Задача об однородном стержне с закрепленными концами. Частоты и формы колебаний. Свойства, типичные и нетипичные для общего случая задачи Штурма-Лиувиляя. Случай свободных кондов. Случай, кода один конещ свободен, а другой- закреплен. Случай электрической линии, нагруенной конденсатором. Случай электрической линии, каруженной катушкой самоиндукции.
Вернемся к задаче Штурма-Лиувилля, сформулированной в прошлой лекџии. Возьмем самый простой, всем известный пример. Әтот пример практически чрезвычайно важен. Кроме того, в нем многие черты характерны для самой общей проблемы ШтурмаЛиувилля.

Пусть $p(x)$ и $q(x)$ постоянны. Обозначим
\[
\frac{p}{q}=a^{2} .
\]

и будем искать частные решения вида
\[
y=\varphi(x) \psi(t) .
\]

Для $\varphi(x)$ и $\psi(t)$ получаем уравнения:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d^{2} \varphi}{d x^{2}}+\frac{\lambda^{2}}{a^{2}} \varphi=0 ; \\
\frac{d^{2} \psi}{d t^{2}}+\lambda^{2} \psi=0 .
\end{array}
\]

Мы покажем, что собственные значения $\lambda$ положительны. Тогда можно обозначить
\[
\lambda=\omega^{2},
\]

где $\omega$-действительная величина (частота), и из (3)
\[
\psi=A \cos \omega t+B \sin \omega t .
\]

Вся задача будет решена, если мы найдем $\omega$.
Нам нужно найти не просто решение уравнения (2), а решение, удовлетворяющее краевым условиям. Возьмем для простоты краевые условия
\[
\varphi(0)=0, \varphi(l)=0 .
\]

Заметим, что волновое уравнение
\[
a^{2} \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}},
\]

получающееся при $p(x)=$ const и $q(x)=$ const, симметрично относительно $x$ и $t$ (в общем случае уравнение для $y$ несимметрично относительно $x$ и $t$ ). Однако вся задача в делом и здесь несимметpична относительно $x$ и $t$ : по $x$ мы имеем краевые условия, а по $t$ начальные условия.

Можно ли разумно поставить задачу так, чтобы по $t$ были заданы краевые условия, а $y$ и $\frac{\partial y}{\partial x}$ были для $x=0$ заданными функциями от $t$ ? Я не знаю интересных случаев, где задача ставилась бы таким образом. Если речь идет об отыскании решений, периодических по времени, то и здесь по отношению к $x$ мы не интересуемся тем, что происходит при $x<0$ и $x>l$.

Для случая постоянных $p$ и $q$ краевая задача решается очень легко. Мы сразу получаем из уравнения (2):
\[
\varphi=C_{1} \cos \frac{\omega x}{a}+C_{2} \sin \frac{\omega x}{a},
\]

где $C_{1}$ и $C_{2}$ – произвольные постоянные. Нам нужно, чтобы (6) удовлетворяло условиям (5). Пусть $x=0$. Тогда из (6) получаем $\varphi(0)=C_{1}$, и, следовательно, в силу (5)
\[
C_{1}=0 \text {. }
\]

Пусть $x=l$. Принимая во внимание (7), получаем из (5) и (6):
\[
\sin \frac{\omega l}{a}=0,
\]

отку да
\[
\frac{\omega l}{a}=s \pi \quad(s=1,2,3, \ldots) .
\]

Здесь как раз заключен решающий момент. Возможно удовлетворить нашим граничным условиям, но не при всяких $\omega$, т. е. не при всяких $\lambda$, а только при каких-то определенных.

Мы пришли к трансцендентному уравнению для $\omega$, имеющему бесконечное множество действительных и положительных корней. Каждому значению характеристического числа $\lambda$ (или $\omega$ ) соответствует одна (с точностью до постоянного множителя) функџия $\varphi(x)$, т. е. одна вполне определенная форма колебания. Все өти свойства типичны. При краевых условиях рассматриваемого типа они имеют место не только при постоянных $p$ и $q$ (при периодических краевых условиях дело обстоит иначе).

