Интеграл Фурье. Разложение в интеграл Фурье отрезка синусоиды. Несовместимость монохроматихности и концентрированности ситнал. Аналогия с соотношением неопределенностей в волновой механике. Рассмотрение действия произеольной внешней силы на гармонический осциллатор без ралложения в спектр.
Мы рассматривали действие периодической силы на линейную колебательную систему с одной степенью свободы ${ }^{1}$. Повторяюџиеся импульсы (рис. 62) физически полностью подходят под случай периодической силы. Нового математического апарата здесь не нужно. Но сигналом может быть только не повторяющееся периодически воздействие. Периодическое воздействие – это не сигнал.

В конечном интервале можно разложить в ряд Фурье функџию, изображающую любое воздействие. Но вне этого интервала функџия, представленная рядом, периодически повторяется. Если мы возьмем на оси $t$ очень большой интервал и разложим функцию, изображающую воздействие в ряд Фурье в әтом интервале, то
1 [См. 16-ую лекџию.]

функция, представляемая рядом, будет повторяться бесконечное число раз, но через очень большие интервалы. Если интервал разложения достаточно велик, то физически совершенно безразлично, что было раньше начала этого интервала и что будет после его конџа. Поэтому мы можем искусственно заменить интересующий нас сигнал периодически повторяющейся силой, представленной рядом Фурье.

Что значит здесь „достаточно большой интервал времени\”? Нужно, чтобы к началу реального сигнала успело давно затухнуть то, что дал бы предыдущий искусственный сигнал. Поэтому, чем меньше затухание воспринимающего устройства, тем больше должен быть интервал.

Уравнение движения осдиллатора под действием произвольной внешней силы имеет вид
\[
\ddot{x}+2 \delta \dot{x}+\cos _{0}^{2} x=f(t) .
\]

Рис. 74.
Пусть сила $f(t)$ отлична от нуля лишь на протяжении конечного промежутка времени, начиная с $t=0$ (рис. 74). Здесь начальные условия: $x=0, \dot{x}=0$ при $t=0$. Разложим силу в ряд Фурье за достаточно большой (по сравнению с $1 / \delta$ ) промежуток времени и возьмем периодическое решение уравнения (1), являющееся суммой периодических вынужденных колебаний, соответствующих всем членам разложения Фурье. Решение удовлетворяет вполне определенным начальным условиям, так как не содержит произвольных постоянных. Можно показать, что это как раз начальные условия $t=0, x=0, \dot{x}=0$. Таким путем мы получаем то, что нам нужно. Физически ясно, почему это так. В течение всего бесконечного времени никакие силы, кроме $f(t)$, на осџиллатор не действуют. Разложение в ряд Фурье приводит к замене $f(t)$ периодической функџией. Так как промежутки, на протяжении которых эта периодическая функџия равна нулю, велики по сравнению со временем затухания осџиллатора, периодическое решение спадает до нуля к конџу этих промежутков, в частности к моменту $t=0$. Итак, решение в виде ряда Фурье является решением задачи с определенными начальными условиями. К нему можно прибавить собственные колебания и удовлетворить таким образом любым начальным условиям.

Можно решить задачу иначе: не представляя силы в виде ряда Фурье и учитывая явно начальные условия ${ }^{1}$. Часто это џелесообразнее. Оба способа дают принџипиально одно и то же.

Остановлюсь на вопросе, имеющем принџипиальное значение, хотя практически он может быть обойден. Можно ли для любой непериодической функџии найти разложение, аналогичное ряду Фурье для периодической функџии (т. е. разложение на синусы и косинусы), представляющее функџию на всем бесконечном интервале?

