Невозможность построить функцию Грина в случае стержня со свободными концами. Предельный переход от задачи о колебаниях дискретной цепочки к интегральному. уравнению колебаний стержня. Эквивалентность интегрального уравнения и дифференциальной схемь задачи ШтурмаЛиувиляя. Пример фияической задачи другого типа, приводящей к интегральному уравнению: задача об идеальном оптическом ияображении.
Если задана внешняя сила
$$g(x,t)=g(x)\cos \sqrt{\lambda }t$$
( $\lambda$ здесь дано) и смещение стержня
$$y(x,t)=\phi (x)\cos \sqrt{\lambda }t,$$

то, как мы видели, для $\phi (x)$ получается интегральное уравнение
$$\phi (x)=\lambda {\int }_0^{l}V(x,\xi )q(\xi )\phi (\xi )d\xi +f(x),$$

где
$$f(x)={\int }_0^{l}V(x,\xi )g(\xi )d\xi$$
-заданная функция $x$. Если нет внешней силы, интегральное уравнение принимает вид
$$\phi (x)=\lambda {\int }_0^{l}V(x,\xi )q(\xi )\phi (\xi )d\xi .$$

Здесь $\lambda$ должно быть определено из самого интегрального уравнения.
$V(x,\xi )$ — функџия Грина нашей задачи. Функџия $V(x,\xi )q(\xi )$ называется ядром интегрального уравнения. На основании физического смысла функции Грина ее часто называют функцией влияния.

Мы нашли $V(x,\xi )$ для двух частных случаев: для стержня с закрепленными конџами и стержня с одним закрепленным конџом. Если оба конда свободны, то функџию Грина построить нельзя. Это очень типичное и интересное обстоятельство. Постараемся его связать с уже известными нам свойствами.

Если стержень свободен, производная $\frac{\partial y}{\partial x}$ равна нулю на обоих конџах. Кроме того, при равновесии $\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$ равно нулю всюду, кроме точки приложения силы. Таким образом, $y$ должно быть постоянно на протяжении всего стержня, и нельзя удовлетворить условию скачка производной в точке приложения силы. Подчеркнем, что несуществование функџии Грина связано не с дифференџиальным уравнением, а с граничными условиями.

В случае свободных конџов одно из собственных значений есть нуль. Уравнение
$${\phi }^{\prime \prime }+\lambda q\phi =0$$

преврашается при $\lambda =0$ в уравнение
$${\phi }^{\prime \prime }=0$$

с непрерывным решением
$$\phi =\text{ const. }$$

Если существует непрерывная функџия, удовлетворяющая уравнению и граничным условиям, то не существует удовлетворяющей ему разрывной функџии. Наоборот, если не существует непрерывной функции, удовлетворяющей дифференџиальному уравнению и граничным условиям, то существует разрывная.

Существование или несуществование функции Грина имеет ясный физический смысл. Если стержень свободен на обоих концах, то при действии на него силы не существует состояния равновесия. Физически этот случай является исключительным: стержень может не только колебаться, но и двигаться равномерно.

Однако для случая свободных конџов можно построить функцию Грина в обобщенном смысле. Для этого, кроме единичной сосредоточенной силы, нужно приложить к стержню еше компенсирующую ее распределенную силу.

Можно рассматривать стержень как совокупность масс, соединенных „пружинами“ (довольно трудно ответить на вопрос: что лучше отражает — действительный стержень, сплошная или дискретная модель). Мы уже рассматривали предельный переход от дискретной модели к сплошной и показали, что решение, получаемое для дискретной системы, в пределе переходит в решение некоторого дифферендиального уравнения в частных производных ${}^1$. Интересно провести рассуждение так, чтобы от уравнений дискретной системы перейти к интегральному уравнению.

