Оконіние доказательства основной теорежы о собственных значениях задачи Штурма-Лиувилля. Число узлов собственных функций. Оценки собственных значений. Изменение собственных значений при изменении параметров. Массы и индуктивности на кондах распределенной системы.

Для того, чтобы закончить рассмотрение собственных колебаний распределенных систем, мы должны сегодня завершить доказательство фундаментальной теоремы о счетном множестве собственных значений в задаче Штурма-лиувилля.

Мы выяснили, что если при заданном целом $n$ можно найти такое $\lambda$, при котором уравнение (25) предыдуџей лекџии имеет решение $\theta(x)$, проходящее через точки $x=0, \theta=\gamma_{1}$ и $x=l, \theta=$ $=\gamma_{2}+n \pi$, то это $\lambda$ есть собственное значение нашей краевой задачи, а $\theta(x)$ – соответствующая собственная функция.

Решения уравнения (25) монотонно возрастают с $x$. Далее мы получили следующий результат. Если $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ – два различных значения $\lambda$, причем $\lambda_{2}>\lambda_{1}$, так что
\[
\sigma_{2}(x)=\lambda_{2} q(x)>\sigma_{1}(x)=\lambda_{1} q(x),
\]

и если
\[
\theta\left(0, \lambda_{2}\right)=\theta\left(0, \lambda_{1}\right)
\]

то для всякого $x>0$

и, в частности,
\[
\begin{array}{l}
\theta\left(x, \lambda_{2}\right)>\theta\left(x, \lambda_{1}\right) \\
\theta\left(l, \lambda_{2}\right)>\theta\left(l, \lambda_{1}\right) .
\end{array}
\]
$И_{3}$ общей теории дифференциальных уравнений следует, что $\theta(x, \lambda)$ есть непрерывная функџия параметра 2. Неравенство (1) означает, что эта функџия – монотонно возрастаю立ая.

Теперь мы пойдем дальше. Мы хотим доказать, что
\[
\theta(l, 0) \ll \gamma_{2} \text {. }
\]

Итак, полагаем $\lambda=0$. Тогда уравнение (25) предыдущей лекџии принимает вид
\[
\theta^{\prime}=\cos ^{2} \theta .
\]

Одно частное решение можно указать сразу:
\[
\theta=\frac{\pi}{2} \text {. }
\]

Это решение ( $\theta$ – постоянно) соответствует граничным условиям для случая, когда оба конџа свободны ( $\alpha_{1}=0, \beta_{1}=0$ ). Отбросим этот спеџиальный случай. Посмотрим, что будет в остальных случаях.

Уравнение (3) не трудно проинтегрировать. Мы получаем общее решение:
\[
\operatorname{tg} \theta=x+C .
\]

Отсюда следует, что если при $x=0 \quad \theta=\gamma_{1}<\frac{\pi}{2}$, то как бы $x$ ни возрастало, $\theta$ остается меньше $\frac{\pi}{2}$ :
\[
\theta(l, 0)<\frac{\pi}{2} .
\]

Но $\gamma_{2} \geqslant \frac{\pi}{2}$ [см. неравенство (30) предыдушей лекџии], и, следовательно, (2) доказано.

Что можно сказать об изменении $\theta$ при неограниченном росте $\lambda$ ? Если вместо $q(x)$ мы подставим в уравнение (25)
\[
m^{2}=q_{\min },
\]

то для данного $\lambda$, вместо $\lambda q(x)$, будет стоять меньшая функция $\lambda m^{2} \leqslant \lambda q(x)$. Обознацим через $\bar{\theta}$ решение нового уравнения:
\[
\vec{\theta}^{\prime}=\cos ^{2} \bar{\theta}-\lambda-\lambda m^{2} \sin ^{2} \bar{\theta} \text {. }
\]

На основании того, что мы раньше доказали, мы знаем, что если $\bar{\theta}(0, \lambda)=\theta(0, \lambda)$, то $\bar{\theta}(x, \lambda)<\theta(x, \lambda)$ при $x>0$. Следовательно, если мы докажем, что при $\lambda \rightarrow \infty$ величина $\bar{\theta}(l, \lambda) \rightarrow \infty$, то это будет подавно справедливо для $\theta(l, \lambda)$.