Мы рассмотрим вопрос эвристически. Математическое доказательство мы оставим в стороне.
Мы писали ряд Фурье в таком виде:
\[
\begin{array}{c}
f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_{k} \cos k \omega t+b_{k} \sin k \omega t\right), \\
a_{k}=\frac{\omega}{\pi} \int_{-\pi / \omega}^{+\pi / \omega} f(\xi) \cos k \omega \xi d \xi, \quad b_{k}=\frac{\omega}{\pi} \int_{-\pi / \omega}^{+\pi / \omega} f(\xi) \sin k \omega \xi d \xi,
\end{array}
\]
$\omega=\frac{2 \pi}{T}$, где $T$-период функџии $f(t)$. Можно переписать ряд Фурье немного иначе, обозначив
\[
a_{k}^{\prime}=\frac{a_{k}}{\omega} \sqrt{\frac{\pi}{2}}, \quad b_{k}^{\prime}=\frac{b_{k}}{\omega} \sqrt{\frac{\pi}{2}} .
\]

Мы получаем тогда:
\[
f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sqrt{\frac{2}{\pi}} \sum_{k=1}^{\infty}\left(\omega a_{k}^{\prime} \cos k \omega t+\omega b_{k}^{\prime} \sin k \omega t\right) .
\]

Посмотрим теперь, что получится, если переходить к пределу
\[
\omega \rightarrow 0, \quad T \rightarrow \infty .
\]

Напишем:
\[
k^{\omega}=u_{k}, \quad \omega=\Delta u \quad(k=1,2,3, \ldots)
\]
( $\Delta u$ есть разность двух последовательных значений $u_{k}$ ). Тогда
\[
f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sqrt{\frac{2}{\pi}} \sum_{k=1}^{\infty} \Delta u\left(a_{k}^{\prime} \cos u_{k} t+b_{k}^{\prime} \sin u_{k} t\right) .
\]
1 [См. ниже формулу (15).]

При $\omega \rightarrow 0$ интервалы $\Delta u$ сужаются. Если $\omega \rightarrow 0$, то мы можем ожидать, что сумма в (6) превратится в интеграл.

Для разложимости в ряд Фурье функџия $f(t)$ должна быть всюду ограничена и изображающая ее кривая должна разбиваться на конечное число непрерывных кусков. Теперь, при $\omega \rightarrow 0$, мы должны еще сказать, как ведет себя функџия $f(t)$ в бесконечности. Потребуем, чтобы
\[
\lim _{T \rightarrow \infty} \int_{-T / 2}^{+T / 2}|f(\xi)| d \xi
\]

был конечной величиной, т. е. чтобы функция $f(t)$ была абсолютно интегрируемой. В этом случае при $\omega \rightarrow 0$ имеем:
\[
a_{0} \rightarrow 0 .
\]

Коэффиџиенты $a_{k}^{\prime}$ и $b_{k}^{\prime}(k
eq 0)$ мы можем представить, подставляя (3) и (5) в (4), в виде функции от $u$ :
\[
a^{\prime}(u)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-T / 2}^{+T_{j} 2} f(\xi) \cos u \xi d \xi, \quad b^{\prime}(u)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-T / 2}^{+T / 2} f(\xi) \sin u \xi d \xi .
\]

Переходя к пределу, получаем:
\[
\lim _{T \rightarrow \infty} a^{\prime}(u)=g_{1}(u), \lim _{t \rightarrow \infty} b^{\prime}(u)=g_{2}(u),
\]

хгричем
\[
g_{1}(u)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(\xi) \cos u \xi d \xi, \quad g_{2}(u)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(\xi) \sin u \xi d \xi .
\]

Таким образом, у нас есть основания ожидать, что функция $f(t)$ может быть записана.в виде интеграла
\[
f(t)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{+\infty}\left\{g_{1}(u) \cos u t+g_{2}(u) \sin u t\right\} d u .
\]

Это-интеграл Фурье. Мы не доказали, что всякая функция, удовлетворяющая определенным условиям, может быть разложена в интеграл Фурье, но можно доказать, что всякая функџия $f(t)$, определенная в бесконечном промежутке, удовлетворяющая в каждом конечном участке условиям Дирихле и такая, что интеграл от ее абсолютного значения существует, может быть разложена в интеграл Фурье.

Обычно выполняют подстановку (7) в (8). При этом получается формула
\[
f(t)=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{+\infty} d u \int_{-\infty}^{+\infty} f(\xi) \cos u(t-\xi) d \xi
\]
– другое написание знаменитой теоремы Фурье или, как ее часто называют, формулы Фурье.