Решениями являются гармонические колебания (4), частоты которых образуют согласно (8) бесконечную дискретную последовательность. Она не имеет сгущения в конечной области, а растет в бесконечность. И эти свойства тоже типичны для задачи Штурма-Лиувилля. Но не типично то, что частоты (8) образуют гармонический ряд, т. е. относятся между собой, как џелые числа. Обертоны неоднородной системы не относятся друг к другу, как целые числа.

Перейдем к форме колебаний. При $s=1$ в интервале $(0, l)$ укладывается полволны (рис. 156):
\[
\Lambda_{1}=2 l ;
\]

при $s=2$ – џелая волна, при $s=3$ – полторы волны и т. д. Вообще
\[
\Lambda_{s}=\frac{2 l}{s} .
\]

То, что пространственная форма колебания синусоидальна,это не типично. Но типично для всех задач Штурма-Лиувилля то, что при переходе от $s$ к $s+1$ число нулей функџии $\varphi(x)$ внутри интервала $(0, l$ ) возрастает на единицу. При $s$-ом колебании в интервале $(0, l)$ функция $\varphi(x)$ имеет в одних случаях $s$ нулевых точек, в других случаях $s-1$ (например, в только что рассмотренном).

Антенна, колеблющаяся на каком-нибудь обертоне, разбивается на ряд\” участков, колеблющихся в противоположных фазах. Если
Рис. 156.

антенна колеблется в основном тоне, она дает максимум излучения в одних направлениях; если она колеблется в другом тоне, то она дает максимум излучения в других направлениях.

Можно сказать, что все точки колеблются в одной и той же фазе, но амплитуды соседних участков имеют противоположные знаки. Это свойство также типично.

Нулевые точки называются узлами, точки максимума амплитуды – пучностями. Точки, являющиеся узлами для одной функџии, могут быть пучностями для другой (что иногда вызывает недоразумения). В самом деле, можно интересоваться разными вещами, например:
1) Насколько частиџы отклоняются. Функџия $\varphi(x)$ как раз и описывает отклонения частиц.
2) Какова в различных местах деформаџия $\frac{\partial y}{\partial x}$, т. е. насколько различные точки удалились друг от друга. Если $\frac{\partial y}{\partial x}=0$, то соседние точки одинаково удалены от положения равновесия; если $\frac{\partial y}{\partial x}<0$, то имеет место сжатие, если $\frac{\partial y}{\partial x}>0$ – растяжение.

Узлам смещения $y$ соответствуют в случае (6) пучности сжатия и механического напряжения, и наоборот. То, что узлы смещения и деформаџии не совпадают, и то, что пучности смещения совпадают с узлами деформаџии,- типично для общей проблемы, но то, что пучности деформаџии совпадают с узлами смешения,не типично.

В стержне узлы смещения являются для материала самыми опасными (в смысле напряжения) местами.

В электрическом однородном случае, там, где ток имеет узел, напряжение, имеется пучность, и наоборот.

Итак, говорить просто об узлах или пучностях нельзя, каждый раз нужно указывать, какая величина имеется в виду.
Рис. 157.
В случае однородного стержня с закрепленными конџами разложение начального смешения по собственным функциям имеет вид
\[
f(x)=\sum_{8} A_{y} \sin \frac{s \pi x}{l} .
\]

Это – обычный ряд Фурье по синусам. Постановка задачи здесь несколько другая, чем при разложении в ряд Фурье периодической функции.

Известно, что всякую периодическую функџию можно разложить в ряд Фурье. Здесь же речь идет о разложении функции в интервале от $x=0$ до $x=l$. Если $x$ будет расти за пределами интервала $(0, l)$, то функџия, представляемая рядом Фурье (9), будет повторяться периодически (рис. 157), но здесь это для нас не интересно.

Несколько слов относительно случая открытых конџов. Форма колебаний (для $y$ ) в этом случае показана на рис. 158. Здесь число узловых точек для обертона данного номера на единиџу больше, чем в случае закрепленных концов.