Но в уравнении (4) переменные разделяются и получается хорошо известный интеграл:
\[
m \sqrt{\lambda} \operatorname{tg} \bar{\theta}=\operatorname{tg}(m \sqrt{\lambda} x+C) .
\]

При $x=l$ имеем:
\[
m \sqrt{\lambda} \operatorname{tg} \bar{\theta}=\operatorname{tg}(m \sqrt{\lambda} l+C),
\]

откуда мы видим, что при $\lambda \rightarrow \infty$ также и $\theta(l, \lambda) \rightarrow \infty$. Действительно, при $\lambda$ таком, что
\[
m \sqrt{\lambda} l+C=\frac{\pi}{2},
\]

правая часть (5) обращается в бесконечность. При өтом $m \sqrt{\lambda} \operatorname{tg} \theta$ тоже обращается в бесконечность, т. е.
\[
\bar{\theta}=\frac{\pi}{2} .
\]

При дальнейшем росте $\lambda$ правая часть делается отриуательной, причем по смыслу задачи $\bar{\theta}$ при этом растет. Если в правой части, благодаря возрастанию $\lambda$, аргумент увеличивается на $\pi$, то и в левой части аргумент 0 возрастает на $\pi$.
Таким образом, наряду с тем, что
\[
\theta(l, 0)<\gamma_{2},
\]

мы доказали, что при $\lambda \rightarrow \infty$
\[
\theta(l, \lambda) \rightarrow \infty .
\]

Еще одно замечание. Число добавляющихся $\pi$ для $\vec{\theta}$ равно или больше того, сколько раз $\pi$ прибавляется к аргументу $m \sqrt{\lambda} l$. Поятому $\theta$ не может обратиться в $\infty$ раньше, чем $\lambda$ обратится в $\infty$.
Докажем теперь основную теорему.
На оси ординат (рис. 170) отложим отрезок $\gamma_{1}$. Построим для произвольно выбранного $\lambda$ кривую $\theta(x, \lambda)$. Она отсекает на прямой $x=l$ некоторый отрезок $\theta(l, \lambda)$. Мы доказали, что его длина непрерывно возрастает с ростом $\lambda$. При этом кривые поворачиваются и будут при $\lambda=\infty$ пересекать ось $x=l$ в бесконечности. При некотором $\lambda=\lambda_{0}$ кривая непременно попадет в $\gamma_{2}$, при некотором $\lambda=\lambda_{1}-$ в $\gamma_{2}+\pi$, при некотором $\lambda=\lambda_{2}-$ в $\gamma_{2}+2 \pi$ и т. д.

Каждый раз, как кривая будет попадать в одну из этих точек, будет получаться нужное нам решение, удовлетворяюшее краевым условиям (28), которые мы писали в предыдущей лекдии. $\theta(l ; \lambda)$ непрерывная функџия $\lambda$. Непрерывная же функџия пробегает все значения в интервале между крайними точками. Отсюда мы заключаем, что наверняка существуют такие значения $\lambda_{0}, \lambda_{1}, \ldots$ параметра $\lambda$, которые можно расположить в порядке возрастания $\left(0<\lambda_{1}<\lambda_{2}<\ldots\right)$, и такие, что при $\lambda=\lambda_{0} \quad \theta(l, \lambda)=\gamma_{2}$, при $\lambda=\lambda_{1} \quad \theta(l, \lambda)=\gamma_{2}+\pi$, при $\lambda=\lambda_{2} \quad \theta(l, \lambda)=\gamma_{2}+2 \pi$, . . . . . . . . . . . . . .

Ряд этих значений $\lambda$ – собственных значений нашей задачи – не может иметь точек сгущения в конечной области. В самом деле, $\theta(l, \lambda)$ – непрерывная функдия $\lambda$. Если бы были два сколь угодно близкие значения $\lambda$, то существовали бы два сколь угодно близкие значения $\theta(l, \lambda)$, а мы знаем, что этого не может быть.
Говоря физически, каждый
Рис. 170. обертон выше предыдущего и частота колебаний с ростом обертона растет в бесконечность.

