4. Инварианты.
Рассмотрим запись системы уравнений акустики через инварианты:
Умножая первое из уравнений (18а) на с, прибавим его ко второму уравнению (18а) и вычтем. Получим систему уравнений, которым удовлетворяют инварианты:
Из соотношений (186) нетрудно получить для инвариантов начальные условия:
а из соотношений (18в) — краевые условия:
Видно, что инвариант 
удовлетворяет уравнению переноса вправо (т. е. с положительной скоростью), а инвариант 
— уравнению переноса влево. В случае однородной задачи 
величины 
, s переносятся по соответствующим характеристикам без изменения, с чем и связано их название.
Для инвариантов можно составить разностные схемы, аналогичные схемам бегущего счета для уравнения переноса. Шаблон каждой схемы должен учитывать направление характеристики соответствующего уравнения. Простейшей будет явная схема:
Она действительно является схемой бегущего счета, и организация вычислений здесь почти такая же, как для одномерного уравнения переноса. Нетрудно показать, что при выполнении условия 
эта схема устойчива, монотонна и равномерно сходится с порядком точности 
на дважды непрерывно дифференцируемых решениях.
Счет по неявным схемам типа 
уже не будет бегущим: для развязки счета надо знать граничное значение инварианта на новом слое, а оно выражается через то значение другого инварианта, которое считается последним. Поэтому для определения инвариантов получается линейная система с матрицей специального вида, схематически изображенного на рис. 95. Такая система решается методом исключения; экономные формулы исключения для этого случая называются формулами циклической прогонки (см. [83] и дополнение к [30]).
Схемы для инвариантов можно переписать в терминах исходных переменных. Так, складывая и вычитая уравнения (33), получим для внутренних точек области
Каждое из уравнений (34) содержит члены, соответствующие явной схеме (6) для уравнения теплопроводности с коэффициентом 
. Отсюда понятно, что исходная схема (33) будет хорошо сглаживать разрывы начальных данных, т. е. иметь аппроксимационную вязкость. Условие устойчивости явной схемы 
совпадает с условием устойчивости исходной схемы.
Рис. 95.
Схемы в инвариантах обладают многими достоинствами. Однако широкого распространения они не получили, потому что их нелегко обобщить на нелинейные задачи.