Между обоими случаями имеется и математически и физически довольно существенная разниџа. Для закрепленных концов $\lambda=0$ не является собственным значением. ІІри $\lambda=0$ уравнение (2) имеет общее решение
\[
\varphi(x)=C_{1} x+C_{2},
\]

в котором нельзя подобрать $C_{1}$ и $C_{2}$ так, чтобы удовлетворить граничным условиям (5). Подставляя (10) в граничные условия для открытых конџов:

получаем:
\[
\begin{array}{c}
\varphi^{\prime}(0)=0, \varphi^{\prime}(l)=0, \\
C_{1}=0, \varphi=C_{2},
\end{array}
\]
т. е. граничным условиям удовлетворяет постоянная величина. Таким образом, в случае спеџиальных краевых условий (11) $\lambda=0$
Рис. 158.

является собственным значением. Физически это совершенно очевидно: существует решение, при котором стержень движется как целое. Оно соответствует случаю, когда все точки стержня имеют одинаковую начальную скорость. Начальными условиями можно „подавить\” это решение, сделать так, чтобы оно выпало. Для этого нужно, чтобы стержень как џелое не имел начальной скорости.
Рис. 159.
Граничные условия (11) имеют место также в задаче о колебаниях свободно падающего стержня.

Несколько более интересен тот случай, когда стержень закреплен на одном конџе и свободен на другом.

При его рассмотрении мы воспользуемся тем, что дифференџиальное уравнение для всех случаев одно и то же. Здесь формы колебаний изображаются кусками синусоид, такими, что на одном конуе равно нулю смещение, а на другом-его производная. Возможно, например (рис. 157), колебание в четверть волны, период которого вдвое больше, чем если бы оба конџа были закреплены или оба свободны. Частоты колебаний здесь будут относиться, как $1: 3: 5: 7$ и т. д.

Этот случай прямо сводится к тому, когда оба конда закреплены, но стержень имеет удвоенную длину и находится в таком начальном состоянии, что не возбуждаются четные обертоны. Если мы разрежем стержень посередине, то каждая его половина будет продолжать колебаться так же, как и вначале.

Такой способ получать из известной системы новые – довольно красивый и далеко идущий.
Интересен случай кольџа, когда граничные условия:
\[
\begin{array}{c}
\varphi(0)=\varphi(l), \\
\varphi^{\prime}(0)=\varphi^{\prime}(l)
\end{array}
\]

выражают периодичность решения. Из (6) и граничных условий (12) и (13) следует, что
\[
\frac{\omega l}{a}=2 s \pi
\]

При этом обе функџии $\cos \frac{\omega x}{a}$ и $\sin \frac{\omega x}{a}$ в отдельности удовлетворяют граничным условиям, и, следовательно, эти условия удовлетворены при любых $C_{1}$ и $C_{2}$. Частоты будут вдвое больше (для данного номера обертона), чем тогда, когда стержень разрезан. Каждой частоте соответствует бесконечное множество различных распределений колебаний. Все они изображаются линейными комбинаџиями (6) линейно независимых функџий $\cos \frac{\omega x}{a}$ и $\sin \frac{\omega x}{\alpha}$.

Интерес подобных вырожденных случаев был понят только после того, как возникла волновая механика, где они часто встречаются.

Перейдем теперь к технически очень важному вопросу о нагруженной антенне – антенне, на конџах которой имеется сосредоточенная емкость или индуктивность („нагрузка“). Рассмотрим случай, когда конџы заземлены через конденсаторы. Здесь уравнения прохождения тока через конденсатор приводят для тока к граничному условию
\[
\frac{d \varphi(l)}{d x}=-\frac{C}{C_{0}} \varphi(l),
\]

где $C$ – емкость единиџы длины провода, $C_{0}$ – емкость конденсатора, и к аналогичному условию (с другим знаком) при $x=0$. Әти условия имеют, таким образом, вид:
\[
\begin{array}{cc}
\frac{d \varphi}{d x}=\alpha \varphi & (x=0), \\
\frac{d \varphi}{d x}=-\varphi_{\varphi} & (x=l),
\end{array}
\]

где $\alpha$ и $\beta$ постоянные и положительные величины ${ }^{1}$. Получается один из случаев задачи Штурма-Лиувилля.

