только требовать стремления к нулю шагов по всем переменным. Порядок аппроксимации может быть разный по разным переменным. Например, для двух переменных соотношение
означает Аппроксимация вида (40), погрешность которой стремится к нулю при любом законе стремления шагов к нулю, называется безусловной или абсолютной. Если же погрешность аппроксимации стремится к нулю при одних законах убывания шагов и не стремится при других, то аппроксимацию называют условной. Например, если
то аппроксимация условная: кроме Если аппроксимация условная, то разностный оператор
при
а при
Поэтому, если нет специальных соображений, лучше пользоваться разностными схемами с безусловной аппроксимацией.
|
1 |
Оглавление
|