Для определенного $\lambda$ функция $\theta$ однозначно определена. Это значит, что для каждой частоты существует определенная форма колебания. Различных форм для одной частоты быть не может.
Возьмем какое-нибудь $\lambda_{n}$. При этом
\[
\theta\left(l, \lambda_{n}\right)=\gamma_{2}+n \pi \text {. }
\]

Функџия $\theta\left(x, \lambda_{n}\right)$ – монотонно возрастающая функџия, ее производная, вообще говоря, не постоянна (рис. 170). Обращается ли собственная функуия $\varphi=p \sin \theta$, соответствуюшая $\lambda=\lambda_{n}$, в нуль где-нибудь на протяжении длины стержня? И если да, то сколько pas?

Существует значение $x$, при котором $\theta=\pi$ и $\sin \theta=0$. Так как $\theta$-монотонная функция $x$, то она принимает это значение $28^{*}$ только один раз. Кривая $\theta(x)$ пересекает прямые $\theta=2 \pi, \theta=3 \pi, \ldots$ Имеется $n$ таких прямых. Таким образом, внутри интервала $(0, l)$ собственная функџия $n$ раз обращается в нуль. Какую бы систему мы ни взяли, $n$-ой гармонике всегда соответствует $n$ узлов. Мы уже знаем, что в однородном стержне при $\lambda=\lambda_{0}$ нет ни одного узла, при $\lambda=\lambda_{1}$ – один узел и т. д. (см. рис. 156. Теперешняя нумераџия обертонов отличается от прежней: $n=s-1$ ). Число узлов (не на конџах) равно номеру обертона. Мы видим теперь,
Рис. 171.

что это свойство имеет место и в самом общем случае. Его можно описать и так: система подразделяется на $n+1$ отрезок, причем смежные откезки колеблются в противоположных фазах (рис. 171). Это обстоятельство очень важно в вопросах излучения.

Есть один случай кажущегося противоречия – случай открытых концов. Мы склонны сказать, что на рис. 172 изображен основной тон. Тут есть один узел. Между тем при основном тоне его не должно быть. Но дело в том, что при обоих свободных кон-
Рис. 172.
џах суџествует собственное значение $\lambda=0$. Мы должны рассматривать в качестве основного тона движение, соответствующее $\lambda=0$. Но в вопросах колебаний это движение нас не интересует (собственная функция здесь-постоянная). Основной тон открытой на конџах антенны соответствует статическому заряду, первый обертон – колебанию в полволны и т. д.

Мы доказали основную теорему существования. Рассмотрим теперь некоторые ее физические следствия.

При увеличении $\lambda$ кривые $\theta(x, \lambda)$ непрерывно поднимаются. Выбрав какую-нибудь точку $\theta(l)$, мы тем самым задаем определенное значение $\lambda$. Интервалу значений $\theta(l)$ соответствует определенный интервал значений $\lambda$. Граничные условия были такие: $\theta(l)=\gamma_{2}+n \pi$, причем $\gamma_{2}$ лежит между $\pi / 2$ и $\pi$. Это объясняется тем, что
\[
\operatorname{tg} \gamma_{2}=-\frac{\beta_{2}}{\beta_{1}},
\]

где $\beta_{1}$ и $\beta_{2}$-одного знака. Последнее вытекает из физических соображений; например: $\beta_{2} / \beta_{1}$ есть отношение емкости на единиџу длины провода к емкости $C_{0}$ приключенного к его конџу конденсатора.

Будем теперь при одном и том же $q(x)$ задавать различные граничные условия (например, меняя емкость конденсатора.) Этим мы будем задавать различные точки $\theta(l)$. Но как бы мы ни изменяли емкость конденсатора, мы не выйдем для $\gamma_{2}$ за „зарубки“ $\pi / 2$ и $\pi$. Нельзя посадить конечную точку в интервал между $\pi$ и $3 \pi / 2$. Отсюда следует, что нельзя перекрыть всю шкалу частот колебаний, меняя только емкость конденсатора, приключенного на конџе.

