Для теории колебаний характерно рассмотрение не состояния в данный момент, а процесса в целом. Общие закономерности теории колебаний.
Теория колебаний и волновая механика. Содружество математики, физики и техники в теории колебаний.
Совсем не легко дать определение того, что составляет предмет теории колебаний. Планк как-то сказал, что правильная классификауия — это уже высокий вид познания. Это несомненно: ведь правильно классифиџировать — это значит давать довольно полные определения. И в данном случае резко разграничить, что такое колебания, а что не колебания, так же трудно, как определить, что такое лысый человек или что такое куча. Постараюсь все же дать представление, о чем будет идти речь в нашем курсе.

Вы знаете маятник, знаете, как он колеблется. Все, что мы слышим, — тоже колебания. Свет также не что иное, как колебания. Электрические колебания вам тоже известны; на них основана вся радиотелеграфия. Движение „туда и обратно“, в частности периодичность, — вот некоторые признаки колебаний.

Возьмем конкретный случай, например микрофон. Нас может интересовать, каково натяжение его мембраны в данный момент
1 [При обработке курса основным материалом служили весьма подробные записи A. А. Андронова, местами близкие по полноте к стенограмме. Лекции $11,17,18$ и 23 -я первой части курса были прочитаны А. А. Андроновым по плану, указанному $ᄉ$. И. Мандельштамом. Они даны по конспектам А. А. Андронова. Дополнительным материалом служил конспект, составленный М. А. Дивильковским на основании собственных записей. Лекџия 15-ая второй части курса, не записанная А. А. Андроновым, восстановлена по конспекту М. А. Дивильковского. Материал обработан Г. С. Гореликом и окончательно подготовлен к печати С. М. Рытовым.]

в данном месте. Или, скажем, частиџа, движущаяся в заданном поле. Здесь можно интересоваться тем, где находится частиџа в такой-то момент времени.

Теория колебаний меняет эту постановку вопроса. Для нее не типичен интерес к тому, что происходит в данный момент в данном месте. Она мало этим занимается. Ее интересует главным образом общий характер проџесса, взятого в целом, за большое время.

Например, камертон издает звук $l a$. Этот звук не определяется положением (или скоростью) ножек камертона в данный момент. Запишем движение ножки камертона. То, что камертон дает тон $l a$, характеризуется формой всей кривой в џелом (рис. 1), определенными особенностями всей этой кривой. Хотя и говорят: „я слышу $l a$
Рис. 1. в данный момент\», в действительности дело обстоит не так; те доли секунды, в течение которых в ухе создается ошушение тона $l a$, охватывают большое число максимумов и минимумов этой кривой. Ощущение звука la образуется, скажем, за полсекунды.
В качестве другой иллюстраџии рассмотрим классический пример Галилея — Гельмгольџа. На балке висит колокол. Вы можете сильно дергать веревку и не раскачаете колокола, а маленький мальчик его раскачает, если придаст выгодную форму кривой своей силы, если будет во-время увеличивать и уменьшать эту силу. Одно дело, насколько колокол отклонится под действием данного груза, другое — как раскачать колокол последовательными толчками. Именно этим интересуется теория колебаний. Чтобы раскачать колокол, надо дергать веревку в такт с его колебаниями. Здесь существенно то, что раскачивание определяется всей кривой, описывающей проџесс воздействия на колокол за время его раскачивания.

В прошлом столетии были замечены следующие явления. Џепной мост иногда разрушался от того, что по нему в ногу шли солдаты. Электрические кабели, испытанные на определенное напряжение, скажем на 10000 вольт, пробивались иногда при включении на 5000 вольт. Мост разрушается в том случае, когда шаг солдат попадает в такт с качаниями самого моста: когда мост возвращается в исходное положение, его вновь подталкивают.

В электрическом кабеле может происходить нечто похожее, и при этом напряжение постепенно нарастает.

Для этих явлений тоже характерно, что они определяются всем течением воздействия во времени.

Те стороны проџессов, которые характеризуются их общим видом, формой продесса в целом, имеют громадное значение в теории колебаний. Здесь есть вполне определенные важные закономерности, которые остаются одними и теми же в самых разнообразных областях. Это и дает основание выделить теорию колебаний как таковую.

Однако не любой проџесс подпадает под эту теорию. Этотеория проџессов, в той или иной степени повторяющихся, в частности периодических.

Было бы бесплодным педантизмом стараться „точно“ определить, какими именно проџессами занимается теория колебаний. Важно не это. Важно выделить руководящие идеи, основные общие закономерности. В теории колебаний эти закономерности очень спеџифичны, очень своеобразны, и их нужно не просто „знать“, а они должны войти в плоть и кровь.

Недавно происходила полемика, начатая Флемингом, который отриџал существование „боковых полос“ при модуляџии колебаний. Из этой полемики ясно видно, что колебательные закономерности не были им прочувствованы должным образом ${ }^{1}$.

