Задача об апроксимации функций тригонометрическими полиномами. Теорема Фурье. Исторические замечания о понятии функци. Класс функций, раяложимых в ряд Фурье. Метод комплексных величин; когда можно и когда нельзя его применять.
Нам нужно коснуться вычислительного приема, широко применяемого в теории колебаний, 一 использования комплексных величин. Здесь необходимо предостеречь от одной распространенной ошибки: часто бывает так, что к этому приему привыкают, а потом забывают, когда можно и когда нельзя им пользоваться.
Напишем известные формулы:
$$\begin{array}{c}{e}^{ikx}=\cos kx+i\sin kx\\ \cos kx=\frac{1}{2}(e^{ikx}+e^{-ikx}),\sin kx=\frac{1}{2i}(e^{ikx}-e^{-ikx}),\end{array}$$

где
$$i\cdot i=-1\text{. }$$

Эти формулы позволяют выразить синусоидальные колебания через комплексные экспоненџиальные функџии. В волновой механике теория строится так, что в нее непосредственно входят комплексные величины. Здесь, в теории колебаний, дело обстоит иначе. Нас интересуют действительные величины. Например, когда мы пишем $e^{ikx}$, то нас интересует действительная часть этого выражения, т. е. $\cos kx$; но работать с комплексными величинами удобно, потому что при дифференџировании они себя воспроизводят с точностью до множителя, между тем как синус и косинус ведут себя сложнее.

Всякую комплексную величину $a+ib$ можно представить в виде $A{e}^{i\phi }$, где $A$ и $\phi$-действительные величины, причем
$$A=\sqrt{a_{\mathrm{i}}^2+b^2},\mathrm{tg}\phi =\frac{b}{a}$$
(заметим, что фаза $\phi$ определена здесь неоднозначно).
При перемножении комплексных величин фазы их просто складываются, и это — второе, очень удобное свойство.
Часто мы имеем дело с величинами вида
$$\xi =(a+ib)e^{i\omega t}\text{. }$$

Какова действительная часть этого выражения? Имеем:
$$(a+ib)e^{i\omega t}=A{e}^{i(\omega t+\phi )}=A\cos (\omega t+\phi )+iA\sin (\omega t+\phi ),$$

и, следовательно, искомая действительная часть есть
$$A\cos (\omega t+\phi ).$$

Если колебание задано в виде (1), то произведение ${\xi }^{\ast }$ величины $\xi$ на сопряженную ей величину
$${\xi }^{\ast }=(a-ib)e^{-i\mathrm{iut}}$$

дает квадрат амплитуды действительной части $\xi$ :
$$\xi {\xi }^{\ast }=(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2=A^2.$$

Для того, чтобы найти квадрат амплитуды, не нужно переходить от выражения (1) к его действительной части.

Рассмотрим оптическую задачу — диффракционной решетке (рис. 3), наглядно иллюстрирующую преимущества оперирования комплексными величинами.

Колебания, идущие от соседних щелей решетки, имеют благодаря разности путей разность фаз
$$\phi ={}_{\lambda }^{2\pi }d\sin \alpha .$$

В фокусе линзы происходит сложение $m$ когерентных колебаний ( $m$ — число щелей решетки). Результирующее колебание в точке наблюдения есть
$$\cos \omega t+\cos (\omega t+\phi )+\cos (\omega t+2\phi )+\dots +\cos [\omega t+(m-1)\phi ].$$

Непосредственно сложить эти $m$ членов не так просто. Воспользуемся, однако, комплексным представлением: первый член суммы есть действительная часть от $e^{i\omega t}$, второй — действительная часть от $e^{i(\omega /+\phi )}$ и т. д.

Как известно, действительная часть суммы комплексных величин есть сумма действительных частей слагаемых (но действительная часть произведения не равна произведению действительных частей). Сумму комплексных величин найти очень просто: это сумма геометрической прогрессии с показателем $e^{i\phi }$. Она равна
$$\xi =e^{i\omega t}\frac{e^{im?}-1}{e^i-1}.$$

Рис. 3.
Сумма (3) равна действительной части этого выражения. Но часто нас интересует только квадрат амплитуды колебания (3), т. е. квадрат амплитуды $A$ действительной части комплексного выражения (4). Согласно (2)
$$A^2=\xi {\zeta }^{\ast }=\frac{1-\cos m\phi }{1-\cos \phi }=\frac{{\sin }^2\frac{m\phi }{2}}{{\sin }^2\frac{\phi }{2}}.$$

Рассмотрим еше одно свойство комплексных величин, которое также играет существенную роль в том, почему они так часто употребляются в теории колебаний.
Пусть дана комплексная функџия времени
$$f(t)+ig(t).$$