Пусть левый конец заземлен накоротко (рис. 160). Тогда $\alpha=0$. Поступая совершенно так же, как для стержня, мы видим, что
Рис. 160.

на основании граничных условий при $x=0$ нужно отбросить частное решение уравнения вида $\sin \frac{\omega x}{a}$. Таким образом, здесь
\[
\varphi(x)=\cos \frac{\omega x}{a} .
\]

Теперь нужно определить такие $\omega$, при которых (15) удовлетворяют-второму граничному условию. Подставляя (15) в граничное условие (14), получаем:
\[
-\frac{\omega}{a} \sin \frac{\omega l}{\alpha}=-\frac{C}{C_{0}} \cos \frac{\omega l}{a},
\]
т. е. более сложное уравнение для $\omega$, чем прежде. Займемся его исследованием.

Умножив обе части на $l$, мы получим трансцендентное уравнение
\[
\frac{\omega l}{a} \sin \frac{\omega l}{a}=\frac{C^{\prime}}{C_{0}} \cos \frac{\omega l}{a},
\]

где $C^{\prime}=C l$ – емкость всего провода, или иначе
\[
\xi \operatorname{tg} \xi=b,
\]
1 [См. 4-ю лекџию части II.]

\[
\xi=\frac{\omega l}{a}, \quad b=\frac{C^{\prime}}{C_{0}} .
\]

Предположим сначала, что емкость конденсатора очень велика по сравнению с емкостью всего провода. Взяв достаточно малое значение $b$, можно в первом приближении заменить $\operatorname{tg} \xi$ через $\xi$, что приводит к уравнению
\[
\frac{\omega^{2} l^{2}}{a^{2}}=\frac{C^{\prime}}{C_{0}} .
\]

Вспомним, что
\[
a^{2}=\frac{c^{2}}{C L},
\]

где $c$ – скорость распространения в вакууме. Следовательно,
\[
\omega^{2}=\frac{c^{2} C^{\prime}}{C L C_{0} l^{2}},
\]

или
\[
\omega^{2}=\frac{c^{2}}{L^{\prime} C_{0}},
\]

где $L^{\prime}=L l$ – самоиндукция всего провода. Это не что иное, как формула Томсона.

Уравнение (16) для частоты имеет бесконечно много корней. Мы показали, что частоту основного колебания при достаточно малом значении отношения $C^{\prime} / C_{0}$ можно вычислить по формуле Томсона. Мы пришли к обоснованию этой формулы для случая, когда емкость проводов мала по сравнению с емкостью конденсатора.

Очень часто отношение $C^{\prime} / C_{0}$ мало, но желательно учесть его в первом порядке, т. е. провести вычисление со следующей степенью точности. Взяв два члена разложения $\operatorname{tg} \xi$ в ряд по степеням $\xi$, получаем:
\[
\frac{\omega l}{a}\left(\frac{(\omega)}{a}+\frac{\omega^{3} l^{3}}{3 a^{3}}\right)=\frac{C^{\prime}}{C_{0}} .
\]

Первый член в скобке-малая величина, второй-еще меньшая. Не обосновывая этот прием, подставим во второй член то значение $\omega$, которое мы нашли из нулевого приближения. Мы получим тогда:
\[
\frac{\omega^{2} l^{2}}{a^{2}}\left(1+\frac{C^{\prime}}{3 C_{0}}\right)=\frac{C^{\prime}}{C_{0}},
\]

откуда
\[
\frac{\omega^{2} l^{2}}{a^{2}}=\frac{C^{\prime}}{C_{0}+\frac{C^{\prime}}{3}} .
\]

Таким образом, в следующем приближении емкость проводов учитывается тем, что к емкости конденсатора прибавляется одна треть общей емкости проводов. Эту поправку часто приходится принимать во внимание на практике.