В случае однородной системы, открытой на одном конџе (рис. $149, a$ ), при $C_{0}=\infty$ имеем:
\[
\lambda_{0}=\frac{c}{4 l},
\]

а при $C_{0}=0$
\[
\lambda_{0}=\frac{c}{2 l} .
\]

Вращая конденсатор, мы можем перейти непрерывно от значения (6) к значению (7), но дальше остается разрыв: первый обертон при $C_{0}=\infty$ имеет квадрат частоты
\[
\lambda_{1}=\frac{3 c}{4 l} .
\]

Разрыв между $c / 2 l$ и $3 c / 4 l$ нельзя перекрыть путем подбора $C_{0}$. Есть запретные зоны, в которые нельзя попасть, меняя условия на одном конце.

Изменим теперь, попрежнему не меняя саму распределенную систему, граничные условия на обоих кондах. Собственное значение $\lambda$ изменится: увеличится или уменьшится. Наклон интегральных кривых станет всюду (т. е. при любых $x$ ) либо больше, либо меньше, чем прежде. Будем сравнивать интересующий нас случай со случаем закрепленных кондов, когда $\gamma_{1}=0, \gamma_{2}=\pi$ (рис. 173). Мы видим, что система дает наивысший тон тогда, когда закреплены оба конда, а наинизший – когда оба конџа свободны. При данной распределенной системе самая низкая частота соответствует двум свободным конџам.

Вообще говоря, вычислить $\lambda_{n}$ совсем нелегко. Но можно указать некоторые пределы, между которыми заключены $\lambda_{n}$. Будем сравнивать два случая. Граничные условия в обоих случаях одни и те же, но в одном из них $q=q_{1}(x)$, а в другом $q=q_{2}(x)$. Пусть для всех $x$

Покажем, что
\[
\boldsymbol{q}_{2}(x)>q_{1}(x) .
\]
\[
\lambda_{n}^{(2)}<\lambda_{n}^{(1)} .
\]

Интегральные кривые $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$, соответствуюшие обоим $q(x)$, должны проходить через одни и те же конџевые точки (рис. 174).
Рис. 173.
Если $\lambda_{n}^{(2)}>\lambda_{n}^{(1)}$, то во всем интервале $(0, l)$ имеем:
\[
\lambda_{n}^{(2)} q_{2}>\lambda_{n}^{(1)} q_{1},
\]

Рис. 174.
и если $\theta_{2}(0)=\theta_{1}(0)$, то при $x>0$ всюду $\theta_{2}^{\prime}(x)>\theta_{1}^{\prime}(x)$. Следовательно, $\theta_{2}(l)=0_{1}(l)$ невозможно, а значит, $\lambda_{r i}^{(2)}$ равно или меньше $\lambda_{n}^{(1)}$. Если $\lambda_{n}^{(2)}<\lambda_{n}^{(1)}$, то может быть так, что в части интервала $\theta_{2}^{\prime}(x)>\theta_{1}^{\prime}(x)$, в другой части $\theta_{2}^{\prime}(x)<\theta_{1}^{\prime}(x)$, и равенство $\theta_{2}(l)=$ $=\theta_{1}(l)$ возможно.

Таким образом, с увеличением $q(x)$ частота $n$-го обертона уменьшается или в крайнем случае остается постоянной.
Вспомним теперь, что
\[
q(x)=p(x) \bar{q}(x),
\]

причем $\bar{q}(x)$ – плотность, $p(x)$-коэффиџиент упругости. Было бы ошибкой сразу же сделать из доказанного выше заключение, что при увеличении $\bar{q}$ частоты уменьшаются; дело в том, что $p$ входит в уравнение, преобразованное от $x$ к , а при этом преобразовании меняется не только дифференциальное уравнение, но и длина интервала $(0, l)$. Но не трудно провести исследование того, как изменяются собственные значения при изменении $q$. При этом получается следующий результат.

