Задача об апроксимации функций тригонометрическими полиномами. Теорема Фурье. Исторические замечания о понятии функци. Класс функций, раяложимых в ряд Фурье. Метод комплексных величин; когда можно и когда нельзя его применять.
Нам нужно коснуться вычислительного приема, широко применяемого в теории колебаний, 一 использования комплексных величин. Здесь необходимо предостеречь от одной распространенной ошибки: часто бывает так, что к этому приему привыкают, а потом забывают, когда можно и когда нельзя им пользоваться.
Напишем известные формулы:
\[
\begin{array}{c}
e^{i k x}=\cos k x+i \sin k x \\
\cos k x=\frac{1}{2}\left(e^{i k x}+e^{-i k x}\right), \quad \sin k x=\frac{1}{2 i}\left(e^{i k x}-e^{-i k x}\right),
\end{array}
\]

где
\[
i \cdot i=-1 \text {. }
\]

Эти формулы позволяют выразить синусоидальные колебания через комплексные экспоненџиальные функџии. В волновой механике теория строится так, что в нее непосредственно входят комплексные величины. Здесь, в теории колебаний, дело обстоит иначе. Нас интересуют действительные величины. Например, когда мы пишем $e^{i k x}$, то нас интересует действительная часть этого выражения, т. е. $\cos k x$; но работать с комплексными величинами удобно, потому что при дифференџировании они себя воспроизводят с точностью до множителя, между тем как синус и косинус ведут себя сложнее.

Всякую комплексную величину $a+i b$ можно представить в виде $A e^{i \varphi}$, где $A$ и $\varphi$-действительные величины, причем
\[
A=\sqrt{a_{\mathrm{i}}^{2}+b^{2}}, \quad \operatorname{tg} \varphi=\frac{b}{a}
\]
(заметим, что фаза $\varphi$ определена здесь неоднозначно).
При перемножении комплексных величин фазы их просто складываются, и это – второе, очень удобное свойство.
Часто мы имеем дело с величинами вида
\[
\xi=(a+i b) e^{i \omega t} \text {. }
\]

Какова действительная часть этого выражения? Имеем:
\[
(a+i b) e^{i \omega t}=A e^{i(\omega t+\varphi)}=A \cos (\omega t+\varphi)+i A \sin (\omega t+\varphi),
\]

и, следовательно, искомая действительная часть есть
\[
A \cos (\omega t+\varphi) .
\]

Если колебание задано в виде (1), то произведение $\xi^{*}$ величины $\xi$ на сопряженную ей величину
\[
\xi^{*}=(a-i b) e^{-i \mathrm{iut}}
\]

дает квадрат амплитуды действительной части $\xi$ :
\[
\xi \xi^{*}=(a+i b)(a-i b)=a^{2}+b^{2}=A^{2} .
\]

Для того, чтобы найти квадрат амплитуды, не нужно переходить от выражения (1) к его действительной части.

Рассмотрим оптическую задачу – диффракционной решетке (рис. 3), наглядно иллюстрирующую преимущества оперирования комплексными величинами.

Колебания, идущие от соседних щелей решетки, имеют благодаря разности путей разность фаз
\[
\varphi={ }_{\lambda}^{2 \pi} d \sin \alpha .
\]

В фокусе линзы происходит сложение $m$ когерентных колебаний ( $m$ – число щелей решетки). Результирующее колебание в точке наблюдения есть
\[
\cos \omega t+\cos (\omega t+\varphi)+\cos (\omega t+2 \varphi)+\ldots+\cos [\omega t+(m-1) \varphi] .
\]

Непосредственно сложить эти $m$ членов не так просто. Воспользуемся, однако, комплексным представлением: первый член суммы есть действительная часть от $e^{i \omega t}$, второй – действительная часть от $e^{i(\omega /+\varphi)}$ и т. д.

Как известно, действительная часть суммы комплексных величин есть сумма действительных частей слагаемых (но действительная часть произведения не равна произведению действительных частей). Сумму комплексных величин найти очень просто: это сумма геометрической прогрессии с показателем $e^{i \varphi}$. Она равна
\[
\xi=e^{i \omega t} \frac{e^{i m ?}-1}{e^{i}-1} .
\]

Рис. 3.
Сумма (3) равна действительной части этого выражения. Но часто нас интересует только квадрат амплитуды колебания (3), т. е. квадрат амплитуды $A$ действительной части комплексного выражения (4). Согласно (2)
\[
A^{2}=\xi \zeta^{*}=\frac{1-\cos m \varphi}{1-\cos \varphi}=\frac{\sin ^{2} \frac{m \varphi}{2}}{\sin ^{2} \frac{\varphi}{2}} .
\]

