Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. Некорректные задачи1. Регуляризация.Если в интегральном уравнении (1) правая часть
и уравнение Вольтерра первого рода:
В отличие от уравнений второго рода, ядро уравнения Фредгольма (33) задано на прямоугольнике а в уравнении Вольтерра (34) на трапеции Покажем, что задача (33) неустойчива по правой части и, тем самым, некорректна. Для этого рассмотрим высокочастотное возмущение с конечной амплитудой бы (Е)
Интегрируя по частям, получим
Это означает, что для достаточно больших частот величина Для уравнения Вольтерра (34) справедливы те же рассуждения. Напомним, что в главе III мы уже сталкивались с некорректностью задачи численного дифференцирования функции
т. е. является частным случаем уравнения Вольтерра первого рода, с ядром Кроме того, задачи (33), (34) имеют решение не при любых непрерывных правых частях
Это равенство выполнимо для таких В обоих этих примерах, даже если при некоторой Очевидно, непосредственно решать некорректные задачи при неточно заданной правой части бессмысленно. Если Даже если Регуляризирующий алгоритм. Пусть требуется найти решение и
Здесь Ранее, изучая разрывные решения квазилинейных уравнений, мы вводили в исследуемое уравнение дополнительные члены, изменяющие свойства решений в нужную нам сторону. Попробуем и здесь изменить уравнение (38), введя в него дополнительные члены с малым положительным параметром регуляризации а. Символически запишем измененную задачу:
а ее решение обозначим через Определение. Оператор Замечание. Функции Таким образом, если найден регуляризирующий оператор Для одной и той же задачи можно построить много различных регуляризирующих алгоритмов. Кроме того, при заданном пространстве F разные алгоритмы могут давать решения на Различают регуляризацию слабую (U есть гильбертово пространство), сильную (чебы-шевское пространство) и Молено формально превратить задачу (38) в корректно поставленную, если ограничиться рассмотрением правых частей Однако такой подход не конструктивен. Зачастую
|
1 |
Оглавление
|