Действие помех на линейную колебательную систему с одной степенью свободы. Увеличение отномения ситналіпомеха при уменьшении затухания.

Рассмотрим действие помех на линейный контур. Помехиявление непериодическое. Они имеют не дискретный, а сплошной спектр.

Вспомним некоторые соотношения, относящиеся к случаю действия синусоидальной внешней силы на линейную систему. Пусть
\[
\ddot{x}+2 \delta \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=E \cos p t .
\]

Тогда при установившихся колебаниях
\[
\begin{array}{l}
x=X \cos (p t-\varphi), \\
\dot{x}=-\dot{X} \sin (p t-\varphi),
\end{array}
\]

I [C. L. Fortescue, H. Bedford, H. W. Вахter и др. Nature, 125, 198, 271, 1930; Exper. Wir. a. Wir. Eng., 7, 119, 1930; 8, 4, 257, 259 , $312,431,538,660,1931$.
12 Л. И. Мандельштам, том IV

причем
\[
\begin{array}{c}
X=\frac{E \sin \varphi}{2 \delta p}, \quad \dot{X}=\frac{E \sin \varphi}{2 \delta} \\
\operatorname{tg} \varphi=\frac{2 \delta p}{\omega_{0}^{2}-p^{2}}
\end{array}
\]

Среднее значение какой-нибудь величины $y$ есть
\[
\bar{y}=\lim _{\tau \rightarrow \infty} \frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} y(t) d t,
\]

или, если $y(t)$ – периодическая функџия с периодом $\tau$,
\[
\bar{y}=\frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} y(t) d t .
\]

Воспользуемся выражением (6) для вычисления среднего значения квадрата силы тока (или скорости). Имеем:
\[
\overline{\dot{x}^{2}}=\dot{X}^{2} \overline{\sin ^{2}(p t-\varphi)}
\]

Ho
\[
\overline{\sin ^{2}(p t-\varphi)}=\frac{1}{2},
\]

и, следовательно,
\[
\overline{\dot{x}^{2}}=\frac{1}{2} \dot{X}^{2}=\frac{E^{2}}{8 \hat{\delta}^{2}} \sin ^{2} \varphi
\]

Пусть $W_{p}$ – объемная плотность энергии, создаваемая на месте приема передающей станџией. Тогда можно принять, что
\[
E^{2}=\alpha W_{p},
\]

где $\alpha$-некоторый коэффиџиент пропорџиональности, зависящий, вообще говоря, от $p$. Следовательно,
\[
\overline{\dot{x}^{2}}=\beta \frac{W_{p} \sin ^{2} \varphi}{\delta^{2}},
\]

причем $\beta^{2}=\alpha / 8$. В случае резонанса
\[
\overline{\dot{x}^{2}}=\beta \frac{W_{\omega_{0}}}{\delta^{2}} .
\]

Пусть теперь действует сумма синусоидальных э. д. с. разных периодов:
\[
\ddot{x}+2 \delta \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=\sum_{i} E_{i} \cos \left(p_{i} t+\psi_{i}\right) .
\]

При установившемся колебании
\[
\dot{x}=-\sum_{i} \dot{X}_{i} \sin \left(p_{i} t+\psi_{i}-\varphi_{i}\right)
\]

где
\[
\dot{X}_{i}=\frac{E_{i} \sin \varphi_{i}}{2 \delta} .
\]

Проводя аналогичный расчет с помощью (5), получаем:
\[
\overline{\dot{x}^{2}}=\frac{1}{2} \sum_{i} \dot{X}_{i}^{2}=\sum_{i} \frac{\beta_{i}}{\delta^{2}} W_{p_{i}} \sin ^{2} \varphi_{i} .
\]

Рассмотрим теперь действие помех. Как сказано, помехи имеют непрерывный спектр (рис. 64). $u_{p}$ есть спектральная плотность на частоте $p$. Это означает, что $u_{p} d p$ есть та часть объемной плотности энергии, которая

Рис. 64. относится к интервалу частот ( $p, \boldsymbol{p}+d p$ ).
В случае помех сумму (9) нужно заменить интегралом, так что
\[
\overline{\dot{x}^{2}}=\frac{1}{\delta^{2}} \int_{0}^{\infty} \beta u_{p} \sin ^{2} \varphi d p .
\]

При достаточно малом $\delta$ существенную роль в интеграле играют только те „члены\”, в которых $p$ близко к $\omega_{0}$ (рис. 64); остальные практически ничего не дают. Поэтому мы можем написать приближенно вместо (10):
\[
\overline{x^{2}}=\frac{\beta \omega_{0} u_{\omega_{0}}}{\delta^{2}} \int_{\omega_{0}-\Delta p}^{\omega_{0}+\Delta p} \sin ^{2} \varphi d p .
\]

Но согласно (4)
\[
\operatorname{ctg} \varphi=\frac{\left(\omega_{0}+p\right)\left(\omega_{0}-p\right)}{2 \delta p},
\]

или приближенно, при $\delta \ll \omega_{0}$,
\[
\operatorname{ctg} \varphi=\frac{\omega_{0}-p}{\delta},
\]
12 *

откуда
\[
\frac{d \varphi}{\sin ^{2} \varphi}=\frac{d p}{\delta} .
\]

На основании (12) мы можем переписать (11) в таком виде:
\[
\overline{x^{2}}=\frac{\beta_{\omega_{0}} u_{\omega_{0}}}{\delta} \int_{0}^{\pi} d \varphi=\frac{\pi \beta_{\omega_{0}} u_{\omega_{0}}}{\delta} .
\]

Таким образом, энергия от помех увеличивается с уменьшением коэффиџиента затухания $\delta$ обратно пропорџионально его первой степени. Согласно же (8) әнергия от регулярного сигнала частоты $p=\omega_{0}$ растет обратно пропоруионально $\delta^{2}$. Отношение
\[
\frac{\text { энергия помех }}{\text { энергия регул. сигнала }}=\pi \frac{u_{\omega_{0}}}{W_{\omega_{0}}} \delta=\text { const } \cdot \delta=\text { const } \cdot d \text {. }
\]

Отсюда видно, что для уменьшения относительной энергии помех нужно уменьшать логарифмический декремент контура.

Заметим, что в случае помех поглощаемая мощность не зависит от коэффиџиента затухания.

Когда мы уменьшаем затухание, оставляя постоянными $\omega_{0}$ и $p$, то действие колебаний любой частоты увеличивается, но неодинаково. Действие колебаний той частоты, на которую контур настроен, возрастает гораздо больше, чем действие колебаний с частотами, далекими от резонанса. Этим и объясняется уменьшение отношения энергии помех к энергии сигнала при уменьшении затухания.
Представление энергии помех в виде
\[
\int_{0}^{\infty} u_{p} d p
\]

связано с теоремой Релея в теории интеграла Фурье ${ }^{1}$.
На этом мы закончим изучение резонанса. Хотя мы рассмотрели резонанс в простейшей системе, мы затронули все же ряд вопросов, которыми нужно хорошо владеть. До сих пор в этих вопросах делаются грубые ошибки.

Возьмем, например, Флеминга. Это-крупный радиоспеџиалист, член Королевского общества (английской Академии наук). Его

I [См., например, Титчмарш. Введение в теорию интегралов Фурье. M.-Л., 1941.]

книга „Волны в воде, воздухе и эфире\”-в общем неплохая, там есть много интересных сведений. Но по поводу резонанса там имеется явный вздор. Говорится, например, что мальчик, стреляя из рогатки, может разрушить железнодорожный мост через Темзу. Это невозможно из-за затухания.