Положительность собственных значений задачи Штурма- Диувиляя. Каждому собственному значению соответствует одна собственная функция. Экстремальное свойство основного собственного значения. Его применение для приближенной оценки основной частоты. Свойства ортогональности собственных функций и их физический смься.
Мы займемся теперь неоднородными распределенными системами. Мы увидим, что качестзенные характеристики неоднородных и однородных систем очень похожи. Для того, чтобы овладеть неоднородными системами, надо иметь возможность вычислять собственные числа и собственные функџии. Прежде всего мы постараемся вывести некоторые общие положения.
Посредством подстановки
\[
y=\varphi(x) \psi(t)
\]

мы свели решение основной задачи к решению уравнений
\[
\frac{d^{2} \psi}{d t^{2}}+\lambda \psi=0
\]

и
\[
\frac{d}{d x}\left(p \frac{d \varphi}{d x}\right)+\lambda q \rho=0
\]

с граничными условиями
\[
\left(\varphi^{\prime}-\alpha \varphi\right)_{0}=0, \quad\left(\varphi^{\prime}+\varphi \varphi\right) l=0,
\]

где $\alpha$ и $\beta-$ положительные числа.
В некоторых случаях приходится делить граничные условия на $\alpha$ или $\beta$ и переходить к пределу $\alpha=\infty$ или $\beta=\infty$. Поэтому граничные условия часто пишут в более общем виде:
\[
\begin{array}{l}
\left(\alpha_{1} \varphi^{\prime}-\alpha_{2} \varphi\right)_{0}=0, \\
\left(\beta_{1} \varphi^{\prime}+\beta_{2} \varphi\right)_{i}=0 .
\end{array}
\]

Вместо того, чтобы переходить к пределу $\alpha=\infty$ или $\sigma \infty$, можно положить $\alpha_{1}=0$ или $\beta_{1}=0$.

Все соотношения, с которыми мы здесь имеем дело, имеют определенный физический смысл, и мы будем стараться в наших дальнейших рассуждениях сразу выяснить физическую значимость каждой ступени математического рассуждения.
Потенџиальная энергия стержня равна
\[
\int_{0}^{l} \frac{p}{2} y^{\prime 2} d x .
\]

Здесь $y^{\prime}=\frac{\partial y}{\partial x}$ – растяжение, деформаџия; $p$ – модуль упругости. Упругая потенџиальная энергия пропорџиональна квадрату деформаџии.
Пусть мы знаем, что $\lambda>0$. Тогда
\[
\psi=\cos (\omega t+\varepsilon),
\]

где $\omega=\sqrt{\lambda}$, и подинтегральная функуия имеет вид
\[
\frac{p}{2} y^{\prime 2}=\frac{p}{2} \varphi^{\prime 2} \cos ^{2}(\omega t+\varepsilon) .
\]

Так как среднее по времени от $\cos ^{2}(\omega t+\varepsilon)$ равно $\frac{1}{2}$, то средняя по времени потенциальная әнергия в данном элементе длины равна
\[
\frac{p}{4} \varphi^{\prime 2} d x .
\]

Аналогично его средняя по времени кинетическая энергия равна
\[
\frac{\lambda q}{4} \varphi^{2} d x .
\]

Интегралы от этих выражений дадут средние по времени потенпиальную и кинетическую энергии для всего стержня.

Если $\alpha$ отлично от нуля, то это значит следующее: стержень прикреплен к пружине или провод кончается на конденсаторе (рис. 149) и граничное напряжение стержня уравновешивается упругой силой пружины.

