Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Иллюстрации к качественной теории Вейерштрасса. Наглядное представление и математическая теория. Представление движения на фазовой плоскости. Особые точки и замкнутые интегральные кривые нелинейного дифференциального уравнения. Мы поставили вопрос математически и решили его так, как это впервые сделал Вейерштрасс. Мы имели закон сохранения әнергии Это было наше уравнение движения. Для упрощения выкладок мы положили В каждой точке пути материальная точка имеет потенџиальную энергию В каждой точке частида имеет определенную кинетическую и потенџиальную энергию. Мы можем теперь уяснить себе почти без математики, как будет двигаться частиџа. Пусть материальная точка движется в поле тяжести по желобку определенной формы. В каждом положении точка имеет определенную потенџиальную энергию желобок, соответствующий квазиупругой силе, т. е. потенџиальной өнергии, пропорџиональной квадрату расстояния. Без всякой математики легко видеть, как точка будет двигаться по желобку: она будет подниматься до тех пор, пока кинетическая өнергия не обратится в нуль; тогда точка остановится. Кинетическая энергия обрашается в нуль тогда, когда потенциальная өнергия равна полной энергии. Это происходит при В такой простой картине все следует из наглядности. Зачем же мы проделали в прошлый раз ряд математических выводов? Дело в том, что „житейские“ разговоры, в сущности, грешат в одном месте. Пусть кинетическая энергия точки меньше максимальной потенџиальной. Мы знаем, что в таком случае точка должна остановиться. Но уверены ли мы, что она дойдет до точки остановки за конечное время? Ведь только при этом условии можно говорить о периодическом движении с конечным периодом. А что будет в случае лимитаџионного движения? Может быть, и в этом случае частиџа доходит до крайнего положения за конечное время? Здесь наглядные рассуждения ничего не дают, а необходимо математическое исследование. Без него вы не получите серьезного ответа. Начинающему очень часто кажется: к чему вся эта математика? Емукажется, что „и так все ясно\». Но в действительности какой-нибудь существенный пункт при этом может остаться неясным. Иметь меру Рис. 25. требуемой математической строгости — самое трудное для физика. Правильнее будет сказать так: ему необходимо уметь определять эту меру. Изучая поведение консервативной системы с одной степенью свободы, мы исходили из общих законов движения. Закон сохранения энергии дает: Продифферендировав это уравнение, имеем: так как Это-выражение закона Ньютона. Если Если тело падает под действием земного притяжения, его потенџиальная энергия есть Отсюда для силы получаем: Пусть это же тело падает в вязкой жидкости. Здесь возникает трение и закон падения будет другим. Если остановить тело, то силы трения нет. Сила трения не определена тем, в каком месте находится тело. Мы получим хорошее приближенное выражение для силы трения, предполагая, что она прямо пропорџиональна скорости и действует навстречу скорости. Тогда и дифференџиальное уравнение движения таково: Теперь сила Анализ, который был нами проведен, годится для случая, когда сила не зависит от скорости, но он ничего не может дать для общего случая. В этом общем случае можно, однако, пользоваться другим методом исследования, к которому мы теперь и перейдем. Он применим как к консервативным, так и к неконсервативным системам. Этот метод носит геометрический характер. Он связан с тем языком, на котором говорят все те, кто занимается квантами. Вся их терминология основана на этом методе. В более сложных случаях этот метод-единственный, и с ним нужно хорошо освоиться. Для нелинейных колебательных проблем беспроволочной телеграфии этот метод, в сушности, был введен А. А. Андроновым. Математическая постановка задачи такова. Дано нелинейное уравнение вида Вообще говоря, такое уравнение нельзя проинтегрировать. Как же подойти к исследованию движения? Как „выудить“ из уравнения, Нас интересуют смещение Каждому значению откуда Подставляя (3) в (4), находим: Мы получили, таким образом, дифференџиальное уравнение для Можно ли физически выделить системы, у которых сила не зависит явно от времени? Явная зависимость силы от времени означает, что есть постороннее влияние на систему. Если система замкнута, то такой зависимости не будет. Системы, где сила явно не зависит от времени, мы называем автономными. Вся область генераџии колебаний в радиотехнике (кроме вопросов модуляџии) приводит к рассмотрению именно автономных систем. Мы свели задачу на исследование уравнения первого порядка. Зная Итак, перед нами математическая задача — исследовать уравнение Вы знаете, что́ называется решением дифференциального уравнения. Функџия есть решение дифференциального уравнения (или удовлетворяет дифференџиальному уравнению), если ее подстановка в дифференциальное уравнение преврашает его в тождество. Возьмем плоскость Мы имеем одно уравнение первого порядка. Его общее решение зависит от одной произвольной постоянной, а значит, имеются различные интегральные кривые, соответствующие различным значениям этой произвольной постоянной, т. е. џелое семейство интегральных кривых. Мы можем поэтому потребовать от функџии где Возьмем немного более обџий случай, чем (5), а именно уравнение вида Это уравнение легко интегрируется: Мы получаем семейство кривых, потому что константа может быть любая. Әто — семейство эллипсов, причем через каждую точку проходит один эллипс (рис. 26). Подставляя в левую часть координаты точки, мы находим значение константы. Но зададим начальное условие Это не есть уравнение действительной кривой. Точка Здесь, интегрируя, мы получаем: Это-семейство гипербол с общими асимптотами (рис. 27). Через особую точку Особая точка либо седло, либо џентр. Для того, чтобы узнать характер особой точки, разложим около нее Если первый коэффиџиент отриџателен, то особая точка — џентр, если положителен — седло. Каков физический смысл осббой точки? В ней Таким образом, особая точка изображает состояние равновесия. Потенџиальная энергия системы имеет в особой точке экстремальное значение (максимум или минимум). Смотря по тому, будет ли В самом общем случае (7) особыми точками являются точки пересечения кривых Представим себе теперь, что мы начертили интегральные кривые и нашли, что среди них есть замкнутые кривые. Замкнутая кривая есть кзображение периодического явления. Доказать это очень просто. Пусть для В этом рассуждении мы считали, что время возвращения Скорость Если удалось доказать, что среди интегральных кривых есть замкнутые кривые, то тем самым доказано, что возможны периодические движения. Для отыскания периодических решений дифференџиального уравнения надо „ловить“ такие замкнутые кривые. Если найдены особые точки и замкнутые интегральные кривые дифференџиального уравнения, то найдены положения равновесия и периодические движения системы. Интересно реальное осуществление фазовых диаграмм. Представьте себе катодный осциллограф. Пусть отклонение пучка в одном направлении будет пропорционально току
|
1 |
Оглавление
|