Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Задача об апроксимации функций тригонометрическими полиномами. Теорема Фурье. Исторические замечания о понятии функци. Класс функций, раяложимых в ряд Фурье. Метод комплексных величин; когда можно и когда нельзя его применять. где Эти формулы позволяют выразить синусоидальные колебания через комплексные экспоненџиальные функџии. В волновой механике теория строится так, что в нее непосредственно входят комплексные величины. Здесь, в теории колебаний, дело обстоит иначе. Нас интересуют действительные величины. Например, когда мы пишем $e^{i k x}$, то нас интересует действительная часть этого выражения, т. е. $\cos k x$; но работать с комплексными величинами удобно, потому что при дифференџировании они себя воспроизводят с точностью до множителя, между тем как синус и косинус ведут себя сложнее. Всякую комплексную величину $a+i b$ можно представить в виде $A e^{i \varphi}$, где $A$ и $\varphi$-действительные величины, причем Какова действительная часть этого выражения? Имеем: и, следовательно, искомая действительная часть есть Если колебание задано в виде (1), то произведение $\xi^{*}$ величины $\xi$ на сопряженную ей величину дает квадрат амплитуды действительной части $\xi$ : Для того, чтобы найти квадрат амплитуды, не нужно переходить от выражения (1) к его действительной части. Рассмотрим оптическую задачу — диффракционной решетке (рис. 3), наглядно иллюстрирующую преимущества оперирования комплексными величинами. Колебания, идущие от соседних щелей решетки, имеют благодаря разности путей разность фаз В фокусе линзы происходит сложение $m$ когерентных колебаний ( $m$ — число щелей решетки). Результирующее колебание в точке наблюдения есть Непосредственно сложить эти $m$ членов не так просто. Воспользуемся, однако, комплексным представлением: первый член суммы есть действительная часть от $e^{i \omega t}$, второй — действительная часть от $e^{i(\omega /+\varphi)}$ и т. д. Как известно, действительная часть суммы комплексных величин есть сумма действительных частей слагаемых (но действительная часть произведения не равна произведению действительных частей). Сумму комплексных величин найти очень просто: это сумма геометрической прогрессии с показателем $e^{i \varphi}$. Она равна Рис. 3. Рассмотрим еше одно свойство комплексных величин, которое также играет существенную роль в том, почему они так часто употребляются в теории колебаний. Ее производная есть Можно найти частное решение этого уравнения, работая с косинусом и синусом, но проше сделать так. Напишем другое дифферендиальное уравнение: и будем искать решение нового уравнения в комплексной форме: Тогда для $A$ получается простое уравнение Действительная часть получаемого таким путем выражения (6) будет удовлетворять интересуюшему нас дифферендиальному уравнению (5). Это возможно лишь потому, что при подстановке (6) в дифференциальное уравнение мы только дифференшировали и складывали. Все это важно и полезно, но нужно знать, когда так делать нельзя. Пусть, например, Можно ли решать это уравнение, заменив правую часть на $e^{\text {iut }}$ ? Нельзя, и эта замена ничего не даст, потому что действительная часть произведения не есть произведение действительных частей. Пусть $y=a \cos \omega t$ есть ток. Количество тепла, выделяющееся в единиџу времени в сопротивлении $R$, равно Мы не получим правильного значения этого выражения, если напишем $y=a e^{i \omega t}$, возведем в квадрат и возьмем действительную часть: действительная часть квадрата не есть квадрат действительной части. Итак, комплексные величины представляют большое удобство, но, пользуясь ими, нужно остерегаться нелинейных операџий. Перейдем теперь к рассмотрению функций периодических, но не гармонических, — рядам Фурье. Вся теория