Средняя по времени потенџиальная энергия пружины, если пружина находится на конџе $x=0$, равна
\[
\left(\frac{p}{4} \varphi \varphi^{\prime}\right)_{0},
\]

а если пружина находится на конџе $x=l$, то она равна
\[
-\left(\frac{p}{4} \varphi \varphi^{\prime}\right)_{i}
\]

В самом деле, $p \varphi^{\prime} \cos (\omega t+\xi)$ есть сила, а $\varphi \cos (\omega t+\varepsilon)$-смещение. В силу граничных условий написанные выше выражения могут быть представлены в виде
\[
\frac{1}{4}\left(\alpha p \varphi^{2}\right)_{0} \text { и } \frac{1}{4}\left(\beta p \varphi^{2}\right)_{\iota} .
\]

Схема (1) и (2) разрешима не при всяком $\lambda$. Предположим, что некоторые $\lambda$, удовлетворяюшие схеме (1) и (2), отриџательны. Тогда были бы возможны несинусоидальные движения. Мы докажем, однако, что если существуют собственные значения, то они все положительны. Доказательство довольно простое.
Уможим уравнение (1) на $і$; это дает:
\[
\varphi \frac{d}{d x}\left(p \varphi^{\prime}\right)+\lambda q \varphi^{2}=0
\]

или
\[
\frac{d}{d x}\left(p \varphi \varphi^{\prime}\right)-p \varphi^{\prime 2}+\lambda q \varphi^{2}=0
\]

Проинтегрируем теперь это уравнение по $x$ от 0 до $l$ :
\[
\lambda \int_{0}^{l} q \varphi^{2} d x=\int_{0}^{l} \boldsymbol{p} \varphi^{\prime 2} d x-\left[\boldsymbol{p} \rho \varphi^{\prime}\right]_{0}^{l} .
\]

Учтем далее граничные условия. Это дает:
\[
\lambda \int_{0}^{l} q \varphi^{2} d x=\int_{0}^{l} p \varphi^{\prime 2} d x+\left(\alpha p \varphi^{2}\right)_{0}+\left(\beta p \varphi^{2}\right)_{i} .
\]

Отсюда сразу видно, что все $\lambda$ положительны, так как плотность $q(x)$ и коэффиџиент упругости $p(x)$ положительны. Точнее, 入 всегда положительно, за исключением того случая, когда $\alpha=0, \beta=0$, $\varphi^{\prime}=0$. Тогда правая часть равна нулю. Это возможно только, если стержень не закреплен на конџах.

Итак, за исключением өтого случая, все і положительны, и проџесс состоит из наложения синусообразных колебаний. Это свойство не только однородных систем, а общее свойство систем штурм-лиувиллевского типа.

Если $\alpha$ или $\beta$ отридательно, то такого заключения сделать нельзя. В случае пружин $\alpha$ и положительны. Но если создать условия, при которых $\alpha$ или отриџательно, то нельзя быть уверенным и в том, что будут колебания синусообразного типа. Это связано с вопросом об устойчивости.

Возможно ли, что одному и тому же д соответствуют два решения, т. е. что при одной и той же частоте сушествуют различные формы колебаний? Докажем, что при граничных условиях вида (2) это невозможно.

Линейное однородное уравнение (1) имеет два линейно независимых решения $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$, и всякое решение имеет вид
\[
\varphi=C_{1} \varphi_{1}+C_{2} \varphi_{2}
\]

где $C_{1}$ и $C_{2}$ – постоянные.
Предположим, что при данном $\lambda$ есть два независимых решения, удовлетворяющих граничным условиям. Но тогда и их сумма удовлетворяет граничным условиям, так как эти условия лиеейны и однородны. Таким образом, если существуют два независимых решения, удовлетворяющих граничным условиям, то всякое решение им удовлетворяет. Но этого не может быть. Основная теорема гласит (при тех предположениях о регулярности уравнения, которые здесь выполняются), что при как угодно заданных $a$ и $b$ всегда существует такое решение, что
\[
\varphi(0)=a, \varphi^{\prime}(0)=b,
\]
т. е. через каждую точку фазовой плоскости ( $\varphi, \varphi^{\prime}$ ) проходит одна (и только одна) интегральная кривая. Граничные условия связывают $p$ и $\varphi^{\prime}$. Если бы всякое решение удовлетворяло граничным условиям (2), нельзя было бы удовлетворить условиям (4) при любых $a$ и $b$.

