Циклические координаты. Решение уравнений для линейной системы с двумя степенями свободы (без трения). Нормальные колебания, их частоты и распределения. Нормальные координаты. Нормальные частоты как экстремумы отношения двух квадратичных форм. Раяделение системы на парциальные системы
Вообще говоря, интегрирование системы уравнений
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{i}}=-\frac{\partial U}{\partial q_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

описывающих движение системы с $n$ степенями свободы недоступно. Но мы рассматриваем движение системы с $n$ степенями
свободы, находящейся вблизи устойчивого состояния равновесия. При этом дифференџиальные уравнения приобретают сравнительно простой вид:
\[
\sum_{k}\left(b_{i k} \ddot{q}_{k}+a_{i k} q_{k}\right)=0 \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Это – система $n$ линейных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Такая система легко интегрируется (по крайней мере в обшем виде).

Теперь предпочитают работать с индексами. Для сложных систем это гораздо нагляднее. Но для случая системы с двумя степенями свободы мы воспользовались такими обозначениями:
\[
\begin{array}{l}
a_{11}=a, \quad a_{12}=h, \quad a_{22}=b, \\
b_{11}=A, \quad b_{12}=H, \quad b_{22}=B,
\end{array}
\]
т. е.
\[
\left.\begin{array}{l}
2 T=A \dot{x}^{2}+2 H \dot{x} \dot{y}+B \dot{y}^{2} \\
2 U=a x^{2}+2 h x y+b y^{2}
\end{array}\right\}
\]

Дифференуиальные уравнения (1) записываются при этом так:
\[
\left.\begin{array}{l}
A \ddot{x}+H \dot{y}+a x+h y=0, \\
H \ddot{x}+B \ddot{y}+h x+b y=0 .
\end{array}\right\}
\]

Рассмотрим тот частный случай, когда одна из координат (скажем, y) не входит в выражение потенциальной энергии (этот случай часто встречается на практике). Тогда
\[
h=0, \quad b=0 .
\]

Координата, не входяџая в выражение потенџиальной энергии, носит название циклической.
Если $y$ – џиклическая координата, имеем:
\[
\begin{array}{c}
H \ddot{x}+B \ddot{y}=0, \\
\left(A-\frac{H^{2}}{B}\right) \ddot{x}+a x=0 .
\end{array}
\]

Для координаты $x$ получается такое же уравнение второго порядка, как для системы с одной степенью свободы. Суџествуют, таким образом, случаи двух степеней свободы, которые сводятся на одну степень свободы.

Такова, например, система рис. 97. В электрическую энергию входит только $q_{1}$, а в магнитную энергию, конечно, входит и $\dot{q}_{1}$ и $\dot{q}_{2}$. Соответствуюая механическая задача: имеется вал с двумя дисками (рис. 98). Этот пример мы уже рассматривали ${ }^{1}$. Так можно идеализировать вал с пропеллером и мотором. Введя в качестве координат углы поворота маховика и пропеллера, мы можем свести здесь задачу на случай одной степени свободы.
Рис. 97.
Рис. 98.
Если имеется $n$ степеней свободы и $m$ циклических координат, задача приводится к $n-m$ степеням свободы.
Вернемся к уравнениям (3).
Существует решение вида
\[
\begin{array}{l}
x=C \cos (\omega t+\alpha), \\
y=k C \cos (\omega t+\alpha) .
\end{array}
\]

Эти выражения удовлетворяют уравнениям (2), если $\omega$ и $k$ удовлетворяют алгебраическим уравнениям:
\[
\left.\begin{array}{l}
-(A+H k) \omega^{2}+a+h k=0 ; \\
-(H+B k) \omega^{2}+h+b k=0 .
\end{array}\right\}
\]

Требуется определить из них $\omega$ и $k$.
Можно задать $\omega$ или $k$ и рассматривать уравнения (4) как уравнения с одной неизвестной ( $k$ или $\omega$ ). В общем случае детерминант этих уравнений не равен нулю и они не имеют решения.