Если функция $f(t)$ разрывна, то интеграл Фурье имеет в точках разрыва значение
\[
\frac{1}{2}[f(t+0)+f(t-0)]
\]

Как уже было сказано, в обычных колебательных вопросах можно обойтись без интеграла Фурье, так как в них продолжение интервала разложения в бесконечность не играет фундаментальной роли. Но в волновой механике продолжение интервала разложения в бесконечность и применение интеграла Фурье играет весьма существенную роль. Для ряда принципиальных вопросов интеграл Фурье представляет фундаментальный интерес.

Укажем теперь некоторые свойства функџий, которые можно вычитать из их представления с помошью интеграла Фурье. Некоторые представления, играющие чрезвычайно важную роль в современной физике, основываются на одном, редко формулируемом, свойстве интеграла Фурье. Для того, чтобы показать, о чем идет речь, возьмем простейший пример. Заметим, что для двух классов функџий – для функций четных и для функџий нечетных -общая формула (8) значительно упрощается.
Пусть
\[
f(t)=f(-t)
\]

четная функция). Тогда
\[
g_{1}(u)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{\infty} f(\xi) \cos u \xi d \xi, \quad g_{2}(u)=0 .
\]

Пусть
\[
f(t)=-f(-t)
\]

(нечетная функџия). Здесь
\[
g_{1}(u)=0, \quad g_{2}(u)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{\infty} f(\xi) \sin u \xi d \xi .
\]

Представим теперь в виде интеграла Фурье функцию, заданную уравнениями (рис. 75):
\[
f(t)=\left\{\begin{array}{ll}
0 & \text { при } t<-T / 2, \\
\sin \omega t & \text { при }-T / 2 \leqslant t \leqslant T / 2, \\
0 & \text { при } t>T / 2,
\end{array}\right.
\]

Рис. 75.
причем промежуток $T$ содержит џелое число $2 N$ полных колебаний:
\[
T=2 N \tau=2 N \frac{2 \pi}{\omega}(N-\text { џелое }) .
\]

Функция $f(t)$ – нечетная. Поэтому
\[
f(t)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{\infty} g(u) \sin u t d u,
\]

где
\[
g(u)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{\infty} f(\xi) \sin u \xi d \xi .
\]

Отсюда, между прочим, видно, для чего мы ввели множители $\sqrt{\pi / 2}$ в выражения (4). При таком выборе коэффиџиентов в (11) и (12) получается полная взаимность функций $f$ и $g$.
Подставим (10) в (12):
\[
g(u)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{T / 2} \sin \omega \xi \sin u \xi d \xi,
\]

или
\[
g(u)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\sin (u T / 2)}{u^{2}-\omega^{2}} .
\]

Каков физический смысл величины $g(u)$ ? Функџия (10) есть. конгломерат синусоидальных колебаний с непрерывно меняющейся
Рис. 76. от колебания к колебанию амплитудой $\sqrt{\frac{2}{\pi}} g(u) d u$. Величина $\sqrt{\frac{2}{\pi}} g(u)$ есть плотность амплитуд в спектральной области ( $u, \boldsymbol{u}+d u$ ).
Займемся исследованием функџии $g(u)$. Легко видеть, что самый большой ее максимум находится там, где $\boldsymbol{u}=\omega$. Несмотря на равенство нулю знаменателя, этот максимум конечен, так как при $u=\omega$ имеем $\sin (u T / 2)=0$. Раскрывая в (13) неопределенность при $u=\omega$, получаем для максимальной плотности амплитуд значение
\[
g(\omega)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{N \tau}{2 \omega} .
\]

Будем откладывать по оси абсџисс $u$, а по оси ординат – квадрат плотности амплитуд (рис. 76). Найдем плотность амплитуд, $g\left(u_{1}\right)$ в том максимуме, который соответствует расстройке:
\[
\frac{u_{1}-\omega}{\omega}=\alpha \text {. }
\]

Считая (приближенно), что в максимуме $\sin (u T / 2)=1$, получаем
\[
g\left(u_{1}\right)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{\left(u_{1}-\omega\right)\left(u_{1}+\omega\right)},
\]

или приближенно
\[
g\left(u_{1}\right)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{1}{2 \omega} \cdot \frac{\tau}{2 \pi \alpha} .
\]

Следовательно,
\[
\frac{g(\omega)}{g\left(u_{1}\right)}=2 \pi \alpha N .
\]

Чем больше $N$, тем больше при заданном $\alpha$ это отношение.