Итак, не может быть двух независимых решений, которые оба удовлетворяли бы граничным условиям. При данном $\lambda$ (заданной частоте) возможна только одна форма колебания.

Мы знаем, что в случае однородного стержня, замкнутого в кольдо (рис. 154), для каждого $\lambda$ имеется две независимые формы колебаний, но это не противоречит только что доказанному утверждению, так как здесь граничные условия совсем другого типа:
\[
\varphi(0)=\varphi(l), \quad \varphi^{\prime}(0)=\varphi^{\prime}(l) .
\]

Каждое из них относится к двум значениям $x$. Этот случай ноказывает, однако, что не всегда период определяет форму колебания.

Если для данного $\lambda$ существует единственная собственная функџия, то это собственное значение называют простым или однократным. Таким образом, при граничных условиях штурм-лиувиллєвского типа все собственные значения однократны.

Что означает физически соотношение (3)? Левая часть его есть средняя по времени кинетическая энергия, правая – средняя по времени потенциальная әнергия (второй и третий члены правой части представляют собой среднюю по времени энергию конденсаторов или пружин). При колебаниях такой системы (стержня) в определенном тоне средняя потенџильная энергия равна средней кинетической. Это несправедливо для отдельных элементов стержня: в узлах смешения средняя кинетическая энергия – нуль, средняя потенџиальная энергия велика; в узлах деформаџии потенџиальная знергия равна нулю. Но, повторяю, для данного тона средняя кинетическая и средняя потенџиальная энергии всей системы в пелом равны друг другу.

Сформулируем огень важную теорему, но для частного случая. Пусть конџы закреплены. Тогда, согласно (3),
\[
\lambda=\frac{\int_{0}^{l} p \varphi^{\prime 2} d x}{\int_{0}^{l} q \varphi^{2} d x} .
\]

Пусть найдена собственная функџия для некоторого \%. Если $\lambda$ почему-нибудь нам неизвестно, то можно вычислить эту величину по формуле (5). Это замечание немногого стоит. Но существует замечательное свойство, чрезвычайно изящная теорема, заключающаяся в следующем. Подставим в (5) какую-нибудь функџию $\varphi(x)$, удовлетворяющую краевым условиям. Пусть мы угадали или разыскали такую функцию $\varphi(x)$, при которой выражение (5) минимально. Тогда оказывается: 1) такая функџия является собственной функџией, и 2) соответствующее значение отношения (5) равно наинизшему собственному значению, т. е. квадрату наинизшей собственной частоты (частный случай теорем Куранта).

Эта теорема имеет важные применения. Из нее следует, например, что если в каком угодно месте системы мы увеличиваем массу, то частота основного тона может только уменьшаться. Подобное утверждение вовсе не самоочевидно. Например, если мы увеличиваем массу физического маятника, то его период может при этом увеличиться, но может и уменьшиться.

Докажем сформулированную нами теорему. (Раньше существование собственных функций принималось на веру. Теперь мы знаем, что необходимо отдельно доказать существование такой функџии. Мы докажем, что если собственная функџия существует, то для нее имеет место сформулированная нами теорема.)

Обозначим выражение (5), рассматриваемое как функџионал от $\varphi(x)$, буквой $I$. Пусть $\varphi(x)$ обращает $I$ в минимум. Тогда при подстановке $\varphi(x)$ вариаџия выражения $I$ обращается в нуль. Варьируя, получаем:
\[
\delta I \sim 2 \int_{0}^{l} p \varphi^{\prime} \delta \varphi^{\prime} d x \int_{0}^{l} q \varphi^{2} d x-2 \int_{0}^{l} q \varphi \hat{\varphi} \phi d x \int_{0}^{l} p \varphi^{\prime 2} d x=0 .
\]

Разделим это уравнение на $\int_{0}^{l} q \varphi^{2} d x$. Получаем, принимая во внимание (5):
\[
\int_{0}^{l} \boldsymbol{p} \varphi^{\prime} \delta \varphi^{\prime} d x-\lambda \int_{0}^{l} q \varphi \hat{\varphi} \varphi d x=0 .
\]

