Дополнительные замечания по теории интегральных уравнений. Вопрос о возможности разложения произвольной функии, удовлетворяющей краевым условиям, по собственным функциям краевой задачи.
Мы видели, что функџия, удовлетворяющая дифференџиальному уравнению и граничным условиям задачи Штурма-Лиувилля, удовлетворяет также определенному интегральному уравнению. Это верно также, если положить $\lambda =0$; мы имеем в этом случае статическую задачу, решением которой является функция
$$\phi (x)={\int }_0^{l}V(x,\xi )g(\xi )d\xi .$$

Более общий класс интегральных уравнений получится, если не ограничивать функџию $V(x,\xi )$ тем условием, что она есть функция Грина некоторой задачи.

Мы займемся однородным интегральным уравнением, т. е. положим:
$$g(\xi )=0,$$

и приведем ядро к симметричному виду, вводя функџию
$$\psi (x)=\sqrt{q(x)}\phi (x).$$

Новое симметричное ядро мы обозначим через $K(x,\xi )$, т. е.
$$K(x,\xi )=V(x,\xi )\sqrt{q(x)q(\xi )}.$$

Новое уравнение запишется так:
$$\psi (x)=\lambda {\int }_0^{l}K(x,\xi )\psi (\xi )d\xi .$$

Мы знаем, что если ядро построено указанным способом из функии Грина, то интегральное уравнение обладает бесконечным множеством собственных значений и собственных функций. Существует теорема, которую мы примем без доказательства: всякое интегральное уравнение с симметричным ядром обладает по крайней мере одним собственным значением и соответствующей собственной функцией. В случае несимметричного ядра может оказаться, что интегральное уравнение не имеет ни одного решения.

Рассмотрим пример Ковалевского. Пусть ядро симметрично и имеет вид
$$K(x,\xi )=\sin \pi x\sin \pi \xi$$

Пусть, кроме того, $l=1$. Тогда уравнение будет
$$\psi (x)=\lambda {\int }_0^1\sin \pi x\sin \pi \xi \psi (\xi )d\xi .$$

Такое ядро, которое можно представить как произведение вида
$$f_1(x)f_2(\zeta )$$

называется вырожденным. В нашем примере ядро вырождено и
$$\psi (x)=\lambda \sin \pi x{\int }_0^1\psi (\xi )\sin \pi \xi d\xi =c\lambda \sin \pi x,$$

где $c$ — постоянная.
Подставляя это выражение для $\psi$ в интегральное уравнение, находим:
$$\frac{1}{\lambda }={\int }_0^1{\sin }^2\pi \xi d\xi =\frac{1}{2},$$

откуда следует, что $\lambda =2$.
Возьмем теперь несимметричное ядро
$$K(x,\xi )=\sin \pi x\cos \pi \xi .$$

Повторяя прежнее вычисление, находим:
$$\frac{1}{\lambda }{\int }_0^1\sin \pi \xi \cos \pi \xi d\xi =0.$$

Таким образом, уравнение не имеет собственного значения и единственное решение — тривиальное:
$$\psi =0.$$

Пусть в рассматриваемой задаче имеется не меньше двух собственных значений. Тогда
$$\begin{array}{l}{\psi }_m(x)={\lambda }_m{\int }_0^{l}K(x,\xi ){\psi }_m(\xi )d\xi ,\\ {\psi }_n(x)={\lambda }_n{\int }_0^{l}K(x,\xi ){\psi }_n(\xi )d\xi ,\end{array}$$

причем ${\lambda }_{m}eq{\lambda }_n$. Покажем, что если ядро симметрично, то функџии ${\psi }_m$ и ${\psi }_n$ ортогональны. Умножая (2) на ${\lambda }_n{\psi }_n$, а (3) — на ${\lambda }_m{\psi }_m$, вычитая и интегрируя по $x$ от 0 до $l$, находим:
$$\begin{array}{c}({\lambda }_n-{\lambda }_m){\int }_0^l{\psi }_m(x){\psi }_n(x)dx=\\ ={\lambda }_m{\lambda }_n{\int }_0^l{\int }_0^{l}K(x,\xi )[{\psi }_m(\xi ){\psi }_n(x)-{\psi }_m(x){\psi }_n(\xi )]d\xi dx.\end{array}$$

Меняя в последнем члене $x$ и $\xi$ местами, получим при симметричном ядре:
$$({\lambda }_n-{\lambda }_m){\int }_0^l{\psi }_m(x){\psi }_n(x)dx=0,$$
т. е. Функции ${\psi }_m$ и ${\psi }_n$ ортогональны. Ясно, что это условие ортогональности совпадает с ранее выведенным для функций $\phi$ :
$${\int }_0^{l}q(x){\phi }_m(x){\phi }_n(x)dx=0.$$

