Математическая теория линейной консервативной системы с двумя степенями свободы. Нормальные колебания. Секулярное уравнение. Свлзь между парциальными и нормальными частотами. Нормальные коодинаты. Общее решение как суперпозиция нормальных колебаний.
Рассмотрим общий случай малых колебаний консервативной системы с двумя степенями свободы около устойчивого положе-ния равновесия. Потенџиальная и кинетическая энергия – квадратичные формы соответственно от координат и скоростей:
\[
\left.\begin{array}{l}
U=a x^{2}+2 h x y+b y^{2} \\
T=A \dot{x}^{2}+2 H \dot{x} \dot{y}+B \dot{y}^{2}
\end{array}\right\}
\]

Обе квадратичные формы положительно дефинитны. При этом
\[
\left.\begin{array}{c}
A>0, B>0, A B-H^{2}>0, \\
a>0, \quad b>0, \quad a b-h^{2}>0 .
\end{array}\right\}
\]

Подставляя (1) и (2) в уравнения Лагранжа
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{x}}\right)+\frac{\partial U}{\partial x}=0, \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{y}}\right)+\frac{\partial U}{\partial y}=0,
\]

получаем для нашей системы уравнения движения:
\[
\left.\begin{array}{l}
A \ddot{x}+H \ddot{y}+a x+h y=0, \\
H \ddot{x}+B \ddot{y}+h x+b y=0 .
\end{array}\right\}
\]

На рис. 92, а, б показаны два примера систем с двумя степенями свободы. В качестве $x$ и $y$ можно взять заряды на любых двух конденсаторах (рис. 92,a) и углы отклонения маятников (рис. 92,б) или любые линейные комбинадии этих величин.

Можно ввести понятие парциальных систем ${ }^{1}$. Мы будем называть !парџильными те сиРис. 92. стемы с одной степенью свободы, которые получаются из данной системы с двумя степенями свободы при „закреплении“ одной из координат, т. е. в случае рис. 92, a-при разрыве џепи, к которой относится соответственно координата $x$ или $y$, а в случае рис. 92,6 – при закреплении того или другого маятника. Математически это означает следуюшее. Одну парџиальную систему мы получим, положив, что в (1) $x=0$ (тождественно по $t$ ), другую- положив аналогичным образом в (1) $y=0$.
Для первой парџиальной системы имеем:
\[
T=A \dot{x}^{2}, U=a x^{2} .
\]

Эта система имеет соб̈ственную частоту $n_{1}$ (парџиальную частоту), такую, что
\[
n_{1}^{2}=\frac{a}{A} .
\]
1 [Подроб̈не см. 24-ую лекџию.]

Для второй пардиальной системы имеем:
\[
\begin{array}{c}
T=B \dot{y}^{2}, U=b y^{2}, \\
n_{2}^{2}=\frac{b}{B}
\end{array}
\]
( $n_{2}$ – вторая парџиальная частота).
Будем искать решение уравнения (3) системы с двумя степенями свободы в таком виде:
\[
\begin{array}{l}
x=C \cos (\omega t+\alpha), \\
y=k C \cos (\omega t+\alpha),
\end{array}
\]

где $C, k, \omega, \alpha$– постоянные. Движение типа (4) мы будем называть нормальным колебанием, его частоту о-нормальной частоmoй.

Подставляя (4) в (3) и сокращая на общий множитель $\cos (\omega t+\%)$, получаем систему алгебраических уравнений:
\[
\left.\begin{array}{l}
\left(\omega^{2} A-a\right)+\left(\omega^{2} H-h\right) k=0, \\
\left(\omega^{2} H-h\right)+\left(\omega^{2} B-b\right) k=0 .
\end{array}\right\}
\]

Рассматривая өти уравнения как систему двух линейных уравнений относительно неизвестной $k$, напишем условие их совместности:
\[
\left|\begin{array}{cc}
\omega^{2} A-a & \omega^{2} H-h \\
\omega^{2} H-h & \omega^{2} B-b
\end{array}\right|=0 .
\]