Ho
\[
\dot{\phi} \varphi^{\prime}=\delta\left(\frac{d \varphi}{d x}\right)=\frac{d}{d x} \delta \varphi
\]

Беря первый интеграл по частям, получаем:
\[
\left[p \varphi^{\prime} \delta \varphi\right]_{0}^{l}-\int_{0}^{l} \frac{d}{d x}\left(p \varphi^{\prime}\right) \delta \varphi d x-\lambda \int_{0}^{l} q \varphi \delta \varphi d x=0 .
\]

Так как конџ закреплены, имеем на концах:
\[
\delta \varphi=0
\]
(сравниваются только функџии $\varphi(x)$, обращающиеся на кондах в нуль). Следовательно.
\[
\int_{0}^{l}\left[\frac{d}{d x}\left(p \varphi^{\prime}\right)+\lambda q \varphi\right] \delta \varphi d x=0 .
\]

Так как $\delta$ – произвольная функция от $x$, из (6) следует, что
\[
\frac{d}{d x}\left(p \varphi^{\prime}\right)+\lambda q_{\varphi}^{c}=0 .
\]

Итак, функџия $?(x)$, обращающая $\lambda$ в минимум, удовлетворяет уравнению (1), что и требовалось доказать. Әту теорему легко распространить на общий случай краевых условий задачи ШтурмаЛиувилла.

Мы доказали теорему, относящуюся к наинизшему собственному тону системы. Теорема может быть распространена и на все остальные тоны, но там нужно искать минимум выражения (5) при известных добавочных условиях.

Отыскание всей совокупности собственных частот приводится теоремами Куранта к задачам на максимум и минимум. Из этих теорем можно сделать ряд физически интересных заключений. Теория, о которой здесь идет речь, получила очень большое значение. С ней связан метод оџенки собственных частот, берущий свое начало от Релея, идея которого состоит в следующем.

В технике иногда не так важно точно знать частоту системы, как иметь уверенность в том, что она ниже некоторого опасного (вследствие возможного резонанса) значения. Подставим в выражение (5) некоторую функцию $(x)$, о которой мы заранее знаем, что она имеет приблизительно такой же характер, как собственная функция системы в частности, не имеет узлов, кроме кондов интервала $(0, l)$. При этом получается некоторое значение 2. Мы можем тогда быть уверены, что основная частота лежит ниже квадратного корня из әтого значения $\lambda$. Правда, это еше не дает нам указаний на то, как избежать резонанса на обертонах.

Если подставить в (5) функцию $甲(x)$, не очень сильно отличающуюся от истинной собственной функции, то д будет очень близко к собственному значению. Выражение (5) мало чувствительно к отклонению функции $\varphi(x)$ от собственной функџии, поскольку около минимума $\lambda$ меняется медленно. Дучше всего показать әто на простом примере.
Рис. 168.
В случае однородного стержня ( $p=\mathrm{const}, q=\mathrm{const}$ ) первая собственная функция есть
\[
y(x)=\sin \frac{\pi x}{l} .
\]

При этом
\[
\omega=\sqrt{\lambda}=\frac{\pi}{l} \sqrt{\frac{p}{q}} .
\]

Если взять вместо (7) два отрезка прямых (рис. 168, a), то получится:
\[
\omega^{\prime}=\sqrt{\lambda^{\prime}}=\frac{\sqrt{12}}{l} \sqrt{\frac{p}{q}},
\]
т. е. расхождение на $9 \%$. Если взять дугу параболы (рис. 168, б), то получится:
\[
\omega^{\prime \prime}=\sqrt{\lambda^{\prime \prime}}=\frac{\sqrt{1} \overline{0}}{l} \sqrt{\frac{p}{q}},
\]
т. е. $\omega^{\prime \prime}=0,9985$, что является уже прекрасной апроксимаџией. Выведем еше одно важное свойство собственных функций. Собственная функџия ${ }_{i}(x)$ удовлетворяет уравнению
\[
\frac{d}{d x}\left(p \varphi_{i}\right)+\lambda_{i} q \vartheta_{i}=0
\]

