Вычисление средней энергии квантованного осциллатора. Квантовые формулы для спектральной плотности равновесного излучения и для энерии твердого тела. Понятие адиабатического инварианта. Адиабатическая инвариантность отношения средней кинетической энериии к частоте (на примерах).

Планк предположил, что энергия осџиллатора может принимать только дискретный ряд значения
\[
W=0, h v, 2 h v, \ldots, n h v, \ldots,
\]

причем вероятность того, что осџиллатор обладает энергией $n h v$, т. е. находится в $n$-ом состоянии, есть
\[
P_{n}=A e^{-v h
u / \hbar \theta} .
\]
1 [См. 9-ю лекцию.]

Вычислим, исходя из этого постулата, среднюю энергию осџиллатора:
\[
\bar{W}=\sum_{n=0}^{\infty} n h
u \cdot A e^{-n h v / k \theta},
\]

причем
\[
\sum_{n=0}^{\infty} P_{n}=\sum_{n=0}^{\infty} A e^{-n h v / k \theta}
\]

Исключая $A$, получаем:
\[
\bar{W}=\frac{\sum_{n=0}^{\infty} n h v e^{-n k v / k \Theta}}{\sum_{n=0}^{\infty} e^{-n h v / k \theta}} .
\]

Как и в предыдущей лекџии, обозначим
\[
\alpha=1 / k \Theta \text {. }
\]

Тогда
\[
\bar{W}=I_{1}(\alpha) / I_{0}(\alpha)
\]

где теперь
\[
I_{0}=\sum_{n=0}^{\infty} e^{-\vartheta h
u \alpha}, \quad I_{1}=\sum_{n=0}^{\infty} n h v e^{-n h v \alpha} .
\]

Нетрудно видеть, что
\[
I_{1}(\alpha)=-I_{0}{ }^{\prime}(\alpha) .
\]
$I_{0}$ есть сумма геометрической прогрессии:
\[
I_{0}(\alpha)=\frac{1}{1-e^{-h^{*}{ }^{*}}}
\]

Дифференцируя это выражение по $\alpha$, получаем:
\[
I_{1}(\alpha)=\frac{h v e^{-h
u \alpha}}{\left(1-e^{-h
u \alpha}\right)^{2}} .
\]

Подставляя (6), (7) и (4) в (5), мы приходим к следующему выражению для средней өнергии осџиллатора:
\[
\bar{W}=\frac{h
u}{e^{h
u / k \Theta}-1} .
\]

Здесь средняя әнергия уже существенно зависит от частоты осџиллатора. Подставляя выражение (8) в формулу для плотности энергии излучения:
\[
\rho v=\frac{8 \pi v^{2}}{c^{3}} \bar{W}
\]

находим:
\[
\rho_{
u}=\frac{8 \pi h v^{3}}{c^{2}} \frac{1}{e^{h v_{j} k \theta}-1} .
\]

Таким образом, гипотеза Планка приводит к формуле для спектральной плотности равновесного излучения, которая, как было сказано в прошлой лекџии, находится (при соответствующем выборе константы $h$ ) в полном согласии с опытом.

Применим выражение Планка для $\bar{W}$ к задаче о теплоемкости твердого тела. Энергия твердого тела, состоящего из $N$ атомов, колеблющихся около своих положений равновесия с одинаковой собственной частотой $
u$, равна
\[
E \equiv 3 N \bar{W}=\frac{3 N}{e^{h v / k \theta}-1}
\]

Дифференџируя (9) по $\Theta$, мы найдем выражение для теплоемкости, хорошо передающее качественный ход зависимости теплоемкости от температуры, наблюдаемый на опыте ${ }^{1}$.
Если
\[
h v / k \Theta \ll 1,
\]

имеем приближенно:
\[
W=\frac{h v}{\left(1+\frac{h v}{k \Theta}\right)-1}=k \Theta,
\]
т. е. формула (9) переходит в классическую. Посмотрим, могут ли квантовые закономерности, т. е. отличие (9) от (10), быть заметными в случае макроскопических электромагнитных колебаний.
Так как $k=1,38 \cdot 10^{-16}$ өрг/град, имеем при $\Theta=300^{\circ}$ (грубо):
\[
k \Theta=4 \cdot 10^{-14} \text { эргов. }
\]
1 [См. 10-ю лекџию.]

Возьмем $
u=10^{10}$ сек $^{-1}$, что соответствует длине волны 3 см. Тогда, поскольку $h=6,6 \cdot 10^{-27}$ эрг $\cdot$ сек, получаем (грубо):
\[
\begin{array}{c}
h
u=6 \cdot 10^{-17} \text { эргов; } \\
h v / k \Theta \sim 10^{-3} \ll 1 .
\end{array}
\]

Таким образом, здесь квантовые закономерности не будут сказываться; они лежат далеко за пределами чувствительности наших приборов.