этих рядов возникла из физики — из вопроса о колебаниях струны. Недаром известный математик Клейн настаивал на том, чтобы вопрос о разложении в ряд Фурье излагался физикам иначе, чем это обычно делают математики. Предположим, что мы имеем периодическую функџию $f(x)$. Для простоты примем период равным $2 \pi$ (отсюда легко перейти к функџии с любым периодом). Можно ли апроксимировать $f(x)$ другими периодическими функџиями $\varphi(x)$, т. е. заменить $f(x)$ другими периодическими функџиями так, чтобы ошибка при замене была очень мала? Нужно выбрать какую-нибудь меру ошибки. В качестве такой меры возьмем среднюю квадратичную ошибку: Это-принимаемое нами определение погрешности. Мы будем апроксимировать так, чтобы средняя квадратичная ошибка была возможно меньше. Если бы, например, мы выставили требование, чтобы интеграл Возьмем в качестве заменяющей функџии $\varphi(x)$ периодическую функцию с тем же периодом $2 \pi$, что и исходная функция $f(x)$. Вопрос ставится так: нужно выбрать $(2 n+1)$ коэффиџиентов $\alpha_{0}, \alpha_{1}$, $\alpha_{2}, \ldots, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots$ таким образом, чтобы средняя квадратичная ошибка (7) была возможно меньше. Подставим (8) в (7): \[ Введем далее величины: которые называются коэффициентами Фурье функции $f(x)$. Воспользовавшись формулами (10) и (11), после несложных преобразований получаем из (9): В этом выражении переменными являются $\alpha_{k}$ и $\beta_{k}$. Мы должны их выбрать так, чтобы $\overline{\Delta^{2}}$ было наименьшим. Это будет, очевидно, тогда, когда члены, зависяџие от $\alpha_{k}$ и $\beta_{k}$, равны нулю, т. е. когда коэффиџиенты при косинусах и синусах в заменяющей функџии (8) равняются соответствующим коэффиџиентам Фурье. Ошибка при таком апроксимировании [при таком выборе функџии $\varphi(x)]$ равна Здесь нужно отметить следующие два замечательные обстоятельства. Допустим, что мы прибавляем к заменяющей функции (8) еще один член с $k=n+1$. Тогда оказывается, что при наилучшем апроксимировании коэффиџиенты при прежних членах останутся теми же, что и раньше. Ниоткуда не следует, что в задачах об апроксимаџии функџий дело будет так обстоять всегда. Но в данном случае наилучшая апроксимаџия $n$ членами не зависит от последующего улучшения апроксимаџии: первые члены не нужно пересматривать при добавлении новых. Это объясняется тем свойством синусов и косинусов, что интеграл за период $2 \pi$ от произведения любых двух различных функџий из совокупности $\cos k x$, $\sin k x(k=0,1,2, \ldots, n)$ равен нулю [формулы (11)]. Функџии, обладающие таким свойством, называются ортогональными функџиями. является примером совокупности ортогональных функций в интервале $(-\pi,+\pi)$. Перейдем ко второму замечательному обстоятельству. Возникает вопрос: является ли система функций замкнутой, т. е. существует ли периодическая функџия с периодом $2 \pi$, которая была бы ортогональна ко всем этим функџиям? Оказывается, что при $n=\infty$ всякая функџия, ортогональная ко всем функциям (13), равна тождественно нулю, т. е. при $n=\infty$ система (13) — замкнутая. Вернемся к выражению (12) для средней квадратичной ошибки. Чем больше берется членов в заменяющей функџии (8), тем ошибка сходится и представляет собой функџию $f(x)$. Очэнь важно выяснить, всякую ли периодическую функџию можно представить в виде ряда Фурье (14)? В связи с этим интерәсно проследить историю задачи о представлении функџии рядами Фурье. Первый вопрос, который здесь возник, был общий вопрос о том, что такое функция. Эйлер считал, что существуют аналитические и геометрические функџии. Мы получаем, говорил он, аналитические функции, беря такие выражения, как $x, x^{2}, \sin x$ и т. д. Мы получаем геометрическую функџию, если опишем „свободной рукой“ произвольную кривую ${ }^{2}$. Әти воззрения не отвечают современному определению функџии: $y$ есть функция от $x$, если каждому значению $x$ соответствует определенное значение $y$. Бернулли, получив решение в виде тригонометрического ряда ${ }^{3}$ (т. е., по Әйлеру, в виде „аналитической функџии“), утверждал, что им получено общее решение, что так можно представить любую функ џию. образуют счетное множество, в то время как „число“ значений функџии гораздо больше, множество этих значений более мощное. Тем не менее Фурье имел смелость сказать, что совершенно произвольная (графически заданная) непрерывная функция может быть представлена в виде тригонометрического ряда. И это правильно, потому что (как теперь известно) непрерывные функџии вовсе не так разнообразны, как это кажется на первый взгляд Достаточно задать непрерывную функџию в раџиональных точках чтобы определить ее полностью. Другими словами, непрерывны функџии задаются совокупностью своих значений в рациональны. точках. Но эти точки составляют множество такой же моџности как и коэффиџиенты разложения (счетное множество). Если мг примем это во внимание, то нас уже не удивит возможност представить любую непрерывную функџию в виде ряда Фурьє Но плохо, если что-нибудь становится „слишком“ понятнык Я боюсь, что разложение в ряд Фурье уже кажется чем-то сам собой понятным. Это не так: с бесконечными совокупностям нужно обращаться осторожно. Например, возьмите ряд Фурь и выбросьте из него третий член. Число членов остается бескс нечным, и тем не менее с помощью такого бесконечного ряд любую непрерывную функцию уже представить нельзя. Теорема Фурье справедлива при известных ограничения (достаточные условия того, что функция может быть представ лена рядом Фурье, были указаны Дирихле); рядом Фурье могу быть представлены не все непрерывные функции. С другой стс роны, в виде рядов Фурье может быть представлен определен ный класс разрывных функџий, имеющих только разрывы первог рода (т.е. такие, что и слева и справа от разрыва функци имеет определенное значение). Для того, чтобы функџия могл быть представлена рядом Фурье, она должна иметь конечно число разрывов и не должна иметь бесконечного числа максиму мов и минимумов. Например, непрерывную функџию $\sin (1 / x$, которая при $x \rightarrow 0$ имеет бесконечно густые максимумы, нельз разложить в ряд Фурье. Тот класс функџий, которые могут быть представлены рядо1 Фурье, вполне достаточен для физических џелей. Практическ любая интересующая физика функџия может быть разложен в ряд Фурье. Как быстро убывают коэффициенты Фурье? Ряд (14) сходитс тем быстрее, чем функџия $f(x)$ глаже. Если $h$-порядок разрыв (т. е. порядок наинизшей терпящей разрыв производной), то асимптс тически, при достаточно больших $k$, коэффиџиенты убывают как $1, k^{h+1}$. Существуют ли различные функции, представляемые одни! и тем же рядом Фурье? Да, существуют. Они отличаются одн от другой тем, что имеют различные значения в конечном ряд точек. Но это исключительный случай. Интересующие нас функ: џии однозначно определяются своим рядом Фурье. Теорема Фурье была впервые высказана им в 1822 г. в его \»Théorie analytique de la chaleur\», но еще в 1750 г. ее предугадал Бернулли. Синусы и косинусы — не единственная система ортогональных функџий, по которым можно разлагать произвольную функџию. Существует бесконечное множество таких систем. С этой точки зрения ряд Фурье — чрезвычайно частный случай. Но разложение по косинусам и синусам, т. е. по гармоническим колебаниям, сыграло очень большую роль в развитии общей теории разложения по ортогональным функџиям. В математике остальные разложения тоже важны, не менее важны, чем разложение Фурье. Но разложение Фурье выделено благодаря физическим условиям ${ }^{1}$.
|
1 |
Оглавление
|