Рассмотрим еше одно свойство комплексных величин, которое также играет существенную роль в том, почему они так часто употребляются в теории колебаний.
Пусть дана комплексная функџия времени
\[
f(t)+i g(t) .
\]

Ее производная есть
\[
\dot{f}+i \dot{g}
\]
т. е. действительная часть от производной комплексной функции по действительному аргументу есть производная от действительной части функџии.
Пусть у нас есть дифференџиальное уравнение
\[
\ddot{y}+k \dot{y}+\omega_{0}^{2} y=\cos \omega t .
\]

Можно найти частное решение этого уравнения, работая с косинусом и синусом, но проше сделать так. Напишем другое дифферендиальное уравнение:
\[
\ddot{y}+k \dot{y}+\omega_{0}^{2} y=e^{i \omega t}
\]

и будем искать решение нового уравнения в комплексной форме:
\[
y=A e^{i \omega t} .
\]

Тогда для $A$ получается простое уравнение
\[
A\left(-\omega^{2}+i \omega k+\omega_{v}^{2}\right) e^{i \omega t}=e^{i \omega t} .
\]

Действительная часть получаемого таким путем выражения (6) будет удовлетворять интересуюшему нас дифферендиальному уравнению (5). Это возможно лишь потому, что при подстановке (6) в дифференциальное уравнение мы только дифференшировали и складывали.

Все это важно и полезно, но нужно знать, когда так делать нельзя. Пусть, например,
\[
y \dot{y}=\cos \omega t .
\]

Можно ли решать это уравнение, заменив правую часть на $e^{\text {iut }}$ ? Нельзя, и эта замена ничего не даст, потому что действительная часть произведения не есть произведение действительных частей.

Пусть $y=a \cos \omega t$ есть ток. Количество тепла, выделяющееся в единиџу времени в сопротивлении $R$, равно
\[
R y^{2}=R a^{2} \cos ^{2} \omega t .
\]

Мы не получим правильного значения этого выражения, если напишем $y=a e^{i \omega t}$, возведем в квадрат и возьмем действительную часть: действительная часть квадрата не есть квадрат действительной части.

Итак, комплексные величины представляют большое удобство, но, пользуясь ими, нужно остерегаться нелинейных операџий.

Перейдем теперь к рассмотрению функций периодических, но не гармонических, – рядам Фурье. Вся теория этих рядов возникла из физики – из вопроса о колебаниях струны. Недаром известный математик Клейн настаивал на том, чтобы вопрос о разложении в ряд Фурье излагался физикам иначе, чем это обычно делают математики.

Предположим, что мы имеем периодическую функџию $f(x)$. Для простоты примем период равным $2 \pi$ (отсюда легко перейти к функџии с любым периодом). Можно ли апроксимировать $f(x)$ другими периодическими функџиями $\varphi(x)$, т. е. заменить $f(x)$ другими периодическими функџиями так, чтобы ошибка при замене была очень мала?

Нужно выбрать какую-нибудь меру ошибки. В качестве такой меры возьмем среднюю квадратичную ошибку:
\[
\overline{\Delta^{2}}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{+\pi}\{f(x)-\varphi(x)\}^{2} d x .
\]

Это-принимаемое нами определение погрешности. Мы будем апроксимировать так, чтобы средняя квадратичная ошибка была возможно меньше. Если бы, например, мы выставили требование, чтобы интеграл
\[
\bar{J}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{+\pi}\{f(x)-\varphi(x)\} d x
\]
(средняя ошибка) был возможно меньше, то ни к чему хорошему это не привело бы. Могло бы быть так, что средняя ошибка равна нулю, между тем как на больших интервалах существуют громадные (по абсолютной величине) отклонения $\varphi(x)$ от $f(x)$. При выбранной нами мере ошибки этого не может быть. Но вместе с тем ясно, что это не единственно возможный целесообразный выбор.

Возьмем в качестве заменяющей функџии $\varphi(x)$ периодическую функцию
\[
S_{n}=\frac{\alpha_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{n}\left(\alpha_{k} \cos k x+\beta_{k} \sin k x\right)
\]

с тем же периодом $2 \pi$, что и исходная функция $f(x)$. Вопрос ставится так: нужно выбрать $(2 n+1)$ коэффиџиентов $\alpha_{0}, \alpha_{1}$, $\alpha_{2}, \ldots, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots$ таким образом, чтобы средняя квадратичная ошибка (7) была возможно меньше. Подставим (8) в (7):
\[
\Delta^{2}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f^{2}(x) d x-\frac{1}{\pi}\left\{\frac{\alpha_{0}}{2} \int_{-\pi}^{+\pi} f(x) d x+\right.
\]

\[
\begin{array}{l}
+\sum_{k=1}^{n}\left[\alpha_{k} \int_{-\pi}^{+\pi} f(x) \cos k x d x+\beta_{k} \int_{-\pi}^{+\pi} f(x) \sin k x d x\right]+ \\
+\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{+\pi}\left[\frac{\alpha_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{n}\left(\alpha_{k} \cos k x+\beta_{k} \sin k x\right)\right]^{2} d x .
\end{array}
\]