Если подобрать ж так, чтобы детерминант уравнений для неизвестной $k$ равнялся нулю, т. е.
\[
\left|\begin{array}{ll}
\omega^{2} A-a & \omega^{2} H-h \\
\omega^{2} H-h & \omega^{2} B-b
\end{array}\right|=0,
\]

то они имеют определенное решение.
1 [См. 7-ю лекџию.]

Уравнение (5) – квадратное относительно $\omega^{2}$. Квадратное уравнение может иметь разнообразные корни. Если равновесие устойчивое, то потенџиальная энергия имеет минимум при $x=y=0$. Значит, квадратичные формы (2) положительны при любых $x, y$ и $\dot{x}, \dot{y}$ ( $T$ всегда положительна). Математика доказывает, что при этих условиях оба корня уравнения (5) действительны и положительны.

Каждому значению $\omega$ соответствует свое значение $k$. Мы имеем два (положительные) значения $\omega\left(\omega=\omega_{1}, \omega=\omega_{2}\right.$ ) и два значения $k\left(k=k_{1}, k=k_{2}\right)$, т. е. имеем, таким образом, два частных решения системы (3):

и
\[
\begin{array}{l}
x=C_{1} \cos \left(\omega_{1} t+\alpha_{1}\right), \\
y=k_{1} C_{1} \cos \left(\omega_{1} t+\alpha_{1}\right)
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{c}
x=C_{2} \cos \left(\omega_{2} t+\alpha_{2}\right), \\
y=k_{2} C_{2} \cos \left(\omega_{2} t+\alpha_{2}\right) .
\end{array}
\]

Сумма их
\[
\left.\begin{array}{l}
x=C_{1} \cos \left(\omega_{1} t+\alpha_{1}\right)+C_{2} \cos \left(\omega_{2} t+\alpha_{2}\right), \\
y=k_{1} C_{1} \cos \left(\omega_{1} t+\alpha_{1}\right)+k_{2} C_{2} \cos \left(\omega_{2} t+\alpha_{2}\right) .
\end{array}\right\}
\]

тоже будет решением при любых значениях $C_{1}, C_{2}, \alpha_{1}, \alpha_{2}$.
Смысл этого решения такой: если вывести систему с двумя степенями свободы из состояния равновесия, то каждая координата выразится, как функџия времени, в виде суммы двух синусоидальных колебаний. Частоты $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ получаются из секулярного, или векового, или характеристического уравнения (5). Амплитуда каждой координаты в первом колебании произвольна. Но если выбрана амплитуда первой координаты $C_{1}$, то амплитуда первого колебания во второй координате не произвольна, а задается системой. То же самое имеет место для второго колебания.

Системфй задаются величины $\omega_{1}, \omega_{2}, k_{1}$ и $k_{2}$. Величины $k_{1}$ и $k_{2}$ характеризуют распределение колебаний. Распределения, как и частоты, зддаются параметрами системы. Абсолютные амплитуды в одной из координат, а также фазы, произвольны. Они задаются начальными условиями. (Заметим, что механика и электродинамика сами по себе не говорят, каково движение системы. Они учат, как движется система, если заданы начальные услозия.) Пусть при $t=0$
\[
x=x_{0}, y=y_{0}, \dot{x}=\dot{x}_{0}, \dot{y}=\dot{y}_{0} .
\]

$245^{\circ}$
Если заданы эти четыре величины, то мы знаем, как система будет себя вести дальше. Из начальных условий (7) определяются $C_{1}, C_{2}, \alpha_{1}, \alpha_{2}$. Этим вся задача однозначно определена. В технике отыскание собственных частот часто является жизненным вопровсом.