Ее производная есть
$$\dot{f}+i\dot{g}$$
т. е. действительная часть от производной комплексной функции по действительному аргументу есть производная от действительной части функџии.
Пусть у нас есть дифференџиальное уравнение
$$\ddot{y}+k\dot{y}+{\omega }_0^{2}y=\cos \omega t.$$

Можно найти частное решение этого уравнения, работая с косинусом и синусом, но проше сделать так. Напишем другое дифферендиальное уравнение:
$$\ddot{y}+k\dot{y}+{\omega }_0^{2}y=e^{i\omega t}$$

и будем искать решение нового уравнения в комплексной форме:
$$y=A{e}^{i\omega t}.$$

Тогда для $A$ получается простое уравнение
$$A(-{\omega }^2+i\omega k+{\omega }_v^2)e^{i\omega t}=e^{i\omega t}.$$

Действительная часть получаемого таким путем выражения (6) будет удовлетворять интересуюшему нас дифферендиальному уравнению (5). Это возможно лишь потому, что при подстановке (6) в дифференциальное уравнение мы только дифференшировали и складывали.

Все это важно и полезно, но нужно знать, когда так делать нельзя. Пусть, например,
$$y\dot{y}=\cos \omega t.$$

Можно ли решать это уравнение, заменив правую часть на $e^{\text{iut }}$ ? Нельзя, и эта замена ничего не даст, потому что действительная часть произведения не есть произведение действительных частей.

Пусть $y=a\cos \omega t$ есть ток. Количество тепла, выделяющееся в единиџу времени в сопротивлении $R$, равно
$$R{y}^2=R{a}^2{\cos }^2\omega t.$$

Мы не получим правильного значения этого выражения, если напишем $y=a{e}^{i\omega t}$, возведем в квадрат и возьмем действительную часть: действительная часть квадрата не есть квадрат действительной части.

Итак, комплексные величины представляют большое удобство, но, пользуясь ими, нужно остерегаться нелинейных операџий.

Перейдем теперь к рассмотрению функций периодических, но не гармонических, — рядам Фурье. Вся теория этих рядов возникла из физики — из вопроса о колебаниях струны. Недаром известный математик Клейн настаивал на том, чтобы вопрос о разложении в ряд Фурье излагался физикам иначе, чем это обычно делают математики.

Предположим, что мы имеем периодическую функџию $f(x)$. Для простоты примем период равным $2\pi$ (отсюда легко перейти к функџии с любым периодом). Можно ли апроксимировать $f(x)$ другими периодическими функџиями $\phi (x)$, т. е. заменить $f(x)$ другими периодическими функџиями так, чтобы ошибка при замене была очень мала?

Нужно выбрать какую-нибудь меру ошибки. В качестве такой меры возьмем среднюю квадратичную ошибку:
$$\overline{{\mathrm{\Delta }}^2}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{+\pi }\{f(x)-\phi (x){\}}^{2}dx.$$

Это-принимаемое нами определение погрешности. Мы будем апроксимировать так, чтобы средняя квадратичная ошибка была возможно меньше. Если бы, например, мы выставили требование, чтобы интеграл
$$\overline{J}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{+\pi }\{f(x)-\phi (x)\}dx$$
(средняя ошибка) был возможно меньше, то ни к чему хорошему это не привело бы. Могло бы быть так, что средняя ошибка равна нулю, между тем как на больших интервалах существуют громадные (по абсолютной величине) отклонения $\phi (x)$ от $f(x)$. При выбранной нами мере ошибки этого не может быть. Но вместе с тем ясно, что это не единственно возможный целесообразный выбор.

Возьмем в качестве заменяющей функџии $\phi (x)$ периодическую функцию
$$S_n=\frac{{\alpha }_0}{2}+\sum _{k=1}^n({\alpha }_k\cos kx+{\beta }_k\sin kx)$$

с тем же периодом $2\pi$, что и исходная функция $f(x)$. Вопрос ставится так: нужно выбрать $(2n+1)$ коэффиџиентов ${\alpha }_0,{\alpha }_1$, ${\alpha }_2,\dots ,{\beta }_1,{\beta }_2,\dots$ таким образом, чтобы средняя квадратичная ошибка (7) была возможно меньше. Подставим (8) в (7):
$${\mathrm{\Delta }}^2=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{+\pi }{f}^2(x)dx-\frac{1}{\pi }\{\frac{{\alpha }_0}{2}{\int }_{-\pi }^{+\pi }f(x)dx+$$

$$\begin{array}{l}+\sum _{k=1}^n[{\alpha }_k{\int }_{-\pi }^{+\pi }f(x)\cos kxdx+{\beta }_k{\int }_{-\pi }^{+\pi }f(x)\sin kxdx]+\\ +\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{+\pi }{[\frac{{\alpha }_0}{2}+\sum _{k=1}^n({\alpha }_k\cos kx+{\beta }_k\sin kx)]}^{2}dx.\end{array}$$