Итак, мы задались конечным отрезком синусоиды. Мы разложили его в интеграл Фурье, и мы толкуем этот результат как разложение на всевозможные монохроматические колебания. Коль скоро отрезок синусоиды конечен, он не монохроматичен. Он состоит из бесконечного числа-континуума – монохроматических колебаний. В этом конгломерате особенно сильно представлены определенные монохроматические колебания, -те, период которых очень близок к периоду того монохроматического колебания, частью которого является наш отрезок синусоиды. Они играют тем более доминирующую роль, чем он длиннее. Иначе говоря, чем длиннее отрезок синусоиды, тем он более монохроматичен. При малом $N$ монохроматичность пропадает: колебания, сильно различающиеся по частоте, представлены примерно одинаково сильно.

Назовем величину, характеризуюшую протяженность отрезка синусоиды во времени, его расплывчатостью. Тогда можно сказать, что если отрезок расплывчат, то он может быть очень монохроматичен, но конџентрированность сигнала во времени (малая расплывчатость) и его монохроматичность – противоречивые свойства. Всегда монохроматичность достигается в ущерб конџентрации сигнала.

Мы рассмотрели частный пример отрезка синусоиды. Возьмем теперь другой частный пример:
\[
f(t)=e^{-k^{2} i^{2}} \cos \omega t .
\]

Если $k$ очень мало, то амплитуда изменяется очень медленносигнал весьма расплывчат. И здесь можно показать, что если $k$ мало, то колебания очень монохроматичны, а если $k$ велико, то происходит потеря монохроматичности.

Можно и нужно ввести меру (критерий) монохроматичности и меру (критерий) расплывчатости (или, что то же самое, меру немонохроматичности и меру конџентрированности), и нужно показать, как мера расплывчатости связана с мерой монохроматичности. Для общего случая это не сделано ${ }^{1}$.

Мы знаем, мы на этом останавливались ${ }^{2}$, почему вопросы спектрального разложения играют в физике существенную роль.
1 [См. А. Г. Майер и М. А. $\mathcal{\Lambda}$ еонтович. Об одном неравенстве, связанном с интегралом Фурье. ДАН, 4, 353, 1934.]
2 [См. 16, 20-ую и 21 -ую лекџии.]

Так, например, монохроматический свет дает при падении на диффракџионную решетку острые максимумы, резкие линии. Монохроматический свет другой длины волны дает резкие линии в другом месте. Для того, чтобы узнать, что будет после падения на диффракџионную решетку данного импульса, данного светового сигнала, мы должны разложить его в ряд или в интеграл Фурье. Диффракуионная решетка, так же как резонатор, выделяет монохроматические волны. Решетка – это тоже реактив на монохроматичность. Поэтому и здесь важно знать, что конџентрированный сигнал не может быть монохроматическим.

В волновой механике ставятся аналогичные вопросы. Идеи, связанные с появлением волновой механики, мы здесь оставим
Рис. 77. в стороне. Однако я не могу не упомянуть о том, какую роль играет в волновой механике теорема – несовместимости монохроматичности и конџентрированности.
В волновой механике утверждается, что с электроном сопряжена волна, квадрат амплитуды которой дает вероятность того, что электрон находится в данном месте. Пусть волна имеет форму рассмотренного нами отрезка синусоиды (рис. 77). Волновая механика истолкует это так: левее $A$ вероятность нахождения электрона равна нулю, между $A$ и $B$ она имеет некоторое постоянное значение, правее $B$ она снова равна нулю.

Бесконечная монохроматическая волна соответствует электрону с определенной, фиксированной скоростью. Но пусть волна немонохроматическая. Тогда можно говорить о вероятности того, что скорость находится в данных граниџах. Волновая механика утверждает следующее. Нужно разложить заданную волну на сумму монохроматических волн (бесконечных синусоид). Тогда вероятности того, что электрон имеет ту или другую скорость, относятся друг к другу, как квадраты амплитуд соответствующих этим скоростям монохроматических волн (для точности здесь нужно говорить об интеграле Фурье и об отношении квадратов амплитудных плотностей).