Возьмем „стержень“, закрепленный на одном конде и свободный на другом (рис. 180), и поставим сначала статическую задачу (здесь также можно перейти от статической задачи к динамической с помощью принџипа Даламбера). Пусть на каждую точку действует некоторая сила. Обозначим через ${\overline{g}}_k$ силу, действующую на $k$-ую точку. Нужно определить смещения $y_1,y_2,\dots ,y_n$ наших $n$ частиџ.

Рассмотрим сначала частный случай, когда внешняя сила, равная единиџе, действует только на $k$-ую частиду.
${}^1$ [С . 32-ю лекцию части I и 1-ю лекџию части II.]

Пусть $\alpha$-коэффиџиент упругости каждой пружины. Тогда результирующая упругая сила, действующая на $i$-ую частиџу $(ieqk)$, есть
$$\alpha (y_i-y_{i-1})-\alpha (y_{i+1}-y_i)$$
(на все частиџы, кроме $k$-ой, другие силы не действуют). При равновесии эта результирующая сила равна нулю, т. е.
$$-y_{i-1}+2y_i-y_{i+1}=0$$

Напишем уравнение для первой частиџы:
$$y_1-y_2=0$$

Рис. 180.
и для последней:
$$y_n-y_{n-1}=0.$$

Нужно еше написать уравнение для $k$-ой частиџы. Здес результирующая упругая сила уравновешивается внешней силой, равной единице, т. е.
$$-y_{k-1}+2y_k-y_{k+1}=\frac{1}{\alpha }.$$

Для $i<k$ смешения $y_i$ образуют арифметическую прогрессию:
$$y_i=ir(i<k).$$

Все частиды с $i⩾k$ имеют одинаковое смещение. Так как џепочка не имеет разрыва, то
$$y_i=kr(i⩾k).$$

Не трудно определить, что $r=1/\alpha$. Таким образом, значения $y_i$ $(i=1,2,\dots )$ являются функциями номера $i$ и номера $k$ той частиџы, к которой приложена сила, а именно:
$$V_{ik}=\{\begin{array}{ll}\frac{i}{\alpha }& (i\gtrless k),\\ \frac{k}{\alpha }& (i⩾k).\end{array}$$

Если сила равна не единиџе, а $\overline{g}$, то $y_i$ просто умножается на $\overline{g}$. Если теперь силы действуют на все точки и ${\overline{g}}_k$-сила, приложенная к $k$-ой точке, то
$$y_i=\sum _{k=1}^n{V}_{ik}{\overline{g}}_k.$$

Если
$$\begin{array}{l}{\overline{g}}_i=g_i\cos \sqrt{\lambda }t,\\ y_i={\phi }_i\cos \sqrt{\lambda }t,\end{array}$$

то, применяя принџип Даламбера, получаем окончательно для динамической задачи:
$${\phi }_i=\lambda \sum _k{V}_{ik}{m}_k{\phi }_k+\sum _k{V}_{ik}{g}_k.$$

Здесь уместно поставить вопрос о том, как поступить, если мы хотим вычислить период колебаний распределенной системы, апроксимируя ее посредством дискретной системы. Подход, основанный на дифференџиальных уравнениях, проџе. Имея в виду только простоту, можно было бы не переходить к анализу посредством интегральных уравнений.
Для перехода от (5) к интегральному уравнению напишем
$$\alpha =\frac{p}{a},$$

где $p$-макроскопический модуль упругости, $a$-длина отдельной „пружины“. Тогда
$$V_{ik}=\{\begin{array}{ll}\frac{ai}{\alpha a}& (i<k),\\ \frac{ak}{\alpha a}& (i⩾k).\end{array}$$

Пусть теперь $ia=x$, причем

и, кроме того,
$$a\to 0,i\to \mathrm{\infty },$$
$$\frac{m_k}{a}=q(\xi ),a=\mathrm{\Delta }\xi .$$

Мы получаем в пределе
$$\phi (x)=\lambda {\int }_0^{l}V(x,\xi )q(\xi )\phi (\xi )d\xi +{\int }_0^{l}V(x,\xi )g(\xi )d\xi .$$

Итак, исходя из дискретной модели и перейдя к пределу (мы не вдаемся в вопрос о законности перехода), мы снова получили интегральное уравнение (3). Интегральное уравнение устанавливается на основании физической картины явления так же хорошо, как и дифференџиальное.