Совсем иначе обстоит дело для видимого света. Возьмем длину волны $6 \cdot 10^{-5} \mathrm{cм,}$ т. е. $
u=5 \cdot 10^{14}$. Имеем (грубо):
\[
\begin{array}{c}
h
u=3 \cdot 10^{-12} ; \\
h
u / k \Theta \sim 100 ; \\
\bar{W}=k \Theta \cdot 100 \cdot e^{-100} .
\end{array}
\]

Средняя энергия осџиллатора ничтожно мала по сравнению с $k \Theta$.
Как было сказано в предыдуџей лекции, осџиллатор Планка движется по законам классической механики. Точка, изображающая движение осџиллатора на фазовой плоскости, движется по эллиптической орбите. Энергия осџиллатора на данной орбите постоянна; она задана квантовыми условиями (1).

Согласно классической электродинамике, электрон, совершающий гармоническое колебание, должен был бы излучать. Осџиллатор Планка излучает только при переходе из одного состояния в другое; при этом частота его излучения та же, что и частота обращения по эллиптической орбите на фазовой плоскости, одинаковая для всех орбит.

Бор, исходя из ядерной модели атома, предложенной Резерфордом, перенес на атом квантовые представления Планка. Ему пришлось при этом оторвать частоту излучения от частоты обращения электрона по орбите.

При квантовании движения осџиллатора Планк считал параметры осџиллатора неизменными. Рассмотрим поведение осџиллатора при очень медленных изменениях параметров, например поведение маятника при его укорочении. Энергия осџиллатора будет меняться за счет работы, производимой над ним внешними силами при изменении параметра. Этот случай был разобран Релеем.

Оказывается, что при очень медленном изменении параметров осџиллатора отношение $W /
u$ остается постоянным. Таким образом, при медленном изменении параметров квантованный осџиллатор сохраняет свою квантованность, т. е. условие
\[
W /
u=n h
\]

остается в силе. Величина $W /
u$ является, как принято выражаться, адиабатическим инвариантом гармонического осџиллатора. (Адиабатическим инвариантом называют величину, остающуюся неизменной при медленном изменении параметров.)
Рассмотрим случай шарика, движущегося по инерџии между двумя стенками, находящимися другот друга на расстоянии $l$ (рис. $32, a$ ), от которых он отражается по закону абсолютно упругого удара. Шарик соверРис. 32. шает периодическое движение с неизменной по абсоизображается прямоугольником 1,2,3, 4 (рис. 32,б). Мы будем считать, что из 2 в 3 и из 4 в 1 совершается мгновенный перескок (на самом деле движение, конечно, сложнее).

Как изменится движение, если мы начнем очень медленно уменьшать параметр $l$, т. е. сближать стенки?
Применим теорему вириала ${ }^{1}$. Здесь
\[
2 \bar{T}=-V=-\left\{\frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} X^{\prime} x_{1} d t+\frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} X^{\prime \prime} x_{2} d t\right\},
\]

где $X^{\prime}$ и $X^{\prime \prime}$ – силы, действующие на шарик со стороны первой и второй стенки. Так как

имеем:
\[
x_{1}=0, \quad x_{2}=l,
\]
\[
2 \bar{T}=-l \overline{X^{\prime \prime}}
\]

или
\[
\overline{X^{\prime \prime}}=-\frac{2 \bar{T}}{l},
\]
1 [См. 9-ю лекџию.]

где $\overline{X^{\prime \prime}}$ – среднее значение силы за период (среднее яначение силы, с которой шарик действует на стенку, есть- $\bar{X}^{\prime \prime}$ ).
При сближении стенок на $|\Delta l|(\Delta l<0)$ мы совершаем работу
\[
\Delta A=-\frac{2 \bar{T}}{l} \Delta l \text {. }
\]

Эта работа равна увеличению средней энергии движения шарика:
\[
\Delta \bar{T}=-\frac{2 \bar{T}}{l} \Delta l,
\]

откуда
\[
\frac{\Delta \bar{T}}{\bar{T}}=-2 \frac{\Delta l}{l} .
\]

Период движення шарика есть
\[
\tau=\frac{2 l}{v} .
\]

Изменение его, вследствие сближения стенок, равно
\[
\Delta \tau=2 \frac{\Delta l \cdot v-l \cdot \Delta v}{v^{2}} .
\]

Из (12) и (13) получаем:
\[
\frac{\Delta \tau}{\tau}=\frac{\Delta l}{l}-\frac{\Delta v}{v} .
\]

В данном случае
\[
2 \bar{T}=m v^{2}, \quad \Delta \bar{T}=m v \Delta v,
\]
T. e.
\[
\frac{\Delta \bar{T}}{T}=2 \frac{\Delta v}{v} .
\]

Подставляя в (14) $\frac{\Delta l}{l}$ из (11) и $\frac{\Delta v}{v}$ из (15), получаем:
\[
\Delta \tau \cdot \bar{T}+\tau \cdot \Delta \bar{T}=\mathbf{0},
\]
т. e.
\[
\bar{T} \tau \text { const, }
\]

или
\[
\frac{2 \bar{T}}{
u}=\mathrm{const},
\]
8*

где
\[
v=1 / \tau
\]