Если волна, указывающая вероятность положения электрона, сконџентрирована, т. е. если с значительной точностью задано положение электрона, то на основании предыдущего мы можем утверждать, что имеется размытое распределение для вероятности
скоростей Мы получаем большую неопределенность в скорости электронов.

Если согласиться с тем, что связь между волной, с одной стороны, координатой и скоростью электрона-с другой, такая, как указывает волновая механика, то отсюда с необходимостью следует вывод: точное значение положения и точное значение скорости исключают друг друга.

Классическая механика исходила из мысли, что можно одновременно установить с любой (принципиально) точностью и положение и скорость частиџы. Она учит, как движется тело, если даны $x_{0}$ и $\dot{x}_{0}$, в один и тот же момент времени. Волновая механика приводит к тому принџипиальному результату, что өлектрон не может иметь одновременно точное положение и точную скорость.

Если мы приняли то определение вероятности для скорости и координаты, которое дает волновая механика, то вопрос о том, верен ли только что сформулированный результат, -вопрос чисто математический, связанный с теорией интеграла Фурье. Этого нельзя понять с двух слов. Для того, чтобы здесь все понять, нужно математическое исследование.
Позвольте на этом кончить с интегралом Фурье.
Мы узнали, что действие произвольной силы можно свести на знакомые вещи, на монохроматические колебания. Часто поступают иначе. Часто бывает гораздо правильнее задать начальные условия и решать задачу в лоб, беря силу такой, как она дана.

Не трудно убедиться подстановкой (доказательство подстановкой является совершенно строгим), что
\[
x=e^{-i t}\left(C_{1} \cos \omega t+C_{2} \sin \omega t\right)+\frac{e^{-i t}}{\omega} \int_{t_{0}}^{t} e^{\delta \xi} f(\xi) \sin \omega(t-\xi) d \xi,
\]

где $\omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\delta^{2}}$, является решением уравнения (1) при какой угодно $f(t)$. Оно применимо, например, и в том случае, если на маятник подействовал кратковременный толчок-заведомо несинусоидальная сила. Как найдено решение (15)-это другое дело (его находят методом вариадии постоянных). Но это решение, и оно содержит две произвольные постоянные, т. е. является общим решением. Начальные условия удовлетворяются подбором $C_{1}$ и $C_{2}$. Последний член вместе с его производной пропадает при $t=t_{0}$. Как сказано, решение (15) годно „на все случаи жизни\”, но в случае синусоидальной силы пользоваться им нецелесообразно.

Мы не будем дискутировать решение (15) в общем виде, а рассмотрим только тот частный случай, когда вначале $\left(t=t_{0}=0\right.$ ). осџиллатор не смещен и находится в покое. При этом $C_{1}=C_{2}=0$ и

Пусть $f(t)$ представляет собой импульс, действующий в течение промежутка времени $(0, T)$. Пусть на протяжении всего импульса сила $f(t)$ положительна. Обработаем решение (16) так, чтобы легко было дать ответ на интересующий нас вопрос: как ведет себя осџиллатор после того, как подействовал очень кратковременный импульс. Так как при $\xi>T$ имеем $f(\xi)=0$, то можно написать, вместо (16), для $t>T$ :
\[
x=\frac{e^{-i t}}{\omega} \int_{0}^{T} e^{\partial \xi} f(\xi) \sin \omega(t-\zeta) d \xi .
\]

По теореме о среднем, поскольку $f(\xi)>0$, имеем:
\[
x=\frac{e^{-\delta t}}{\omega} e^{\delta \theta T} \sin \omega(t-\theta T) \int_{0}^{T} f(\xi) d \xi \quad(0<\theta<1) .
\]

Нас интересует случай, когда длительность импульса мала по сравнению с периодом $\tau: T / \tau \ll 1$, т. е. $T \ll 2 \pi$, и, следовательно,
\[
\omega \theta T \ll 2 \pi \text {. }
\]

Обозначив
\[
I=\int_{0}^{T} f(\xi) d \xi
\]