Это-уравнение, определяющее неизвестную величину $\omega^{2}$. Оно называется секулярным уравнением. Обозначим
\[
\omega^{2}=\xi
\]

и запишем секулярное уравнение в таком виде:
\[
F(\zeta)=0,
\]

где $F(\xi)$ – полином второй степени:
\[
F(\xi)=\lambda_{1} \xi^{2}+\lambda_{2} \xi+\lambda_{3} .
\]

Уравнение
\[
r=F(\xi)
\]

есть уравнение параболы. Абсџиссы точек, в которых она пересекает ось $\xi$, равны корням уравнения (6), т. е. квадратам частот искомых колебаний вида (4).

Развертывая детерминант уравнения (6) и сравнивая с (7), мы видим, что
\[
\lambda_{1}=A B-H^{2}, \quad \lambda_{2}=2 h H-a B-b A, \quad \lambda_{3}=a b-h^{2} .
\]
$\mathrm{Ha}$ основании (2)
\[
\lambda_{1}>0, \quad \lambda_{3}>0 .
\]
вательно, $\eta$ положительно. При $\zeta=0$ имеем
\[
n=F(0)=\lambda_{3} \text {, }
\]

и, следовательно, п здесь также положительно.
Подставляя в (7) значения $\stackrel{\sim}{3}$
\[
\zeta=n_{1}^{2}=\frac{a}{A}, \zeta=n_{2}^{2}=\frac{b}{B},
\]

получаем:
\[
\begin{array}{l}
F\left(\frac{a}{A}\right)=-\left(H \frac{a}{A}-h\right)^{2}<0 ; \\
F\left(\frac{b}{B}\right)=-\left(H \frac{b}{B}-h\right)^{2}<0 .
\end{array}
\]

Итак, парабола пересекает Рис. 93. ось абсџисс и имеет вид, показанный на рис. 93. Корни $\omega_{1}^{2}$ и $\omega_{2}^{2}$ уравнения (5) действительны и положительны, причем
\[
\omega_{1}^{2} \leqslant n_{1}^{2} \leqslant n_{2}^{2} \leqslant \omega_{2}^{2} .
\]

Парџиальные частоты лежат между нормальными частотами и в крайнем случае – совпадают с ними.

Применим полученные результаты к случаю системы, состоящей из двух индуктивно связанных контуров (рис. 91). Здесь
\[
\begin{array}{l}
2 T=L_{1} \dot{q}_{1}^{2}+L_{2} \dot{q}_{2}^{2}+M \dot{q}_{1} \dot{q}_{2}, \\
2 U=\frac{q_{1}^{2}}{C_{1}}+\frac{q_{2}^{2}}{C_{2}} .
\end{array}
\]

Секулярное уравнение
\[
\left|\begin{array}{cc}
\omega^{2} L_{1}-\frac{1}{C_{1}} & \omega^{2} M \\
\omega^{2} M & \omega^{2} L_{2}-\frac{1}{C_{2}}
\end{array}\right|=0 .
\]

Введем парџиальные частоты:
\[
n_{1}^{2}=\frac{1}{L_{1} C_{1}}, \quad n_{2}^{2}=\frac{1}{L_{2} C_{2}}
\]

и обозначим
\[
\sigma=1-\frac{M^{2}}{L_{1} L_{2}} .
\]

Развертывая детерминант и воспользовавшись (8) и (9), полу-
Рис. 94.
чаем:
\[
\omega()^{ \pm}-\left(n_{2}^{2}\right)()^{2}+n_{1}^{2} n_{2}^{2}=0 .(10)
\]

Рис. 95.
Введем еще „расстройку“ парџиальных частот
\[
\xi=\left(\frac{n_{2}}{n_{1}}\right)^{2}
\]