есть частота колебаний шарика.
Площадь џикла на фызовой плоскости равна
\[
S=2 m v l=m v^{2} \frac{2 l}{v}=2 \bar{T} \tau=\frac{2 \bar{T}}{v} .
\]
$\partial_{\text {то }}$ – частный случай полученного ранее соотношения ${ }^{1}$. На основании (16) имеем:
\[
S=\mathrm{const},
\]
– площадь џикла есть адиабатический инвариант.
Рис. 33.
Рис. 34.
Можно рассмотреть аналогичную задачу для немного более сложного случая (рис. 33): упругий мячик движется вертикально под действием силы тяжести, отскзкивая от горизонтального стола, причем ускорение тяжести (параметр) медленно меняется. Здесь график зависимости координаты от времени и траектория на фазовой плоскости имеют вид, показанный соответственно на рис. $34, a$ и б. Применяя теорему вириала, мы найдем также и здесь, что
\[
\frac{2 \bar{T}}{\vee}=\text { const. }
\]

Рассмотрим колебательный контур (рис. 19), емкость которого медленно изменяется (раздвигаются пластины конденсатора). Здесь
\[
T=\frac{L Q^{2}}{2}, \quad U=\frac{Q^{2}}{2 \bar{C}},
\]
1 [См. 9-ю лекцшю.]

где $Q$ – заряд конденсатора, меняющийся по закону
\[
Q=A \sin (\omega t+\varphi),
\]

причем
\[
\omega^{2}=\frac{1}{L C} .
\]

Закон сохранения энергии нам дает:
\[
\frac{L \dot{Q}^{2}}{2}+\frac{Q^{2}}{2 C}=W=\text { const. }
\]

На фазовой плоскости $(Q, L \dot{Q})$ изображающая точка описывает эллипс с полуосями
\[
\sqrt{2 C W}, \sqrt{2 L W} .
\]

Вычислим работу, совершаемую над конденсатором при изменении емкости. В каких случаях раєота, пфтребная для изменения емкости, равна изменению әнергии конденсатора $Q_{2}^{2} / 2 C$ ? Тогда, когда работа џеликом идет на измєнение этой энергии. Так обстоит дело, если кон денсатор изолирован и, следовательно, его заряд $Q$ остается постоянным.

Пусть мы изменили емкость изолированного конденсатора на $d C$, раздвинув или сблизив пластины. Работа раздвижения пластин изолированного конденсатора
\[
d A=d U=d \frac{Q^{2}}{2 C}=-\frac{Q^{2}}{2 C^{2}} d C=-\frac{U}{C} d C
\]
(положительная работа $d A>0$ соответствует $d C<0$, т. е. раздвижению пластин). Но можно утверждать большее, а именно: работа раздвижения всегда выражается формулой
\[
d A=-\frac{U}{C} d C
\]

так как сила, действуюшая между пластинами, не зависит от того, изолированы они или нет (последнее имеет место, напғимер, если они соединены с источником постоянного напряжения). Но рассмотрение изолированного конденсатора позволяет получить формулу (17) наиболее просто.

Если изменение параметра очень медленное, то можно считать величину $\dot{C} / C$ постоянной в течение одного периода колебаний. Тогда работа, совершаемая за период колебаний $\tau$, будет
\[
\Delta A=-\frac{\dot{C}}{C} \int_{0}^{\tau} U d t=-\frac{\dot{C}}{C} \bar{U}_{\tau}
\]

Ho
\[
\frac{d C}{d t}=\frac{\Delta C}{\tau},
\]

где $\Delta C$ – изменение емкости за время $\tau$. Подставляя (19) в (18), получаем:
\[
\Delta A=-\frac{\Delta C}{2} \bar{U}=-\frac{\Delta C}{2} \frac{W}{C} .
\]

Эта работа пошла на увеличение полной энергии $W$ :
\[
\Delta W=-\frac{\Delta C}{2} \frac{W}{\mathscr{C}},
\]

или
\[
\frac{\Delta W}{W}=-\frac{\Delta C}{2 C} \text {. }
\]

С другой стороны,

откуда
\[
\tau=2 \pi \sqrt{L C}
\]
\[
\frac{\Delta \tau}{\tau}=\frac{\Delta C}{2 C} \text {. }
\]

Сравнивая (21) и (20), получаем:
\[
\frac{\Delta \tau}{\tau}+\frac{\Delta W}{W}=0
\]

В нашем случае (гармонический осуиллатор)
\[
W=2 \bar{T},
\]

и, следовательно, на основании (22) мы снова получаем:
\[
\frac{2 \bar{T}}{\vee}=\text { const. }
\]

Во всех рассмотренных нами случаях отношение средней кинетической энергии к частоте является адиабатическим инвариантом. Әтот результат был обобщен на любую консервативную систему с одной степенью свободы ${ }^{1}$.
1 [Обобщение на случай п степеней свободы см. С. М. Рытов, Труды ФИАН, т. 2, выт. 1, стр. 41. Изд-во АН СССР, 1939].