Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
6. Наилучшая схема.Рассмотрим, как следует обобщать схему (6) на уравнение теплопроводности с переменным коэффициентом теплопроводности, которое имеет следующий вид:
Случай непрерывных и гладких коэффициентов несложен, и отдельно мы его разбирать не будем. Исследуем более общий случай, когда Разрывы коэффициентов уравнения (31) возникают, например, на границах областей в задачах для слоистых сред или на ударных волнах в движущейся среде. В точках разрыва коэффициентов решение
Рис. 80. Для выделения допустимого решения из множества обобщенных решений надо выяснить, какие величины всюду непрерывны, согласно физическому смыслу задачи. Для теплопроводности, как уже отмечалось в главе VIII, § 2, п. 7, непрерывны температура и
Заметим, что производные этих величин разрывны; их имеет разрывы в точках разрыва Чтобы получить сходимость к допустимому обобщенному решению, составим методом баланса консервативную разностную схему. Уравнение (31) записано в дивергентной форме, соответствующей закону сохранения энергии. Удобнее заменить его системой уравнений
Выберем шаблон и связанную с ним ячейку (рис. 80) и запишем первое уравнение (32) в виде закона сохранения энергии для этой ячейки:
Второе уравнение (32) проинтегрируем по интервалу сетки:
Справедливость формулы (336) очевидна; если коэффициент Припишем значения температуры узлам сетки, а значения тепловых потоков — серединам интервалов (крестики на рис. 80). Аппроксимируем интегралы в (33) квадратурными формулами. При этом
что допустимо в силу непрерывности потока. Получим консервативную разностную схему, называемую наилучшей:
где
При вычислениях интегралы (34г), (34д) также аппроксимируют несложными квадратурными формулами. Например, если
где черта означает, что величина отнесена к моменту времени f. Под узловыми значениями разрывных величин здесь надо понимать соответствующие односторонние пределы. Название схемы (34) связано с ее высокой точностью. Например, можно показать, что для однородного стационарного уравнения (31) наилучшая схема является точной, если интегралы (34г) вычисляются точно. Это означает, что разностное решение Исследуем схему (34). Подставляя (346) в (34а), получим линейную трехточечную (по пространству) схему. Для определения Устойчивость по начальным данным исследуем методом операторных неравенств. Ограничимся случаем задачи Коши на бесконечной прямой, когда Перепишем двуслойную схему (34) в канонической форме:
где
Введем скалярное произведение
Нетрудно убедиться, что операторы А и В неотрицательные и самосопряженные. В самом деле,
Сдвигая во второй сумме индекс на единицу, получим
Равенство (366) означает, что
Пусть выполнено условие
Учитывая, что
Это означает, что Если выполнено условие
то, в силу неравенства (39), условие (40) имеет место. Поэтому неравенство ( Сходимость для своего доказательства требует оценок аппроксимации. Это связано с громоздкими выкладками (см. [30]), поэтому приведем только окончательный результат. Пусть Тогда наилучшая схема (34) при выполнении условия устойчивости (41) равномерно сходится на специальных сетках с точностью Если Монотонность схемы имеет место при достаточно малом шаге по времени:
за одним очевидным исключением: чисто неявная схема с Замечание. Коэффициенты разностной схемы вычисляются с некоторыми ошибками, что может привести к искажению решения. Устойчивость разностного решения относительно изменения коэффициентов называется коэффициентной устойчивостью (ко-устойчивостью). Доказано (см. [30]), что наилучшая схема при выполнении условия (41) является ко-устойчивой.
|
1 |
Оглавление
|