и величину
\[
z=\frac{\omega^{2}}{n_{1}^{2}}
\]
(квадрат отношения нормальной частоты одной из парџиальных). Подставляя (11) и (12) в (10), получаем
\[
\sigma z^{2}-(1+\xi) z+\xi=0 .
\]

На плоскости $(z, \xi)$ этому уравнению соответствует семейство гипербол (каждая гипербола соответствует определенному значению параметра $\sigma$ ). Одна из таких гипербол изображена на рис. 94. Каждому значению расстройки $\xi$ соответствуют две ординаты: $z_{1}, z_{2}$ (две нормальные частоты). Рис. 94 наглядно показывает, как нормальная частота зависит от расстройки парџиальных систем.

Построенный нами график имеет большое значение при исследовании некоторых нелинейных систем, например лампового генератора, колебательный контур которого индуктивно связан с другим колебательным контуром (рис. 95). Здесь при определенных условиях происходит следующее. Имеет место периодическое (незатухающее) колебание, частота которого практически совпадает с одной из нормальных частот той линейной консервативной системы, в которую превратилось бы устройство рис. 95 при отсутствии лампы и сопротивлений в контурах. При изменении расстройки $\xi$ частота генерируемого колебания меняется так, как показано на рис. 96. При $\xi<\xi_{1}$ возможны колебания только с частотой $\omega_{2}$, при $\zeta>\xi_{2}$-только с частотой $\omega_{1} ;$ при $\xi_{1}<\xi<\xi_{2}$ в зависимости от истории системы происходят колебания либо с частотой $\omega_{1}$, либо с частотой $\omega_{2}$ (явление ,затягивания\”-своеобразный гистерезис). Переход от частоты $\omega_{1}$ к частоте $\omega_{2}$ или наоборот происходит скачком.:

Найдя нормальные частоты, мы можем определить из (5) соответствуюшие значения отношения амплитуд, $k$. Обозначим их $k_{1}$ и $k_{2}$.
Введем посредством уравнений
\[
\begin{array}{c}
x=\xi+n, \\
y=k_{1} \xi+k_{2} n
\end{array}
\]

новые обобщенные координаты $\xi$ и п. Подставив (13) в (1), полу-

Рис. 96. чаем:
\[
\left.\begin{array}{c}
T=\left(A+2 H k_{1}+B k_{1}^{2}\right) \dot{\xi}^{2}+2\left[A+H\left(k_{1}+k_{2}\right)+B k_{1} k_{2}\right] \dot{\xi} \dot{n}+ \\
+\left(A+2 H k_{2}+B k_{2}^{2}\right) \dot{n}^{2} \\
U=\left(a+2 h k_{1}+b k_{1}^{2}\right) \xi^{2}+2\left[a+h\left(k_{1}+k_{2}\right)+b k_{1} k_{2}\right] \xi n+ \\
+\left(a+2 h k_{2}+b k_{2}^{2}\right) n^{2}
\end{array}\right\}
\]

Заметим теперь, что на основании (5)
\[
\begin{array}{ll}
\omega_{1}^{2}\left(A+H k_{1}\right)=a+h k_{1}, & \omega_{2}^{2}\left(A+H k_{2}\right)=a+h k_{2} ; \\
\omega_{1}^{2}\left(H+B k_{1}\right)=h+b k_{1}, & \omega_{2}^{2}\left(H+B k_{2}\right)=h+b k_{2} .
\end{array}
\]

Сложим уравнения первого столбџа, умножив предварительно второе на $k_{1}$ :
\[
\omega_{1}^{2}\left(A+2 H k_{1}+B k_{1}^{2}\right)=a+2 h k_{1}+b k_{1}^{2} .
\]

Сложим теперь уравнения второго столбџа, умножив предварительно второе на $k_{2}$ :
\[
\omega_{2}^{2}\left(A+2 H k_{2}+B k_{2}^{2}\right)=a+2 h k_{2}+b k_{2}^{2} .
\]