Почему в (18) входит не вся емкость проводов, а лишь некоторая ее часть? Напряжение распределено по проводам неравномерно (рис. 160), емкость провода „работает“ не полностью и напряжение на проводе меньше, чем на конденсаторе. В выражение потенциальной энергии через напряжение на конденсаторе войдет поэтому только часть емкости провода:
\[
U=\left(C_{0}+\alpha C^{\prime}\right) \frac{V^{2}}{2}, \quad \alpha<1 .
\]

Рассмотрим теперь общую картину. Напишем:
\[
\eta=\frac{C_{0}}{C^{\prime}} \xi, \quad \zeta=\operatorname{ctg} \xi .
\]

Тогда трансуендентное уравнение (17) принимает вид
\[
n=\xi \text {. }
\]

Начертим графики функций $\eta$ и $\xi$ и рассмотрим их точки пересечения (рис. 161). Их абсџиссы дадут искомые значения 弓. Если мы рассматриваем задачу при различных емкостях $C_{0}$, то луч, изображающий функџию $\eta(\xi)$, поворачивается. Все ветви кривой $\zeta(\xi)$ пересекаются лучом. Отсюда видно, что существует бесконечное множество собственных значений.

Пусть $C_{0}=0$. Тогда точки пересечения лежат на оси абсџисс, и в них
\[
\frac{\omega l}{a}=\frac{\pi}{2}, \quad \frac{3 \pi}{2}, \quad \frac{5 \pi}{2}, \ldots
\]

Это как раз те значения $\omega$, которые соответствуют, как мы уже знаем, одному заземленному и одному открытому концу.

По мере увеличения $C_{0}$ точки пересечения передвигаются влево. При $C_{0}$ очень большом мы получаем один корень вблизи $\xi=0$. Әто и есть тот корень, который мы нашли в первом приближении.

При $C_{0} \rightarrow \infty$ наименьшая частота стремится к нулю, остальные частоты тоже уменьшаются, но стремятся к конечным пределам, определяемым из равенств
\[
\frac{(1) l}{\alpha}=\pi, 2 \pi, 3 \pi, \ldots,
\]
т. е. к частотам антенны, заземленной на обоих конџах.

Итак, при увеличении емкости все „тоны“ понижаются. Основной тон становится как угодно низким. Однако обертоны остаются
Рис. 161.

высокими. Этим объясняется, почему при больших $C_{0}$ можно пользоваться формулой Томсона: обертоны лежат очень далеко от основного тона; они быстро затухают и часто могут нас не интересовать.

Другой важный случай – провод с индуктивностью на конде (рис. 162). Если писать уравнение не для тока, как әто делалось до сих пор, а для напряжения, то краевые условия здесь будут иметь вид:
\[
\varphi(0)=0, \quad \frac{\partial \varphi(l)}{\partial x}=-\frac{L}{L_{0}} \varphi(l) .
\]

Получаются такие же граничные условия, как в задаче о токе в том случае, когда левый конед разомкнут, а правый замкнут на емкость.

Если левый конеџ разомкнут, а правый попрежнему замкнут на индуктивность (рис. 163), то задача о напряжении совпадает с задачей о токе в том случае, когда левый конеџ замкнут накоротко, а правый замкнут на емкость (рис. 160). Здесь, если $L_{0}$ очень велика, мы также получим приближенно для наинизшей частоты формулу Томсона.

Случаи, когда на одном конце включена индуктивность, а на другом – емкость (рис. 164), несколько более сложны; под краевые условия задачи Штурма-Лиувилля они не подходят. Для нагруженной системы частоты собственных колебаний не относятся друг к другу как целые числа. Общее решение есть сумма таких колебаний, т. е.
Рис. 162.

сумма синусоидальных колебаний, периоды которых находятся в несоизмеримом соотношении. Таким образом, решение не есть
Рис. 163.
Рис. 164.

периодическая функция. Это функция почти-периодическая ${ }^{1}$ Из того, что нагруженная антенна имеет, вообще говоря, почти-периодические собственные колебания и что так же обстоит дело вобщем случае неоднородной распределенной системы, видно, насколько велико значение почти-периодических функџий.