мы получаем приближенно для этого случая на основании (18) -(20):
\[
x=I \frac{e^{-\delta t}}{\omega} \sin \omega t
\]

Посмотрим теперь, что это значит физически. I есть импульс силы. Если система такова, что продолжительность действия силы $f(t)$ мала по сравнению с периодом $\tau$, то вид функџии $f(t)$ не имеет значения; важен только импульс силы. Этот результат очень важен для построения измерительных устройств. Пусть система, обладающая определенным периодом (например, маятник), получает удар. Каково максимальное отклонение?
Из (21) получаем (если $\delta \ll \omega_{0}$ ):
\[
x_{\max }=\frac{I}{\omega} .
\]

Наблюдая максимальное отклонение, можно сразу определить импульс силы. Возьмем для примера баллистический маятник (рис. 78). Пусть $m$ – масса снаряда, $M$ – масса маятника, причем $m \ll M$.
Снаряд застревает в маятнике. Тогда
\[
I=m v
\]

где $v$-скорость снаряда.
На основании (20) и (22), вспомнив, что \”сила\” $f(t)$ в уравнении (1) была в действительности сила, деленная на массу, мы получаем для максимального отклонения маятника значение
\[
x_{\max }=\frac{m v}{M \omega} .
\]

Рис. 78.
Зная $m, \omega, M$ и измерив $x_{\max }$, можно узнать $v$.
Аналогично обстоит дело в баллистическом гальванометре. Здесь вращающий момент пропорџионален силе тока:
\[
\ddot{\varphi}+2 \delta \dot{\varphi}+\omega_{0}^{2} \varphi=\alpha \dot{i}
\]
( $\varphi$ – угол отклонения; $i$ – сила тока). При токах малой продолжительности (продолжительность тока мала по сравнению с периодом собственных колебаний) максимальное отклонение пропорџионально
\[
Q=-\int_{0}^{T} i d t
\]
т. е. количеству әлектричества, прошедшему через прибор.

При выводе соотношения (18) мы сделали предположение, что $f(t)$ не меняет знака. Но от этого предположения можно освободиться. Формула (18) справедлива и при знакопеременной кратковременной силе. Для того, чтобы это доказать, нужно
Рис. 79. представить знакопеременную $f(t)$ как чередование знакопостоянных сил (рис. 79).
Мы рассмотрели случай кратковременной силы. Другой важный случай – тот, когда сила меняется очень медленно.
Что значит „очень медленное\” нарастание силы? Дать точную формулировку здесь труднее, чем для кратковременной силы. Ясно одно: если бы было
\[
f(t)=f_{0}=\text { const }
\]

то мы имели бы статическое отклонение
\[
x=\frac{f_{0}}{\omega_{0}^{2}} \text {. }
\]

Если $f(t)$ изменяется достаточно медленно, то с достаточным приближением решение будет квазистатическим, т. е. таким
\[
x=\frac{f(t)}{\omega_{0}^{2}} .
\]

Для того, чтобы әто показать, преобразуем формулу (16) посредством интегрирования по частям:
\[
\begin{array}{c}
x=\frac{e^{-i t}}{\omega} \int_{0}^{t} e^{\delta \xi} f(\xi) \frac{d \cos \omega(t-\xi)}{\omega}= \\
=\frac{f(t)}{\omega^{2}}-\frac{e^{-i t}}{\omega^{2}} \int_{0}^{t}\left[f^{\prime}(\xi)+\delta f(\xi)\right] e^{\delta \xi} \cos \omega(t-\xi) d \xi
\end{array}
\]
(здесь принято во внямание, что $f(0)=0$ ). Пренебрегая затуханием, получаем:
\[
x=\frac{f(t)}{()_{0}^{2}}-\frac{1}{\omega_{0}^{2}} \int_{0}^{t} f^{\prime}(\xi) \cos \omega_{0}(t-\xi) d \xi .
\]

Получилось статическое отклонение (23) — поправка, которая тем меньше, чем меньше $f^{\prime}(t)$, т. е. чем медленнее меняется сила. Этой поправкой можно пренебречь, если сила меняется достаточно медленно по отношению к периоду собственных колебаний.