Обозначим:
\[
L(\varphi)=\frac{d}{d x}\left(p \varphi^{\prime}\right)
\]

Имеем тождественно:
\[
\varphi_{k} L\left(\varphi_{i}\right)=\varphi_{k} \frac{d}{d x}\left(p \varphi_{i}^{\prime}\right)=\frac{d}{d x}\left(p \varphi_{k} \varphi_{i}^{\prime}\right)-p \varphi_{i}^{\prime} \varphi_{k}^{\prime},
\]

откуда вытекает следующее тождество $\mathcal{\Lambda}$ агранжа:
\[
\varphi_{k} L\left(\varphi_{i}\right)-\varphi_{i} L\left(\varphi_{k}\right)=\frac{d}{d x}\left(p \varphi_{k} \varphi_{i}^{\prime}-p \varphi_{i} \varphi_{k}{ }^{\prime}\right) .
\]
$\mathrm{У}_{\text {множая уравнение (8) на }}$, $\varphi_{k}$, а аналогичное уравнение для $\varphi_{k}$ и $\lambda_{k}$ – на $\varphi_{i}$, получаем:
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{k} \frac{d}{d x}\left(p \varphi_{i}^{\prime}\right)+\lambda_{i} q \varphi_{i} \varphi_{k}=0 ; \\
\varphi_{i} \frac{d}{d x}\left(p \varphi_{k}^{\prime}\right)+\lambda_{k} q \varphi_{i} \varphi_{k}=0 .
\end{array}
\]

Вычитая, находим:
\[
\varphi_{k} L\left(\varphi_{i}\right)-\varphi_{i} L\left(\varphi_{k}\right)=\left(\lambda_{k}-\lambda_{i}\right) q \varphi_{i} \psi_{k} .
\]

Применяя тождество $\mathcal{\Lambda}$ агранжа (9), находим:
\[
\frac{d}{d x}\left(p \varphi_{k} \varphi_{i}^{\prime}-p \varphi_{i} \varphi_{k}^{\prime}\right)=\left(\lambda_{k}-\lambda_{i}\right) q \varphi_{i} \varphi_{k} .
\]

Интегрируя от 0 до $l$, получаем:
\[
\left[p\left(\varphi_{k} \varphi^{\prime}{ }_{i}-\varphi_{i} \varphi^{\prime}{ }_{k}\right)\right]_{0}^{i}=\left(\lambda_{k}-\lambda_{i}\right) \int_{0}^{l} q \varphi_{i} \varphi_{k} d x .
\]

Левая часть здесь-нуль, так как в силу общих краевых условий имеем при $x=0$ и при $x=l$ :

Следовательно,
\[
\varphi_{i}^{\prime}=\alpha \varphi_{i}, \varphi_{k}^{\prime}=\alpha \varphi_{k}
\]
\[
\left(\lambda_{i}-\lambda_{k}\right) \int_{0}^{l} q \varphi_{i} \varphi_{k} d x=0 .
\]

Это значит, что при $i
eq k$ собственные функџии $\varphi_{i}$ и $\varphi_{k}$ ортогональны по отношению к функџии $q(x)$ :
\[
\int_{0}^{1} q(x) \varphi_{i}(x) \varphi_{k}(x) d x=0 .
\]

Докажем с помощью этого соотношения, что собственные значения не могут быть комплексными.