В задаче Штурма-Лиувилля каждому собственному значению соответствует одна и только одна собственная функция. В общем случае в интегральном уравнении данному собственному значению могут соответствовать $n$ линейно независимых собственных функций (например, в случае мембран и пластин). Ясно, что наше доказательство ортогональности не годится для функций, соответствующих одному и тому же собственному значению. Вообще говоря, различные собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению, не ортогональны, но так как они линейно независимы, систему этих функций всегда можно ортогонализировать. Легко убедиться в этом на примере функций ${\psi }_1$ и ${\psi }_2$. Пусть они не ортогональны. Можно всегда выбрать постоянные $a$ и $b$ так, чтобы функџии
$$\begin{array}{l}{\overline{\psi }}_1=a_1{\psi }_1+b_1{\psi }_2,\\ {\overline{\psi }}_2=a_2{\psi }_1+b_2{\psi }_2\end{array}$$

были ортогональны и нормированы, т. е. чтобы было
$${\int }_0^l{\overline{\psi }}_1^2(x)dx=1,{\int }_0^l{\overline{\psi }}_2^2(x)dx=1,{\int }_0^l{\overline{\psi }}_1(x){\overline{\psi }}_2(x)dx=0.$$

Поэтому мы всегда будем считать, что система фундаментальных функџий ортогональна и нормирована. В общем случае ограниченного симметричного ядра одному собственному значению может соответствовать больше одной собственной функџии, но число их при этом всегда конечное.
Мы знаем, что общее решение в случае струны имеет вид
$$y(x,t)=\sum _i{\phi }_i(x)(A_i\cos \sqrt{{\lambda }_i}t+B_i\sin \sqrt{{\lambda }_i}t).$$

Оно представляет собою сумму всех возможных колебаний. Если даны начальнье распределения смешений и скоростей, то колебание определено условиями:
$$\begin{array}{l}y(x,0)=\sum _i{A}_i{\phi }_i(x)=f(x),\\ \frac{\partial y(x,0)}{\partial t}=\sum _i{B}_i\sqrt{{\lambda }_i}{\phi }_i(x)=F(x).\end{array}$$

Если функции $f(x)$ и $F(x)$ могут быть разложены в ряды по собственным функџиям задачи, то коэффиџиенты разложения дают амплитуды колебаний. Следовательно, вопрос заключается в возможности разложения любой функџии в равномерно сходящийся ряд по собственным функциям задачи. Докажем, что это всегда возможно. Мы будем оперировать с функциями ${\psi }_i$, так как разложение можно умножить на $\sqrt{q(x)}$ :
$$\begin{array}{l}\sum _i{A}_i{\psi }_i(x)=f(x)\sqrt{q(x)}\\ \sum _i{B}_i{\sqrt{\lambda }}_i{\psi }_i(x)=F(x)\sqrt{q(x)}.\end{array}$$

Пусть ядро симметричное. Мы выберем некоторую спеџиальную функџию и допустим, что ее можно разложить в ряд по собственным функџиям. Мы покажем, что в таком случае можно разложить в ряд по собственным функџиям также произвольную функџию. В качестве спеџиальной функџии мы возьмем ядро интегрального уравнения
$$K(x,\xi )=c_1{\psi }_1(x)+c_2{\psi }_2(x)+\dots$$

Так как по предположению ряд сходится равномерно, то его можно интегрировать почленно:
$${\int }_0^{l}K(x,\xi ){\psi }_k(x)dx={\int }_0^l{\psi }_k(x)[c_1{\psi }_1(x)+c_2{\psi }_2(x)+\dots ].$$

В силу ортогональности собственных функџий разного номера и условия нормировки
$${\int }_0^l{\psi }_k^2(x)dx=1$$

имеем:
$$c_k={\int }_0^{l}K(x,\xi ){\psi }_k(x)dx.$$

Но из интегрального уравнения видно, что интеграл равен
$$\frac{{\psi }_k(\xi )}{{\lambda }_k}\text{. }$$

Следовательно,
$$c_k=\frac{\psi (\xi )}{{\lambda }_k}$$

и
$$K(x,\xi )=\frac{{\psi }_1(x){\psi }_1(\xi )}{{\lambda }_1}+\frac{{\psi }_2(x){\psi }_2(\xi )}{{\lambda }_2}+\dots$$