Введем далее величины:
\[
\begin{array}{c}
a_{k}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(x) \cos k x d x, \quad b_{k}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(x) \sin k x d x \\
(k=0,1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]

которые называются коэффициентами Фурье функции $f(x)$.
Гармонические функџии обладают следующими свойствами:
\[
\begin{array}{l}
\int_{-\pi}^{+\pi} \cos k x \sin l x d x=0, \\
\int_{-\pi}^{+\pi} \cos k x \cos l x d x=\left\{\begin{array}{ll}
0 & (k
eq l), \\
\pi & (k=l),
\end{array}\right. \\
\int_{-\pi}^{+\pi} \sin k x \sin l x d x=\left\{\begin{array}{ll}
0 & (k
eq l), \\
\pi & (k=l),
\end{array}\right. \\
(k, l=1,2, \ldots) \text {. } \\
\end{array}
\]

Воспользовавшись формулами (10) и (11), после несложных преобразований получаем из (9):
\[
\begin{aligned}
\overline{\Delta^{2}}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f^{2}(x) d x & +\frac{\left(\alpha_{0}-a_{0}\right)^{2}}{4}+\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n}\left[\left(\alpha_{k}-a_{k}\right)^{2}+\left(\beta_{k}-b_{k}\right)^{2}\right]- \\
& -\frac{a_{0}^{2}}{4}-\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}^{2}+b_{k}^{2}\right) .
\end{aligned}
\]

В этом выражении переменными являются $\alpha_{k}$ и $\beta_{k}$. Мы должны их выбрать так, чтобы $\overline{\Delta^{2}}$ было наименьшим. Это будет, очевидно, тогда, когда члены, зависяџие от $\alpha_{k}$ и $\beta_{k}$, равны нулю, т. е. когда коэффиџиенты при косинусах и синусах в заменяющей функџии (8) равняются соответствующим коэффиџиентам Фурье.

Ошибка при таком апроксимировании [при таком выборе функџии $\varphi(x)]$ равна
\[
\overline{\Delta^{2}}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f^{2}(x) d x-\frac{a_{0}^{2}}{4}-\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}^{2}+b_{k}^{2}\right) .
\]

Здесь нужно отметить следующие два замечательные обстоятельства.

Допустим, что мы прибавляем к заменяющей функции (8) еще один член с $k=n+1$. Тогда оказывается, что при наилучшем апроксимировании коэффиџиенты при прежних членах останутся теми же, что и раньше. Ниоткуда не следует, что в задачах об апроксимаџии функџий дело будет так обстоять всегда. Но в данном случае наилучшая апроксимаџия $n$ членами не зависит от последующего улучшения апроксимаџии: первые члены не нужно пересматривать при добавлении новых. Это объясняется тем свойством синусов и косинусов, что интеграл за период $2 \pi$ от произведения любых двух различных функџий из совокупности $\cos k x$, $\sin k x(k=0,1,2, \ldots, n)$ равен нулю [формулы (11)]. Функџии, обладающие таким свойством, называются ортогональными функџиями.
Совокупность функџий
\[
\begin{array}{lll}
\cos t, & \cos 2 t, & \cos 3 t, \ldots \\
\sin t, & \sin 2 t, & \sin 3 t, \ldots
\end{array}
\]

является примером совокупности ортогональных функций в интервале $(-\pi,+\pi)$.

Перейдем ко второму замечательному обстоятельству. Возникает вопрос: является ли система функций
\[
\cos k x, \sin k x \quad(k=0,1,2, \ldots, n)
\]

замкнутой, т. е. существует ли периодическая функџия с периодом $2 \pi$, которая была бы ортогональна ко всем этим функџиям? Оказывается, что при $n=\infty$ всякая функџия, ортогональная ко всем функциям (13), равна тождественно нулю, т. е. при $n=\infty$ система (13) – замкнутая.

Вернемся к выражению (12) для средней квадратичной ошибки. Чем больше берется членов в заменяющей функџии (8), тем ошибка
меньше. Теорема Фурье заключается в следующем: при некоторых условиях ${ }^{1}$ бесконечный ряд
\[
\frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_{k} \cos k x+b_{k} \sin k x\right)
\]

сходится и представляет собой функџию $f(x)$.
Обычно начинают изложение с задачи о точном представлении функџии тригонометрическим рядом. Но физик не может работать с бесконечным числом членов. Поэтому для него важна именно та задача, с которой мы начали, – задача об апроксимаџии.