Если $q(x)$ изменяется так, что новые значения $q(x)$ всюду больше или равны прежним, причем изменение $q(x)$ происходит не в отдельных точках, а на конечных интервалах, то все $\lambda$ уменьшаются. На основании этой теоремы можно делать хорошие оџенки собственных значений.
Заменим в уравнении
\[
\frac{d^{2} \varphi}{d x^{2}}+\lambda q(x) \varphi=0
\]
$q(x)$ на
\[
m^{2}=q_{\mathrm{min}} .
\]

Получатся новые собственные значения $\lambda_{n}^{\prime}$, причем
\[
\lambda_{n} \ll \lambda_{n}^{\prime} \text {. }
\]

Возьмем теперь вместо $q(x)$
\[
M^{2}=q_{\max } .
\]

Опять получатся новые собственные значения $\lambda_{n}^{\prime \prime}$, причем

Итак,
\[
\lambda_{n} \geqslant \lambda_{n}^{\prime \prime}
\]
\[
\lambda_{n}^{\prime \prime} \ll \lambda_{n} \ll \gamma_{n}^{\prime},
\]

а величины $\lambda_{n}^{\prime}$ и $\lambda_{n}^{\prime \prime}$ легко вычислить.
Рассмотрим далее такую задачу. Дано дифференциальное уравнение (8), но граничные условия не даны. В каких пределах лежат собственные значения?

Воспользуемся тем, что наибольшая частота получается при закреплении кондов. При обоих закрепленных конџах мы имели бы в случае, если вместо $q(x)$ плотность была бы равна $\mathrm{m}^{2}$,
\[
\lambda_{n}=\frac{(n+1)^{2} \pi^{2}}{l^{2} m^{2}} .
\]

Следовательно, в интересующей нас системе
\[
\lambda_{n}<\frac{(n+1)^{2} \pi^{2}}{l^{2} m^{2}} .
\]

Воспользуемся теперь тем, что наименьшие частоты получаются при свободных конџах (надо только иметь в виду, что при этом наименьшее $\lambda$ равно нулю). Для свободных конџов мы имели бы в случае, если бы вместо $q(x)$ плотность была равна $M^{2}$,
\[
\lambda_{n}=\frac{n^{2} \pi^{2}}{l^{2} M^{2}} \text {. }
\]

Следовательно, для произвольных граничных условий
\[
\frac{n^{2} \pi^{2}}{l^{2} M^{2}}<\lambda_{n}<\frac{(n+1)^{2} \pi^{2}}{l^{2} m^{2}} .
\]

Эти неравенства дают хорошую оџенку и в тех случаях, когдв функџия $q(x)$ изменяется в небольшом интервале.

Если закрепить систему в середине, она распадается на две независимые половинки. Естественно предположить, что частоты при этом увеличатся. Для постоянной плотности это ясно; но так ли это, если плотность растет с $x$ ? Правая система короче исходной, но средняя плотность ее больше. Что побеждаетнаперед сказать трудно. Существует теорема, на основании которой сразу можно сказать, что будет повышение частоты ${ }^{1}$.

Мы решили очень интересную для физики задачу, записывающуюся в виде схемы:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial x}\left(p \frac{\partial y}{\partial x}\right)=q \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} \\
\left(\alpha_{1} y-\alpha_{2} \frac{\partial y}{\partial x}\right)_{0}=0 ; \\
\left(\beta_{1} y+\beta_{2} \frac{\partial y}{\partial x}\right)_{l}=0 .
\end{array}
\]

Вспомним физический смысл граничных условий (10) и (11). Для стержня они означают, что конды связаны с неподвижными точками через пружины, для электрической системы – что на конџах включены емкости. Таким образом, мы охватили случай, когда на конџах находятся резервуары потендиальной или әлектрической энергии.

С точки зрения физики случаями того же класса являются те, когда вместо конденсаторов на конџах включены катушки самоиндукџии, вместо пружин к конџам прикреплены массы, т.е.
${ }^{1}$ [ Р. Куранти Д. Гиль 6 ерт. Методы математической физики, т. I, гл. VI, § 2. M.-л., 1951.]

случаи, когда на кондах имеются резервуары кинетической или магнитной энергии. Между этими случаями и прежними нет существенного физического различия.

