Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 4. Сходимость1. Основная теорема.В этом параграфе мы рассмотрим задачу, для дифференциального уравнения с граничными условиями
которая на сетке, состоящей из множества регулярных узлов
В конечном итоге нас будет интересовать близость разностного решения Определение. Разностное решение
разностное решение имеет порядок точности
Анализируя сходимость схемы ломаных (8.15) для обыкновенного дифференциального уравнения, мы видели, что погрешность решения вызвана погрешностью начальных данных и погрешностью аппроксимации, усиливающимися (или ослабляющимися) в ходе расчета. Интуитивно ясно, что для хорошей точности расчета достаточно, чтобы эти погрешности были малы и в ходе расчета не сильно возрастали. Строго говоря, в любых расчетах присутствуют ошибки округления; поэтому при Определение. Разностная схема (71) корректна, если ее решение существует и единственно при любых входных данных Строго говоря, для нелинейных схем разностное решение может быть не единственным или существовать не при всяких входных данных. В этом случае схему называют корректной в окрестности решения Отметим, что если граница области G состоит из нескольких кусков Г, то обычно операторы Разностные операторы
условиями согласования будут соотношения Теорема. Если решение и Доказательство. Напишем цепочку преобразований:
где
Равенства (74) представляют собой разностную схему (71) с правыми частями, измененными на величину невязки. Поскольку разностная схема устойчива, то для любого В силу аппроксимации для любого Следовательно, для любого Замечание 1. Некоторые начальные или граничные условия аппроксимируются точно; примером являются граничные условия первого рода и Устойчивость по правой части требуется почти во всех случаях, поскольку погрешность аппроксимации в (74) эквивалентна некоторой погрешности правой части. Замечание 2. Аппроксимацию часто проверяют не на решениях задачи (70), а на некотором широком классе функций, которому принадлежит решение (обычно на классе функций, непрерывных и ограниченных вместе с некоторым числом своих производных). Из замечания 2 в § 2, п. 5 следует, что такая аппроксимация достаточна для доказательства теоремы о сходимости. Замечание 3. При исследовании аппроксимации и устойчивости конкретных разностных схем нередко используют разные нормы для одной и той же функции. Например, при установлении локальной аппроксимации для Замечание 4. Если аппроксимация или устойчивость условные, то сходимость имеет место при выполнении условий устойчивости и аппроксимации (т. е. при определенных соотношениях между шагами по разным переменным). Замечание 5. Устойчивость является, как нетрудно убедиться, необходимым условием сходимости. В самом деле, если схема неустойчива, то найдутся такие сколь угодно малые ошибки входных данных, которым соответствует значительная погрешность решения. Сходимости при этом не может быть. Пример. Рассмотрим явную схему (18) для уравнения теплопроводности (15). В § 2, п. 3 была установлена аппроксимация этой схемы с погрешностью (25), равной Отметим, что на самом деле имеет место сходимость в
|
1 |
Оглавление
|