В самое последнее время появилось сенсаџионное известие об „открытии“ Робинсона. Как известно, в радиотехнике нельзя строить передаюшие станџии, работающие на слишком близких волнах, так как они мешают друг другу при приеме. Робинсон говорит, что с помощью его изобретения можно сближать волны как угодно. Если сделать некоторые обоснованные предположения, то разбор его изобретения сводится к одной известной задаче из области теории колебаний ${ }^{2}$. Но если не пользоваться при этом общими законами, то разобраться, в чем дело,-не так просто. Положение здесь примерно такое же, как с изобретениями вечного двигателя. Не так легко иной раз доказать, что в данном частном проекте имеется нарушение закона сохранения энергии, что то или другое предложение perpetuum mobile неосуществимо. Но зная этот общий закон, вы сразу говорите: „этого не может быть“.
1 [См. 16-ю лекџию.]
2 [См. 19-ю лекџию.]

Следует особо подчеркнуть, что в приведенном примере с „изобретением\» Робинсона речь идет не о законах, спеџифичных для өлектричества, а о законах, общих всем колебательным явлениям.

Итак, разниџа между обычной динамикой и теорией колебаний ясна. Обычную динамику интересует в первую очередь то, что происходит в данном месте в данное время, теорию колебанийдвижение в целом.

До последнего времени считалось, что колебания — вторичное явление, что первичными являются положение и скорость движущейся частиџы в данный момент. Но в этом представлении наступил переворот. Волновая механика утверждает, что џелостность проџесса есть нечто столь же первичное, как положение частиџы. В волновой механике нельзя говорить отдельно о месте и скорости частиды. То и другое должно быть описано, исходя из более основного понятия — џелостности проџесса: Таким образом; то, что характерно для теории колебаний-рассмотрение целостного проџесса, — лежит в самой постановке проблем микромеханики. Вообще за последние четыре года колебания приобрели основное значение не только в макроскопической физике и технике, но и в законах микрофизики.

Содружество математики, физики и техники нигде так ярко не проявлялось, как в создании математического аппарата теории колебаний. Например, вся задача о колебаниях линейных дискретных систем сводится к учению высшей алгебры о квадратичных формах. Часто случалось, что математические вопросы возникали именно в связи с теорией колебаний. Особенно сильно это проявлялось в теории колебаний сплошных систем. Теория дифференпиальных уравнений в частных производных и некоторые вопросы интегральных уравнений имеют чисто физическую основу, связанную с колебаниями. Замечу, что здесь математика в долгу у физики. Зато мы, физики, можем пользоваться тем, что математики продвигали в своих интересах. Отсюда, между прочим, видно, насколько неправильно деление на „абстрактные“ и „прикладные“ науки. Они получают пиџу друг от друга. Хорошей иллюстрацией этого может служить пример рядов Фурье.
Еще одно небольшое замечание.
В теории колебаний широко пользуются упрощенной математической трактовкой, приводяџей к линейным дифференџиальным уравнениям, и еще очень недавно думали, что в теории колебаний можно ими ограничиться. Развитие радиотехники привело к тому, что в некоторых весьма важных вопросах теория, основанная на линейных дифференџиальных уравнениях, оказалась недостаточной. Сегодня, даже в өлементарном курсе, уже нельзя ограничиваться линейным рассмотрением. Нам придется поэтому коснуться, хотя и в краткой форме, также нелинейных задач.

Перехожу к перечислению основных вопросов, которых мы будем касаться в нашем курсе (я не даю точной программы, а лишь некоторую наметку).
1. Основные понятия и терминология теории колебаний (спеџифические термины, как, например, частота, џиклическая частота, логарифмический декремент и т. п.).
2. Математический аппарат, пригодный для теории колебаний.
3. Изучение тех систем и тех проџессов, с помощью которых создаются колебания.
4. Распространение колебаний в пространстве (на этом мы почти не остановимся).
5. Прием, исследование, восприятие колебаний.
В качестве литературы я могу вам рекомендовать следующие книги:
А. Н. Крылов. О некоторых дифференџиальных уравнениях математической физики; $\mathrm{M}$ ше рский. Курс теоретической физики; Релей. Теория звука; Helmholtz. Die Lehre von den Tonempfindungen и Vorlesungen über die theoretische Physik; Hort. Technische Schwingungslehre ${ }^{1}$.
1 [Здесь приводятся, конечно, те книги, которые были названы $\Lambda$. И. Мандельштамом. В настоящее время имеется ряд других учебников и монографий, появившихся в нашей литературе позднее. Укажем некоторые из них: А. А. Анд ронов и С. Э. Хайкин. Теория колебаний, ч. I (М.-Л., 1937); Н. Г. Четаев. Устойчивость движения (М., 1946); А. Пуанкаре. Окривых, определяемых дифференциальными уравнениями (М., 1947); Т. Карман и М. Био. Математические методы в инженерном деле (М., 1948); Ю. И. Не ймарк. Устойчивость линеаризованных систем (Л., 1949); Н. Н. Баутин. Поведение динамических систем вблизи граниџ области устойчивости (М., 1949); И.Г. Малкин. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний (М., 1949); Ф. Морз. Колебания и звук (М., 1949); Г. С. Горелик. Колебания и волны (М.-Л., 1950); С. П. Стрелков. Введение в теорию колебаний (М., 1950); С. Г. Михлин. Проблемы минимума квадратичного функџионала (М., 1952); Дж. Стоке р. Нелинейные колебания в механических и әлектрических системах (М., 1952); И. М. Капчинский. Методы теории колебаний в радиотехнике (М.- ., 1954).]