Пусть дана краевая задача, которая формулируется на языке дифференџиальных уравнений следуюшим образом:
$$\begin{array}{c}\frac{d}{dx}\left(p\frac{d\phi }{dx}\right)+\lambda q\phi =-g(x),\\ {({\alpha }_1\phi -{\alpha }_2\frac{d\phi }{dx})}_0=0,\\ {({\beta }_1\phi +{\beta }_2\frac{d\phi }{dx})}_l=0\end{array}$$
(общие граничные условия Штурма-Лиувилля). Для нее существуют определенные собственные числа и собственные функџии. Можно доказать, что все собственные функџии и собственные числа краевой задачи удовлетворяют интегральному уравнению для той же задачи, и наоборот. Совокупность собственных чисел и собственных функџий в обеих задачах одинакова.

Разумеется, то, что мы из физики получили для обоих случаев обе картины, в значительной степени предрешает этот результат, но мы постараемся его теперь доказать. Мы докажем, что решения интегрального уравнения (3) удовлетворяют дифференџиальному уравнению (6) при краевых условиях (7) и (8), и наоборот.
Функџия $V(x,\xi )$ непрерывна и удовлетворяет уравнению
$$\frac{d}{dx}\left(p\frac{dV}{dx}\right)=0.$$

Ее производная непрерывна всюду, кроме точки $x=\xi$, где она претерпевает скачок
$$V^{\prime }(x,\xi {)}_{x=\xi -0}-V^{\prime }(x,\xi {)}_{x=\xi +0}=\frac{1}{p}.$$

Уравнение (9) можно проинтегрировать в квадратурах. Мы найдем одно решение для левой части системы $(x<\xi )$, другое-для правой $(x>\xi )$. Обозначим эти решения соответственно через ? и б. Имеем:
$$\frac{d}{dx}\left(p{\rho }^{\prime }\right)=0,\frac{d}{dx}\left(p{\sigma }^{\prime }\right)=0,$$

откуда
$$\frac{d}{dx}\left[p(\sigma {\rho }^{\prime }-\rho {\sigma }^{\prime })\right]=0$$

или, интегрируя,
$$p(\sigma {\rho }^{\prime }-\rho {\sigma }^{\prime })=\text{ const. }$$

Для случая, когда $\lambda$ не есть собственное значение, всегда можно построить функџию Грина из следующих соображений: ри $\sigma$ выбраны так, чтобы $\rho$ удовлетворяло краевому условию (7), а $\sigma$-краевому условию (8). При этом $\rho$ и линейно независимы $(\sigma {\rho }^{\prime }-\rho {\sigma }^{\prime }eq0)$ и при подходящей нормировке
$$p(\sigma {\rho }^{\prime }-\rho {\sigma }^{\prime })=1.$$

Возьмем теперь
$$\begin{array}{ll}V(x,\xi )=p(x)\sigma (\xi )& (0<x<\xi ),\\ V(x,\xi )=p(\xi )\sigma (x)& (\xi \ll x\ll l)\end{array}$$

и проверим, что построенная таким способом функџия $V(x,\xi )$ удовлетворяет всем поставленным условиям.
Имеем, дифференџируя (10) и (11) по $x$ :
$$\begin{array}{c}{V}^{\prime }(x,\xi {)}_{x=\xi -0}=p^{\prime }\sigma ,\\ V^{\prime }(x,\xi {)}_{x=\xi +0}=p{\sigma }^{\prime }\end{array}$$

и, следовательно,
$$V^{\prime }(x,\xi {)}_{x=\xi -0}-V^{\prime }(x,\xi {)}_{x=\xi +0}=\frac{1}{p}.$$

Я утверждаю, что составленное с таким $V(x,\zeta )$ интегральное уравнение эквивалентно дифференџиальной схеме (6) — (8). Можно показать обычным способом, что функция $V(x,\xi )$ — единственная функџия, удовлетворяющая всем поставленным условиям.