Пусть вагон (его можно схематизировать так, как показано на рис. 90) движется с определенной скоростью. Он получает удары на стыках рельс. Здесь может возникнуть резонанс (как и в системе с одной степенью свободы): если частота ударов равна $\omega_{1}$ или $\omega_{2}$, вагон очень сильно раскачивается ${ }^{1}$. У спальных вагонов плавный ход связан, между прочим, с тем, что они имеют длинные периоды собственных колебаний. В машинах резонанс может приводить к разрушениям, в электрических системах к перенапряжениям и пробоям. Чтобы этого не было, надо избегать того, чтобы внешняя сила попадала в такт с $\omega_{1}$ или $\omega_{2}$.

Вернемся к (6). Движение каждой координаты – не синусообразное. То, что его можно представить в виде суммы двух синусообразных колебаний (с постоянной амплитудой), имеет существенное значение. Дело в том, что очень часто система рассматриваемого здесь вида действует в качестве источника силы на другую линейную систему. Тогда, как мы знаем, именно такое представление целесообразно ${ }^{2}$.

Вопрос о том, какими координатами характеризовать систему, не решается однозначно. Это вопрос вкуса и удобства.

Заданием $x$ и $y$ или $\xi$ и 0 мы вполне определяем конфигураџию системы (рис. 90). Между теми и другими координатами имеются определенные соотношения, а именно:
\[
x_{1} \equiv x=\xi-l_{1} \theta, \quad x_{2} \equiv y=\xi+l_{2} \theta .
\]

Получим ли мы те же самые величины $\omega_{1}, \omega_{2}, k_{1}$ и $k_{2}$, если воспользуемся другими координатами? Частоты колебаний получаются теми же самыми ( $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ инвариантны). Но распределение будет зависеть от выбора координат.

Если мы перейдем к другим координатам, то может оказаться, в частности, $H=0$ или $h=0$. Это было очень ясно на примере, который разбирался в прошлый раз. Но можно ли подобрать координаты так, чтобы и $h$ и $H$ обратились в нули? Если это
1 [См. 26-ю лекџию.]
2 [См. 16-ю лекџию.]

удастся, то получатся чрезвычайно простые уравнения: система распадается на две системы, описываемые уравнениями вида
\[
\left.\begin{array}{l}
A_{1} \ddot{\xi}+a_{1} \xi=0, \\
A_{2} \ddot{n}+a_{2} n=0 .
\end{array}\right\}
\]

Частоты здесь находятся сразу:
\[
\omega_{1}^{2}=\frac{a_{1}}{A_{1}}, \quad \omega_{2}^{2}=\frac{a_{2}}{A_{2}} ;
\]
$k_{1}$ и $k_{2}$ также находятся сразу, так как здесь
\[
\xi=C_{1} \cos \left(\omega_{1} t+\alpha_{1}\right), \quad n=C_{2} \cos \left(\omega_{2} t+\alpha_{2}\right) .
\]

Величины $k_{1}$ и $k_{2}$ показывают, в каком отношении находятся амплитуды одного и того же колебания в одной и другой координате. В данном случае $k_{1}=0, k_{2}=\infty$.

Оказывается, что такие координаты подобрать можно. Если решить исходную задачу о нахождении $\omega_{1}^{2}, \omega_{2}^{2}, k_{1}, k_{2}$ и связать новые координаты с исходными соотношениями:
\[
\left.\begin{array}{l}
x=\xi+n \\
y=k_{1}^{\xi}+k_{2} n
\end{array}\right\}
\]

то для потенџиальной и кинетической энергии получатся выражения, в которых произведения отсутствуют:
\[
\left.\begin{array}{l}
2 U=a_{1} \xi^{2}+\alpha_{2} \eta^{2}, \\
2 T=A_{1} \dot{\xi}^{2}+A_{2} \dot{z}_{i}{ }^{2}
\end{array}\right\}
\]

Отсюда сразу следует (8) и (9), причем частоты инвариантны по отношению к преобразованию (11).