Выражение в правой части называется билинейной формой нашего интегрального уравнения. Докажем, что если она сходится равномерно, то она непременно представляет ядро. (Мы только предположили, а не доказали, что ряд (6) сходится равномерно. Вообџе, нельзя доказать, что всякое ядро может быть разложено таким образом.)
Образуем разность
$$g(x,\xi )=K(x,\xi )-\sum _i\frac{{\psi }_i(x){\psi }_i(\xi )}{{\lambda }_i}.$$

Ясно, что $g(x,\xi )$ есть непрерывная и симметричная функџия $x$ и $\xi$. Следовательно, если мы образуем однородное интегральное уравнение с ядром $g(x,\xi )$, то это уравнение обладает по крайней мере одним собственным значением и одним нетривиальным решением:
$$\chi (x)=\mu {\int }_0^{l}g(x,\xi )\chi (\xi )d\xi .$$

Покажем, что решение этого уравнения $\chi (x)$ ортогонально ко всем функџиям ${\psi }_k(x)$.
Умножая уравнение (8) на ${\psi }_k(x)$ и интегрируя, получаем:
$$\begin{array}{c}{\int }_0^l{\psi }_k(x)\chi (x)dx=\mu {\int }_0^l\chi (\xi )[{\int }_0^{l}K(x,\xi ){\psi }_k(x)dx-\\ -{\int }_0^l\sum _i\frac{{\psi }_i(x){\psi }_i(\xi )}{{\lambda }_i}{\psi }_k(x)dx]d\xi .\end{array}$$

Изменив порядок суммирования и интегрирования в последнем члене (это можно сделать, так как ряд сходится равномерно), мы получаем в силу ортогональности ${\psi }_i$ и ${\psi }_k(ieqk)$, что он равен
$$\frac{{\psi }_k(\xi )}{{\lambda }_k}.$$

Но первый член в силу исходного интегрального уравнения тоже равен
$$\frac{{\mathrm{\Psi }}_k(\xi )}{{\lambda }_k}.$$

Значит,
$${\int }_0^l{\psi }_k(x)\chi (x)dx=0$$
т. е. функция $\chi (x)$ ортогональна ко всем функџиям ${\psi }_i(x)$.

Покажем теперь, что функция $\chi (x)$ является собственной функџией исходного интегрального уравнения, образованного с помоџью ядра $K(x$, द̧).
Действительно,
$$\begin{array}{c}\chi (x)=\mu \cdot {\int }_0^{l}g(x,\xi )\chi (\xi )d\xi =\\ =\mu \cdot {\int }_0^{l}K(x,\xi )\chi (\xi )d\xi -\mu {\int }_0^l\sum _i\frac{{\psi }_i(x){\psi }_i(\xi )}{{\lambda }_i}\chi (\xi )d\xi .\end{array}$$

Но в силу ортогональности $\chi (x)$ ко всем ${\psi }_i(x)$, последний интеграл есть нуль. Следовательно, $\chi (x)$ действительно есть собственная функџия ядра $K(x,\xi )$.

Но тогда $\chi (x)$ есть одна из функџий ${\psi }_i(x)$. Так как она ортогональна ко всем ${\psi }_i(x)$, то она ортогональна к самой себе, и мы пришли к противоречию. Следовательно, уравнение (8) не имеет собственной функџии, а это возможно только, если
$$g(x,\xi )=0,$$
т. e.
$$K(x,\xi )=\sum _i\frac{{\mathrm{\Psi }}_i(x){\psi }_i(\xi )}{{\lambda }_i}$$

Докажем теперь, что если ядро может быть представлено билинейной формой в согласии с уравнением (9), то всякая функдия, порождаемая ядром, т. е. всякая функџия $f(x)$, которая может быть представлена в виде
$$f(x)={\int }_0^{l}K(x,\xi )h(\xi )d\xi$$

может быть разложена в равномерно сходящийся ряд по собственным функциям ядра.
Действительно, умножая (9) на $h(\xi )$ и интегрируя, получаем
$$f(x)={\int }_0^{l}K(x,\xi )h(\xi )d\xi ={\int }_0^l\sum _i\frac{{\psi }_i(x){\psi }_i(\xi )}{{\lambda }_i}h(\xi )d\xi .$$

Если функџия $h(\xi )$ — ограниченная, то ряд, стоящий справа, равномерно сходится, и, следовательно,
$$f(x)=\sum _i{\psi }_i(x){\int }_0^i\frac{{\psi }_i(\xi )h(\xi )}{{\lambda }_i}d\xi ,$$

или
$$f(x)=\sum _i{c}_i{\psi }_i(x)$$

где
$$c_i={\int }_0^l\frac{{\psi }_i(\xi )h(\xi )}{{\lambda }_i}d\xi$$

Таким образом, функция $f(x)$ действительно может быть разложена в равномерно сходящийся ряд по функџиям ${\psi }_i(x)$.