Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2. Прямой метод вращений.Этот метод немного уступает по скорости методу отражений, однако формулы расчета в нем несколько проще. Он также устойчив и позволяет привести преобразованием подобия неэрмитову матрицу к почти треугольной форме, а эрмитову — к трехдиагональной. Метод основан на специально подобранном вращении координатной системы. Поэтому исследуем свойства вращений. Любое вращение можно свести к последовательности элементарных (плоских) вращений — поворотов в двумерной плоскости, проходящей через
Остальные недиагональные элементы этой матрицы — нули. Для вещественных векторов надо полагать Очень важно помнить, что если из-за погрешностей расчета окажется, что Построим формулы для преобразования матрицы А при элементарном вращении. Матрица
Аналогично, матрица
Следовательно, матрица
Рис. 33. Найдем такую последовательность элементарных вращений, которая приводит произвольную (неэрмитову) матрицу А к верхней почти треугольной форме. Можно так подобрать угол поворота в матрице
Сами углы вычислять нет необходимости, ибо в формулы для преобразования матричных элементов они не входят. Отметим, что для вещественных матриц величина
Теперь будем аннулировать те элементы матрицы и в том порядке, как это указано цифрами на рис. 33, б. Первый элемент уничтожается при помощи матрицы Продолжая эти рассуждения, можно убедиться, что однажды уничтоженный элемент при такой последовательности исключения будет оставаться равным нулю. Поэтому после окончания всех исключений матрица станет верхней почти треугольной матрицей Если исходная матрица А эрмитова, то благодаря сохранению эрмитовости при унитарном преобразовании подобия она приводится к трехдиагональной форме. В этом случае для экономии времени при каждом вращении достаточно вычислять только изменившиеся элементы нижней половины матрицы (уже обратившиеся в нуль элементы в дальнейшие расчеты не включают). Для полученной трехдиагональной (или почти треугольной) матрицы можно вычислять собственные значения и собственные векторы способами, изложенными в § 1. Найденные собственные значения будут одновременно собственными значениями исходной матрицы. А собственные векторы
Проще всего вычислять их, последовательно умножая требуемый вектор у слева на матрицы вращения. Структура матриц такова, что при умножении на
Предварительное перемножение самих матриц вращения потребовало бы большего числа действий (это особенно невыгодно, если нужна только часть собственных векторов). На приведение эрмитовой матрицы к трехдиагональной форме и нахождение всех собственных значений в методе вращений требуется около
|
1 |
Оглавление
|