Очэнь важно выяснить, всякую ли периодическую функџию можно представить в виде ряда Фурье (14)? В связи с этим интерәсно проследить историю задачи о представлении функџии рядами Фурье. Первый вопрос, который здесь возник, был общий вопрос о том, что такое функция.

Эйлер считал, что существуют аналитические и геометрические функџии. Мы получаем, говорил он, аналитические функции, беря такие выражения, как $x, x^{2}, \sin x$ и т. д. Мы получаем геометрическую функџию, если опишем „свободной рукой“ произвольную кривую ${ }^{2}$. Әти воззрения не отвечают современному определению функџии: $y$ есть функция от $x$, если каждому значению $x$ соответствует определенное значение $y$.

Бернулли, получив решение в виде тригонометрического ряда ${ }^{3}$ (т. е., по Әйлеру, в виде „аналитической функџии“), утверждал, что им получено общее решение, что так можно представить любую функ џию.
Это казалось невероятным. Ведь коэффиџиенты ряда
\[
a_{1}, a_{2}, \ldots, b_{1}, b_{2}, \ldots
\]

образуют счетное множество, в то время как „число“ значений функџии гораздо больше, множество этих значений более мощное. Тем не менее Фурье имел смелость сказать, что совершенно произвольная (графически заданная) непрерывная функция может быть представлена в виде тригонометрического ряда. И это правильно, потому что (как теперь известно) непрерывные функџии
1 [См. ниже.]
2 [См., например, С. Н. Бернштейн. Исторический обзор развития понятия функџии. Вестник опытной физики и элементарной математики, №5 559, сем. 47, стр. 177, 1912.]
3 [См. 32-ую лекџию и 5-ую лекџию части II.]
3 л. и. Мандельштам, том IV

вовсе не так разнообразны, как это кажется на первый взгляд Достаточно задать непрерывную функџию в раџиональных точках чтобы определить ее полностью. Другими словами, непрерывны функџии задаются совокупностью своих значений в рациональны. точках. Но эти точки составляют множество такой же моџности как и коэффиџиенты разложения (счетное множество). Если мг примем это во внимание, то нас уже не удивит возможност представить любую непрерывную функџию в виде ряда Фурьє

Но плохо, если что-нибудь становится „слишком“ понятнык Я боюсь, что разложение в ряд Фурье уже кажется чем-то сам собой понятным. Это не так: с бесконечными совокупностям нужно обращаться осторожно. Например, возьмите ряд Фурь и выбросьте из него третий член. Число членов остается бескс нечным, и тем не менее с помощью такого бесконечного ряд любую непрерывную функцию уже представить нельзя.

Теорема Фурье справедлива при известных ограничения (достаточные условия того, что функция может быть представ лена рядом Фурье, были указаны Дирихле); рядом Фурье могу быть представлены не все непрерывные функции. С другой стс роны, в виде рядов Фурье может быть представлен определен ный класс разрывных функџий, имеющих только разрывы первог рода (т.е. такие, что и слева и справа от разрыва функци имеет определенное значение). Для того, чтобы функџия могл быть представлена рядом Фурье, она должна иметь конечно число разрывов и не должна иметь бесконечного числа максиму мов и минимумов. Например, непрерывную функџию $\sin (1 / x$, которая при $x \rightarrow 0$ имеет бесконечно густые максимумы, нельз разложить в ряд Фурье.

Тот класс функџий, которые могут быть представлены рядо1 Фурье, вполне достаточен для физических џелей. Практическ любая интересующая физика функџия может быть разложен в ряд Фурье.

Как быстро убывают коэффициенты Фурье? Ряд (14) сходитс тем быстрее, чем функџия $f(x)$ глаже. Если $h$-порядок разрыв (т. е. порядок наинизшей терпящей разрыв производной), то асимптс тически, при достаточно больших $k$, коэффиџиенты убывают как $1, k^{h+1}$.

Существуют ли различные функции, представляемые одни! и тем же рядом Фурье? Да, существуют. Они отличаются одн от другой тем, что имеют различные значения в конечном ряд точек. Но это исключительный случай. Интересующие нас функ: џии однозначно определяются своим рядом Фурье.

Теорема Фурье была впервые высказана им в 1822 г. в его \”Théorie analytique de la chaleur\”, но еще в 1750 г. ее предугадал Бернулли.

Синусы и косинусы – не единственная система ортогональных функџий, по которым можно разлагать произвольную функџию. Существует бесконечное множество таких систем. С этой точки зрения ряд Фурье – чрезвычайно частный случай. Но разложение по косинусам и синусам, т. е. по гармоническим колебаниям, сыграло очень большую роль в развитии общей теории разложения по ортогональным функџиям. В математике остальные разложения тоже важны, не менее важны, чем разложение Фурье. Но разложение Фурье выделено благодаря физическим условиям ${ }^{1}$.