Покажем, что функџия $\phi$, удовлетворяющая дифференциальному уравнению и краевым условиям, удовлетворяет и найденному интегральному уравнению.
Имеем:
$$\begin{array}{c}\frac{d}{dx}\left(p{\phi }^{\prime }\right)=-\lambda q\phi -g(x);\\ \frac{d}{dx}\left(p{V}^{\prime }\right)=0.\end{array}$$

Умножив (13) на $V$, (14) — на $\phi$ и вычитая, мы получаем:
$$\frac{d}{dx}\left[p({\phi }^{\prime }V-V^{\prime }\phi )\right]=-\lambda Vq\phi -Vg.$$

Будем теперь интегрировать по $x$ в интервале ( $0,l$ ). Так как при: этом нужно учитывать разрывность $V^{\prime }$, мы разделим интервал $(0,l)$ на интервалы $(0,\xi )$ и $(\xi ,l)$ и будем интегрировать отдельно по каждому интервалу:
$$\begin{array}{l}{p({\phi }^{\prime }V-V^{\prime }\phi )|}_0^{\xi -0}=-\lambda {\int }_0^{-0}Vq\phi dx-{\int }_0^{\xi -0}Vgdx;\\ {p({\phi }^{\prime }V-V^{\prime }\phi )|}_{\xi +0}^l=-\lambda {\int }_{\xi +0}^{l}Vq\phi dx-{\int }_{\xi +0}^{l}Vgdx.\end{array}$$

Левые части обращаются в нуль соответственно при $x=0,x=l$, так что после сложения (15) и (16) остается:
$$-p\phi (\xi )[V_{\xi -0}^{\prime }-V_{\xi +0}^{\prime }]=-\lambda {\int }_0^{l}V(x,\xi ),q(x)\phi (x)dx-{\int }_0^{l}V(x,\xi )g(x)dx.$$

Учитывая (12), получаем далее:
$$\phi (\xi )=\lambda {\int }_0^{l}V(x,\xi )q(x)\phi (x)dx+{\int }_0^{l}V(x,\xi )g(x)dx,$$

откуда, после замены $x$ на $\xi$ и $\xi$ на $x$, следует уравнение
$$\phi (x)=\lambda {\int }_0^{l}V(\xi ,x)q(\xi )\phi (\xi )d\xi +{\int }_0^{l}V(\xi ,x)g(\xi )d\xi .$$

Это уравнение отличается от (3) лишь тем, что вместо $V(x,\xi )$ стоит $V(\xi ,x)$, но так как функџия Грина симметрична:
$$V(x,\xi )=V(\xi ,x)$$
(и это здесь существенно), уравнение (17) совпадает с (3).
Итак, мы убедились, что всякая функџия, удовлетворяющая схеме (6) — (8), одновременно удовлетворяет и интегральному уравнению (3). Можно также путем простого дифференџирования показать и обратное.

Дифференџиальная схема нашей задачи эквивалентна интегральному уравнению с функџией Грина, определенной выше. В этой эквивалентности заключается, с одной стороны, интерес, который представляют интегральные уравнения, с другой стороны, 一их слабость, если бы дело этим ограничивалось.

Из того, что было сказано, следует, что интегральное уравнение (3) имеет бесконечное множество собственных значений и каждому собственному значению соответствует одна собственная функция.

Мы вывели интегральное уравнение, соответствующее определенному узкому классу дифференциальных уравнений. Вид ядра связан определенным образом с задачей Штурма-Лиувилля. Для спеџиального типа интегральных уравнений, ядра которых соответствуют дифферендиальной схеме (6) — (8), мы доказали некоторые свойства собственных чисел и собственных функцй. Однако необходима более общая теория, пригодная при любом ядре. Такая теория существует. Теория интегральных уравнений гораздо шире, чем проблема Штурма-Лиувилля. Ряд вопросов (например, вопрос о разложимости функџий по собственным функџиям) легче, проще и изящнее решается с помоџью интегральных уравнений. Даже ради одного этого стоит их изучить.