Дифференџиальное уравнение (9) здесь сохраняется, но граничные условия получаются другого типа.
Рис. 175.
Пусть на конџе стержня укреплена масса $M$ (рис. 175). Тогда при $x=l$ имеем условие
\[
M \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=-p(l) \frac{\partial y}{\partial x},
\]

отличное от (11): вместо члена с $y$ имеется член с $\partial^{2} y / \partial t^{2}$. Если подставить в граничное условие выражение

то получится:
\[
y=\varphi(x) \cos \sqrt{\lambda} t,
\]
\[
\lambda \varphi(l)-p(l) \varphi^{\prime}(l)=0 .
\]

Отличие от (11) в том, что, во-первых, здесь перед рф’ стоит знак минус, и, во-вторых, в том, что в граничное условие входит параметр $\lambda$. Таким образом, случай массы на конџе не охватывается той теорией, которая была изложена. В этом есть известная неудовлетворительность.

Рассмотрение новой задачи дает для собственных значений результаты, совпадающие с полученными прежде. Но для собственных функџий получается отличие; здесь собственные функции разного номера не ортогональны между собой.

Однако это отличие исчезает при другом выборе переменной. Если вместо задачи для заряда (или тока) и смещения рассматривать задачу для электрического или механического напряжения (или деформаџии), то мы получим при граничных условиях нового типа прежнюю задачу – задачу Штурма-Лиувилля.
Введем в уравнение (9) переменную
\[
z=p \frac{\partial y}{\partial x} \text {. }
\]

Мы получим при этом:
\[
\frac{1}{q} \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} .
\]

Продифференцируем это уравнение по $x$ :
\[
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{q} \frac{\partial z}{\partial x}\right)=\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \frac{\partial y}{\partial x}=\frac{1}{p} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\left(p \frac{\partial y}{\partial x}\right),
\]

или
\[
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{q} \frac{\partial z}{\partial x}\right)=\frac{1}{p} \frac{\partial^{2} z}{\partial t^{2}} .
\]

Мы получили для $z$ уравнение того же типа, что для $y$, но с другими входящими в него заданными функџиями. Однако если $p$ и $q$ положительные функџии, то $1 / p$ и $1 / q$ тоже положительны.

Как ведут себя при преобразовании к $z$ граничные условия? Подставляя в (12) соотношения (13) и (14), получаем:
\[
\left(\frac{M}{q} \frac{\partial z}{\partial x}+z\right)_{l}=0 .
\]

По отношению к $z$ тип граничных условий-тот же самый, что был раньше по отношению к $y$ : в (15) не входит вторая производная по $t$, подстановка $\varphi(x) \cos \sqrt{\lambda} t$ не приведет к появлению в граничных условиях параметра $\lambda$. Здесь получатся ортогональные собственные функции и будут иметь место все свойства, полученные раньше для $y$. Таким образом, имеется некоторого рода дуальность между задачей о величине $y$ при граничных условиях типа (11) и задачей о величине $z$ при граничных условиях типа (15).

Если на конџах имеются и емкости и индуктивности (и пружины, и массы), задача не может быть сведена к уже рассмотренным, хотя перейти к этому случаю принципиально несложно. Часть доказанных нами теорем здесь неприменима. Здесь уже ни при каком выборе переменной собственные функции не будут ортогональны в обычном смысле, а будет иметь место только нагруженная ортогональность ${ }^{1}$.

На этом мы закончим изложение основных отделов курса, хотя мы рассмотрели далеко не все вопросы, важные для физики и для техники. Перечислим некоторые из них. Мы не касались поведения распределенных систем с учетом затухания (при малом затухании частоты и формы колебаний изменяются мало) и применения теории возмущений к количественному расчету неоднородных
1 [См. 8-ю лекџию части II.]

систем, обладающих малой неоднородностью. Мы не рассматривали также систем двух и трех измерений (колебания мембран и объемных тел различной формы), вынужденных колебаний распределенных систем и решений некоторых спеџиалыных задач, приводящих к спеџиальным функџиям. Наконед, мы не исследовали бегущих волн, т. е. вопросов распространения колебаний.

Остающееся у нас время я хотел бы посвятить вопросу о применении интегральных уравнений к колебаниям распределенных систем.