Если $\lambda_{i}$ – комплексно, то, вообще говоря, $\varphi_{i}$ тоже комплексно. Если уравнению (8) удовлетворяют комплексные $\lambda_{i}$ и $\varphi_{i}$, то ему $27^{*}$ удонлетворяют также $\lambda_{k}$ и $\varphi_{k}$, комплексно сопряженные по отношению к $\lambda_{i}$ и $\varphi_{i}$ (это следует из того, что $p$ и $q$ действительны). При этом $\varphi_{i}$ – действительная положительная величина, равная $\left|\varphi_{i}\right|^{2}$. Условие ортогональности (10) дает:
\[
\int_{0}^{l} q(x)\left|\psi_{i}(x)\right|^{2} d x=0,
\]

мто невозможно, так как $q(x)>0$. Следовательно, все $\lambda_{i}$ действительны и положительны.
-іо тогда функ Дии $\varphi_{i}(x)$ тоже действительны. В самом деле, если собственному значению $\lambda_{i}$ соответствует комплексная собственная функция $\varphi_{i}=\psi_{1}+i \psi_{2}$, то сопряженная функция $\varphi_{i}^{*}=\psi_{1}-i \psi_{2}$ – тоже собственная функџия; но тогда одному собственному значению соответствуют две собственные функџии, что невозможно ${ }^{1}$ (это было бы возможно для однородного кольџа).
Каков физический смысл ортогональности собственных функций?
Пусть система колеблется в двух тонах: $i$-ом и $k$-ом. Тогда
\[
y=\varphi_{i} \cos \omega_{i} t+\varphi_{k} \cos \omega_{k} t \text {. }
\]

Кинетическая өнергия на единицу длины есть $\frac{q}{2} \ddot{y}^{2}$. При подстановке $y$ здесь появится удвоенное произведение
\[
{ }_{(1)}^{i}()_{l} q \varphi_{i} \varphi_{k} \sin \omega_{i} t \sin \omega_{k} t .
\]

Полная кинетическая энергия всего стержня будет
\[
T=T_{i}+T_{k}+\omega_{i} \omega_{k} \sin \omega_{i} t \sin \omega_{k} t \int_{0}^{l} q \omega_{i} \psi_{k} d x,
\]

где $T_{i}$ и $T_{k}$ зависят соответственно от каждого из колебаний $\varphi_{i}$ и $\oiiint_{\text {в }}$ отдельности. Вследствие свойства ортогональности (10) член взаимодействия пропадает и остается
\[
T=T_{i}+T_{k} .
\]

Таким образом, кинетические энергии двух колебаний независимы.
Для потендиальной энергии двух колебаний член взаимодействия будет
\[
\int_{0}^{l} p p_{i}^{\prime}{ }_{k}^{\prime} d x
\]
1 [Здесь исключается тривиальный случай, когда $\varphi_{i}(x)$ содержит постоянный комплексный множитель. Если $\varphi_{i}(x)$ – собственная функџи, то $a \oint_{i}(x)$, ғде $a$ – комплексное число, тоже собственная функџия.]

Можно показать, что в случае закрепленных конуов ( $\varphi=0$ на концах) или свободных конџов ( $\varphi^{\prime}=0$ на конџах) функџии $\varphi_{i}^{\prime}$ и $\varphi_{k}^{\prime}$ тоже ортогональны [по отношению к $p(x)$ ] и потенџиальные энергии двух колебаний независимы. Но в случае общих краевых условий это не так, вместо условия ортогональности (10) получается:
\[
\int_{0}^{l} p \varphi_{i}^{\prime} \varphi_{k}^{\prime} d x+\left[\frac{p}{\alpha} \varphi_{i}^{\prime} \varphi_{k}^{\prime}\right]_{0}+\left[\frac{p}{\beta} \varphi_{i}^{\prime} \varphi_{k}^{\prime}\right]_{\imath}=0 .
\]

Смысл әтого соотношения заключается в том, что потенциалыные өнергии $i$-того и $k$-того колебаний складываются также и здесь, но с учетом потенциальной энергии пружин на конџах. Простой ортогональности (10) здесь быть не может, потому что не вся потенџиальная энергия (в отличие от кинетической) находится в самом стержне. Уравнение (11) определяет некоторое обобџенное понятие ортогональности. Иногда ее называют „нагруженной ортогональностью“.

Выражение типа (11) можно рассматривать как интеграл в некотором обобщенном смысле – интеграл Стильтьеса.