Тривиальный случай, когда $k_{1}=0, k_{2}=\infty$, это-случай двух не связанных маятников. Для всех рассматриваемых систем с двумя степенями свободы, как бы они ни были сложны, всегда можно подобрать такие координаты, при которых задача приводится к этому тривиальному случаю. Такие координаты называются нормальными координатами. Однако, чтобы подобрать нормальные координаты, нужно сначала решить задачу, выраженную уравнениями (4) и (5). Таким образом, в вычислительном смысле существование нормальных координат не дает облегчения.

Подойдем к вопросу с другой стороны.
Пусть
\[
\omega^{2}=\frac{a x^{2}+2 h x y+b y^{2}}{A x^{2}+2 H x y+B y^{2}}
\]
(мы образуем такую дробь и обозначаем ее $\omega^{2}$ ). Зададимся „странным\” вопросом: при каких значениях $x$ и $y$ эта дробь получает максимальное значение и при каких значениях $x$ и $y$-минимальное? (Здесь важны не сами $x$ и $y$, а отношение $x / y$ ). Введем нормальные координаты $\xi, \eta$. Тогда
\[
\omega^{2}=\frac{a_{1} \xi^{2}+a_{2} \eta^{2}}{A_{2} \xi^{2}+A_{2} \gamma^{2}} .
\]

Если при $x=x_{1} y=y_{1}$ выражение (14) имеет максимум, то при соответствующих $\xi=\xi_{1}, n=n_{1}$ выражение (14) тоже имеет максимум. При введении нормальных координат задача упрощается.
Пусть
\[
\frac{a_{1}}{A_{2}}>\frac{a_{2}}{A_{2}} .
\]

Если $\xi$ и $\eta$ оба отличны от нуля, то можно написать:
\[
\omega^{2}=\frac{a_{1}+b_{1}}{A_{1}+B_{1}},
\]

где
\[
b_{1}=a_{2}\left(\frac{\xi}{\eta}\right)^{2}, \quad B_{1}=A_{2}\left(\frac{\xi}{\eta}\right)^{2} .
\]

Не трудно видеть, что значение дроби (16) заключено между $a_{1} / A_{1}$ и $b_{1} / B_{1}$. В самом деле, пусть
\[
a_{1}=A_{1} l ;
\]

тогда вследствие (15)
\[
b_{1}<B_{1} l
\]

и далее
\[
\frac{a_{1}+b_{1}}{A_{1}+B_{1}}<\frac{A_{1} l+B_{1} l}{A_{1}+B_{1}}=l,
\]
т. е.
\[
\frac{a_{1}+b_{1}}{A_{1}+B_{1}}<\frac{a_{1}}{A_{1}} .
\]

Аналогично найдем:
\[
\frac{a_{1}+b_{1}}{A_{1}+B_{1}}>\frac{a_{2}}{A_{2}} .
\]

Таким образом, мы доказали следующее: какие бы ни были ร, $\eta$, если только они не равны нулю,
\[
\frac{a_{2}}{A_{2}}<\omega^{2}<\frac{a_{1}}{A_{1}} .
\]

Далее, есть такие значения $\zeta$ и и $\eta_{i}$, при которых $\omega^{2}$ принимает значения $a_{1} / A_{1}$ и $a_{2} / A_{2}$. В самом деле, первое значение $\omega^{2}$ принимает при $\xi=0, n
eq 0$, а второе-при $\xi
eq 0, n=0$. Следовательно,
\[
\frac{a_{2}}{A_{2}} \leqslant \omega^{2} \leqslant \frac{a_{1}}{A_{1}} .
\]

Получился интересный результат (нормальные координаты здесь важны для доказательства; сам результат не относится спеџиально к нормальным координатам): максимальное значение выражения (13), т. е. отношения квадратичных форм
\[
\frac{U(x, y)}{T(x, y)},
\]

равно квадрату одной собственной частоты, его минимальное значение – квадрату другой собственной частоты.
Перейдем теперь к другому вопросу.
Я умышленно говорил все время об одной системе с двумя степенями свободы, а не о двух связанных системах, из которых каждая имеет одну степень свободы.