Мне хочется изложить задачу, где ссылка на дифференџильные уравнения не поможет. Мы получим в ней интегральное уравнение другого типа, чем (3). Эта задача относится к теории оптического изображения ${}^1$.

Пусть имеется система линз, дающая изображение (рис. 181). Каждой точке объекта соответствует определенная точка изображения. Предположим, что система не дает увеличения (или уменьшения). Согласно геометрической оптике яркость в точке $M$ определяет освещенность в точке $M^{\prime }$. Но в действительности геометрическая оптика несправедлива. Вследствие диффракџии каждой точке предмета соответствует в плоскости изображения некоторое распределение интенсивности. Максимум находится в точке, где было бы изображение согласно геометрической оптике, но с удалением от этой точки интенсивность спадает постепенно.

Пусть одна точка предмета дает в плоскости изображения распределение амплитуды
$$K(x,\xi )$$
1 [Cр. том I, стр. 229.]

(амплитуда есть функџия координаты точки объекта $\xi$ и координаты точки изображения $x$ ). Если диафрагма имеет вид щели, то
$$K(x,\xi )=\frac{\sin c(x-\xi )}{x-\xi },$$

где
$$c=\frac{2\pi d}{Lf}$$
( $d$ — половина ширины щели; $L$ — длина волны; $f$ — фокусное расстояние). Если точка объекта перемещается, то перемещается
Рис. 181. вся картина; поэтому $K(x,\xi )$ есть функция от $x-\xi$.
Амплитуда в точке $x$ от элемента предмета длины $d\zeta$ есть
$$z(\xi )K(x,\xi )d\xi ,$$

где $z(\xi )$ характеризует распределение амплитуды по предмету. Картины от отдельных элементов предмета накладываются, и результирующая амплитуда в плоскости наблюдения имеет распределение
$$A(x)={\int }_a^{b}K(x,\xi )z(\xi )d\xi$$
(здесь предполагается, что предмет освещен так, что отдельные его өлементы посылают когерентные колебания).

Конечно, распределение $A(x)$, вообще говоря, не подобно распределению $z(\xi )$. Они только связаны между собой соотношением (18). Вообще говоря, при изображении предмет искажается, распределение света в изображении иное, чем в предмете. Возникают вопросы: как нужно строить оптический прибор для того, чтобы искажение было возможно меньше? Существуют ли такие предметы, которые не искажаются заданной оптической системой? Если бы оказалось, что существуют такие Функџии $z(x)$, для которых
$$A(x)=\frac{1}{\lambda }z(x)$$

где $\lambda$-постоянная, то это означало бы, что распределения вида $z(x)$ не искажаются.

Подставляя (19) в (18), получаем:
$$z(x)=\lambda {\int }_a^{0}K(x,\xi )z(\xi )d\xi .$$

Неискажаемые структуры должны удовлетворять интегральному уравнению (20), ядро которого задано свойствами оптической системы.

Ядро уравнения (20) симметрично, но оно совсем другого типа, чем в задаче Штурма-Лиувилля. Оно не имеет разрыва производной.
Существует ли структура, удовлетворяющая уравнению (20)?
К сожалению, ответ неутешителен. Интегральное уравнение (20) имеет решения, но эти решения — бесконечные синусоиды. Только такие распределения изображаются точно. Таким образом, решение существует, но физически оно мало интересно.

Но можно поставить вопрос иначе: насколько можно приблизиться к точному изображению? Оказывается, можно указать такие структуры, которые мало искажаются. Можно высказать на этот счет ряд общих теорем.

Таким образом, области дифференџиальных и интегральных уравнений далеко не перекрываются. Интегральные уравнения представляют интерес и независимо от дифференџиальных уравнений.