Введем далее величины:
$$\begin{array}{c}{a}_k=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{+\pi }f(x)\cos kxdx,b_k=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{+\pi }f(x)\sin kxdx\\ (k=0,1,2,\dots ,n),\end{array}$$

которые называются коэффициентами Фурье функции $f(x)$.
Гармонические функџии обладают следующими свойствами:
$$\begin{array}{l}{\int }_{-\pi }^{+\pi }\cos kx\sin lxdx=0,\\ {\int }_{-\pi }^{+\pi }\cos kx\cos lxdx=\{\begin{array}{ll}0& (keql),\\ \pi & (k=l),\end{array}\\ {\int }_{-\pi }^{+\pi }\sin kx\sin lxdx=\{\begin{array}{ll}0& (keql),\\ \pi & (k=l),\end{array}\\ (k,l=1,2,\dots )\text{. }\end{array}$$

Воспользовавшись формулами (10) и (11), после несложных преобразований получаем из (9):
$$\begin{array}{rl}\overline{{\mathrm{\Delta }}^2}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{+\pi }{f}^2(x)dx& +\frac{{({\alpha }_0-a_0)}^2}{4}+\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n[{({\alpha }_k-a_k)}^2+{({\beta }_k-b_k)}^2]-\\ & -\frac{a_0^2}{4}-\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n(a_k^2+b_k^2).\end{array}$$

В этом выражении переменными являются ${\alpha }_k$ и ${\beta }_k$. Мы должны их выбрать так, чтобы $\overline{{\mathrm{\Delta }}^2}$ было наименьшим. Это будет, очевидно, тогда, когда члены, зависяџие от ${\alpha }_k$ и ${\beta }_k$, равны нулю, т. е. когда коэффиџиенты при косинусах и синусах в заменяющей функџии (8) равняются соответствующим коэффиџиентам Фурье.

Ошибка при таком апроксимировании [при таком выборе функџии $\phi (x)]$ равна
$$\overline{{\mathrm{\Delta }}^2}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{+\pi }{f}^2(x)dx-\frac{a_0^2}{4}-\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n(a_k^2+b_k^2).$$

Здесь нужно отметить следующие два замечательные обстоятельства.

Допустим, что мы прибавляем к заменяющей функции (8) еще один член с $k=n+1$. Тогда оказывается, что при наилучшем апроксимировании коэффиџиенты при прежних членах останутся теми же, что и раньше. Ниоткуда не следует, что в задачах об апроксимаџии функџий дело будет так обстоять всегда. Но в данном случае наилучшая апроксимаџия $n$ членами не зависит от последующего улучшения апроксимаџии: первые члены не нужно пересматривать при добавлении новых. Это объясняется тем свойством синусов и косинусов, что интеграл за период $2\pi$ от произведения любых двух различных функџий из совокупности $\cos kx$, $\sin kx(k=0,1,2,\dots ,n)$ равен нулю [формулы (11)]. Функџии, обладающие таким свойством, называются ортогональными функџиями.
Совокупность функџий
$$\begin{array}{lll}\cos t,& \cos 2t,& \cos 3t,\dots \\ \sin t,& \sin 2t,& \sin 3t,\dots \end{array}$$

является примером совокупности ортогональных функций в интервале $(-\pi ,+\pi )$.

Перейдем ко второму замечательному обстоятельству. Возникает вопрос: является ли система функций
$$\cos kx,\sin kx(k=0,1,2,\dots ,n)$$

замкнутой, т. е. существует ли периодическая функџия с периодом $2\pi$, которая была бы ортогональна ко всем этим функџиям? Оказывается, что при $n=\mathrm{\infty }$ всякая функџия, ортогональная ко всем функциям (13), равна тождественно нулю, т. е. при $n=\mathrm{\infty }$ система (13) — замкнутая.

Вернемся к выражению (12) для средней квадратичной ошибки. Чем больше берется членов в заменяющей функџии (8), тем ошибка
меньше. Теорема Фурье заключается в следующем: при некоторых условиях ${}^1$ бесконечный ряд
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$$

сходится и представляет собой функџию $f(x)$.
Обычно начинают изложение с задачи о точном представлении функџии тригонометрическим рядом. Но физик не может работать с бесконечным числом членов. Поэтому для него важна именно та задача, с которой мы начали, — задача об апроксимаџии.