Система с двумя степенями свободы может получиться генетически из сближения двух систем, из которых каждая имела одну степень свободы. Часто система с двумя степенями свободы интересна как результат связи двух систем, каждая из которых имеет одну степень свободы.

Но может возникнуть обратный вопрос: имеется заданная система с двумя степенями свободы. Из каких двух систем с одной степенью свободы она произошла? Этот вопрос напрашивается сам собой. В случае рис. 99, в все просто, но как быть в случае рис. $100, a$ ? Нужно ли считать так, как на рис. 100 , б или так, как на рис. 100, ? ? Да и в случае рис. $99, a$ – только кажущаяся простота; какие две системы связаны здесь между собой, если взаимная индукция осуществляется через железо (рис. 99, б)?

Разделение делого на части не однозначно. То же самое у нас было с рядом Фурье, с помошью которого мы разлагали периодическую функџию на сумму других функџий. В молекулярной физике возникает аналогичный вопрос о том, как твердые тела-кристаллические решетки – разделять на молекулы. Но можно искать џелесообразную точку зрения.

Разделение по „историческому\” признаку, по признаку того, как происходило присоединение частей одних к другим (по тому, как „приносили куски системы из магазина\”), вряд ли џелесообразно. Но есть целесообразное определение.

Каков критерий џелесообразности определения? То, что, пользуясь им, мокно установить закономерность. В данном случае целесообразно такое разделение системы, при котором можно установить закономерную связь между свойствами полной системы и свойствами парџиаль-
Рис. 99.
Рис. 100.

ных систем (ее частей). Разные разделения знаконны, но все, кроме одного, ни к чему не ведут, так как не приводят к закономерностям. Во всяком случае я могу сказать, что знаю только одно определение, которое является целесообразным. Вот оно.

Пусть даны выражения $T$ и $U$. Положим одну координату равной нулю. Мы получим систему с одной степенью свободы. Положим теперь другую координату равной нулю. Мы получим другую систему с одной степенью свободы. Связь между өтими двумя парџиальными системами дает нам исходную систему. Наша исходная система получается в результате связи этих двух систем.

Что значит положить $x=0$ ? Это значит, что мы закрепили один маятник (рис. 92,б) или разорвали один провод (рис. 99,б). Железо при этом должно остаться.

Разделение на парџиальные системы зависит от тех координат, из которых мы исходим. Если в качестве координат выбраны $q_{3}$ и $q_{2}$ (рис. $100, a$ ), то получатся одни пардиальные системы (рис. 100, б).

Если ввести координаты $q_{1}$ и $q_{3}$ (рис. $100, a$ ), то получатся другие парџиальные системы (рис. 100, в).

При нашем определении период каждой парџиальной системы (рис. 92,б) будет иной, чем у маятника без пружины. Мы просчитаем этот случай в следуюший раз.

Рассмотрим (в общем случае) систему с двумя степенями свободы, как связанную. Тогда пардиальные частоты $n_{1}$ и $n_{2}$ (частоты пардиальных систем) определяются равенствами:
\[
n_{1}^{2}=\frac{a}{A}, \quad n_{2}^{2}=\frac{b}{B} .
\]

Найдем общее соотношение между нормальными и парџиальными частотами.

Отношения $a / A, b / B$ принадлежат к числу значений, принимаемых отношением (13), но не при $\xi=0$ и не при $n=0$. Поэтому
\[
\omega_{1}^{2}>n_{1}^{2}>n_{2}^{2}>\omega_{2}^{2} .
\]

Итак, существует следующая закономерность: собственные частоты отдельных парџиальных систем лежат между частотами связанной системы.

Если определить парџиальные системы иначе, то между нормальными и парџиальными частотами мы получим самые разнообразные соотношения.