Если же проделать аналогичную операџию, но умножая на $k_{2}$ и $k_{1}$ вместо $k_{1}$ и $k_{2}$, то получим еще:
\[
\left.\begin{array}{l}
\omega_{2}^{2}\left[A+H\left(k_{1}+k_{2}\right)+B k_{1} k_{2}\right]=a+h\left(k_{1}+k_{2}\right)+b k_{1} k_{2} ; \\
\omega_{2}^{2}\left[A+H\left(k_{1}+k_{2}\right)+B k_{1} k_{2}\right]=a+h\left(k_{1}+k_{2}\right)+b k_{1} k_{2} .
\end{array}\right\}
\]

При $\omega_{1}^{2}
eq \omega_{2}^{2}$ из (17) следует, что
\[
\begin{array}{c}
A+H\left(k_{1}+k_{2}\right)+B k_{1} k_{2}=0, \\
a+h\left(k_{1}+k_{2}\right)+b k_{1} k_{2}=0 .
\end{array}
\]

Следовательно, выражения (14) не содержат членов с произведениями $\dot{\xi}_{i}$ и $\xi$ и имеют вид
\[
\begin{array}{l}
T=A_{1} \dot{\xi}^{2}+A_{2} \dot{\eta}^{\prime}, \\
U=a_{1} \xi^{2}+a_{2} \eta^{2},
\end{array}
\]

причем
\[
\frac{a_{1}}{A_{1}}=\omega_{1}^{2}, \frac{a_{2}}{A_{2}}=\omega_{3}^{2} .
\]

В системе координат ( $\xi$ п) нет ни силовой, ни инерциальной связи. Мы показали, что подходящим выбором обобщенных координат всегда можно привести обе квадратичные формы (14) к каноническому виду (18), т. е. привести их к суммам квадратов. Координаты $\xi$ и $\gamma_{i}$ называются нормальными координатами.
Уравнения Лагранжа в новых обобщенных координатах
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \xi}\right)+\frac{\partial U}{\partial \xi}=0, \quad \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{r}_{i}}\right)+\frac{\partial U}{\partial r_{i}}=0,
\]

именот вид
\[
\left.\begin{array}{l}
A_{1} \ddot{\xi}+a_{1} \xi=0 \\
A_{2} \ddot{\eta}+a_{2} n=0
\end{array}\right\}
\]

В одно из них входит только обобщенная координата 5 , в другое – только обобщенная координата $n$.

Уравнения (19) имеют общее решение:
\[
\xi_{1}=C_{1} \cos \left(\omega_{1} t+\alpha_{1}\right), \quad n=C_{2} \cos \left(\omega_{2} t+\alpha_{2}\right),
\]

где $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ – нормальные частоты. Согласно (13)
\[
\left.\begin{array}{l}
x=C_{1} \cos \left(\omega_{1} t+\alpha_{1}\right)+C_{2} \cos \left(\omega_{2} t+\alpha_{2}\right), \\
y=k_{1} C_{1} \cos \left(\omega_{1} t+\alpha_{1}\right)+k_{2} C_{2} \cos \left(\omega_{2} t+\alpha_{2}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Таково выражение общего решения в исходных координатах $x, y$. Мы могли бы его написать сразу (не переходя к нормальным координатам $\xi$ и $\eta$ ) как сумму двух частных решений вида (4).
Сформулируем физический смысл уравнения (20).
Каждая из координат $x$ и $y$ совершает, вообще говоря, сумму двух гармонических колебаний с различными нормальными частотами $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$.

Частоты эти задаются самой системой (видом кинетической и потенџиальной әнергии). Самой системой задаются также отношения $k_{1}$ и $k_{2}$ амплитуд каждого нормального колебания в обеих координатах (эти отношения могут быть как положительными, так и отриџательными). Сами амплитуды и фазы задаются начальными условиями. Каждое из гармонических колебаний имеет в обеих координатах одинаковую фазу.