Очэнь важно выяснить, всякую ли периодическую функџию можно представить в виде ряда Фурье (14)? В связи с этим интерәсно проследить историю задачи о представлении функџии рядами Фурье. Первый вопрос, который здесь возник, был общий вопрос о том, что такое функция.

Эйлер считал, что существуют аналитические и геометрические функџии. Мы получаем, говорил он, аналитические функции, беря такие выражения, как $x,x^2,\sin x$ и т. д. Мы получаем геометрическую функџию, если опишем „свободной рукой“ произвольную кривую ${}^2$. Әти воззрения не отвечают современному определению функџии: $y$ есть функция от $x$, если каждому значению $x$ соответствует определенное значение $y$.

Бернулли, получив решение в виде тригонометрического ряда ${}^3$ (т. е., по Әйлеру, в виде „аналитической функџии“), утверждал, что им получено общее решение, что так можно представить любую функ џию.
Это казалось невероятным. Ведь коэффиџиенты ряда
$$a_1,a_2,\dots ,b_1,b_2,\dots$$

образуют счетное множество, в то время как „число“ значений функџии гораздо больше, множество этих значений более мощное. Тем не менее Фурье имел смелость сказать, что совершенно произвольная (графически заданная) непрерывная функция может быть представлена в виде тригонометрического ряда. И это правильно, потому что (как теперь известно) непрерывные функџии
1 [См. ниже.]
2 [См., например, С. Н. Бернштейн. Исторический обзор развития понятия функџии. Вестник опытной физики и элементарной математики, №5 559, сем. 47, стр. 177, 1912.]
3 [См. 32-ую лекџию и 5-ую лекџию части II.]
3 л. и. Мандельштам, том IV

вовсе не так разнообразны, как это кажется на первый взгляд Достаточно задать непрерывную функџию в раџиональных точках чтобы определить ее полностью. Другими словами, непрерывны функџии задаются совокупностью своих значений в рациональны. точках. Но эти точки составляют множество такой же моџности как и коэффиџиенты разложения (счетное множество). Если мг примем это во внимание, то нас уже не удивит возможност представить любую непрерывную функџию в виде ряда Фурьє

Но плохо, если что-нибудь становится „слишком“ понятнык Я боюсь, что разложение в ряд Фурье уже кажется чем-то сам собой понятным. Это не так: с бесконечными совокупностям нужно обращаться осторожно. Например, возьмите ряд Фурь и выбросьте из него третий член. Число членов остается бескс нечным, и тем не менее с помощью такого бесконечного ряд любую непрерывную функцию уже представить нельзя.

Теорема Фурье справедлива при известных ограничения (достаточные условия того, что функция может быть представ лена рядом Фурье, были указаны Дирихле); рядом Фурье могу быть представлены не все непрерывные функции. С другой стс роны, в виде рядов Фурье может быть представлен определен ный класс разрывных функџий, имеющих только разрывы первог рода (т.е. такие, что и слева и справа от разрыва функци имеет определенное значение). Для того, чтобы функџия могл быть представлена рядом Фурье, она должна иметь конечно число разрывов и не должна иметь бесконечного числа максиму мов и минимумов. Например, непрерывную функџию $\sin (1/x$, которая при $x\to 0$ имеет бесконечно густые максимумы, нельз разложить в ряд Фурье.

Тот класс функџий, которые могут быть представлены рядо1 Фурье, вполне достаточен для физических џелей. Практическ любая интересующая физика функџия может быть разложен в ряд Фурье.

Как быстро убывают коэффициенты Фурье? Ряд (14) сходитс тем быстрее, чем функџия $f(x)$ глаже. Если $h$-порядок разрыв (т. е. порядок наинизшей терпящей разрыв производной), то асимптс тически, при достаточно больших $k$, коэффиџиенты убывают как $1,k^{h+1}$.

Существуют ли различные функции, представляемые одни! и тем же рядом Фурье? Да, существуют. Они отличаются одн от другой тем, что имеют различные значения в конечном ряд точек. Но это исключительный случай. Интересующие нас функ: џии однозначно определяются своим рядом Фурье.

Теорема Фурье была впервые высказана им в 1822 г. в его \»Théorie analytique de la chaleur\», но еще в 1750 г. ее предугадал Бернулли.

Синусы и косинусы — не единственная система ортогональных функџий, по которым можно разлагать произвольную функџию. Существует бесконечное множество таких систем. С этой точки зрения ряд Фурье — чрезвычайно частный случай. Но разложение по косинусам и синусам, т. е. по гармоническим колебаниям, сыграло очень большую роль в развитии общей теории разложения по ортогональным функџиям. В математике остальные разложения тоже важны, не менее важны, чем разложение Фурье. Но разложение Фурье выделено благодаря физическим условиям ${}^1$.