Уравнение колебаний маятника с горизонтально и вертикально колеблющейся точкой подвеса. Контур с периодически меняющейся емкостью. Теория линейного дифференциального уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами.
Рассмотрим движение маятника, точка подвеса которого совершает заданное гармоническое колебание относительно инерџиальной системы отсчета $x_{1}, z_{1}$.

Предположим сначала, что точка подвеса колеблется горизонтально (рис. 65). Пусть
\[
x_{0}=a \cos p t
\]

есть координата точки подвеса в системе отсчета $x_{1}, z_{1}$. Напишем уравнение движения в неинерџиальной системе отсчета $x, z$, в которой точка подвеса маятника покоится. Здесь нужно ввести силу инерџии ( $-m \ddot{x}_{0}$ ), направленную по оси $x$, и уравнение движения таково:
\[
I \ddot{\varphi}=-m g l \sin \varphi-m \ddot{x}_{0} \cos \varphi,
\]

где $I$ – момент инердии маятника, $\varphi$ – угол отклонения, $m$ – масса, $l$ – длина, причем
\[
I=m l^{2} \text {. }
\]

При достаточно малых колебаниях можно считать приближенно, что
\[
\sin \varphi=\varphi, \quad \cos \varphi=1,
\]

и уравнение (1) принимает вид
\[
\ddot{\varphi}+\frac{g}{l} \varphi=-\frac{\ddot{x}_{0}}{l}=-\frac{a p^{2}}{l} \cos p t .
\]

Әто-уравнение вынужденных колебаний; маятник движется так же, как под действием заданной синусоидальной внешней силы.
Пусть теперь точка подвеса колеблется вертикально (рис. 66):
\[
z_{0}=a \cos p t
\]

Напишем и для этого случая уравнение движения в неинерџиальной системе отсчета, относительно которой точка подвеса покоится.
Рис. 65.
Рис. 66.

Теперь сила инерџии (-mzon ) направлена по оси $z$, и уравнение движения таково:
\[
I \ddot{\varphi}=-m g l \sin \varphi-m \ddot{z}_{0} \zeta_{Q s}^{n} \varphi,
\]

или приближенно, при малых $\varphi$,
\[
\ddot{\varphi}+\frac{g+\ddot{z}_{0}}{l} \varphi=0 .
\]

Подставляя сюда $z_{0}$, получаем:
\[
\ddot{\varphi}+\frac{1}{l}\left(g-a p^{2} \cos p t\right) \varphi=0 .
\]

Это-уравнение совсем другого типа, чем (2). Система здесь также неавтономна, но нет периодической внешней силы: от времени зависит коэффиџиент при $\varphi$.

Рассмотрим еше один пример: колебательный контур, в котором емкость конденсатора периодически меняется со временем.

Будем считать, что конденсатор плоский и что расстояние $d$ между пластинами меняется синусоидально:
\[
d=d_{0}(1+k \cos p t) .
\]

Емкость равна
\[
C=\frac{S}{4 \pi d},
\]

где $S$-площадь пластин. Заряд на конденсаторе $q$ удовлетворяет, следовательно, уравнению
\[
L \ddot{q}+R \dot{q}+\frac{4 \pi}{S}(1+k \cos p t) q=0 .
\]

Получилось уравнение того же типа, что и (3).
В последнее время физики заинтересовались задачами, приводящими к линейным уравнениям с периодическими коэффиџиентами. Такие задачи встречаются в небесной механике, в машиностроении (электровозы) ${ }^{1}$, в теории твердого тела (вследствие периодичности кристаллической решетки потенџиальная энергия электрона есть периодическая функция координат).

В этой лекции мы познакомимся с математической теорией линейных уравнений с периодическими коэффиџиентами вида
\[
\ddot{x}+p_{1}(t) \dot{x}+p_{2}(t) x=0,
\]

причем $p_{1}(t)$ и $p_{2}(t)$ – периодические функџии периода $\tau$ :
\[
\begin{array}{l}
p_{1}(t+\tau)=p_{1}(t) ; \\
p_{2}(t+\tau)=p_{2}(t) .
\end{array}
\]

Уравнение (3) является частным случаем уравнения вида (4).
Будем считать, что уравнение (4) удовлетворяет условию КошиЛипшиџа и что, следовательно, существует решение, и притом единственное, удовлетворяющее произвольным заданным начальным условиям:
\[
x(0)=x_{0}, \dot{x}(0)=\dot{x}_{0} .
\]

Пусть $x_{1}(t)$ и $x_{2}(t)$ – линейно независимые частные решения уравнения (4). Общее решение может быть представлено в виде их линейной комбинаџии:
\[
x=C_{1} x_{1}+C_{2} x_{2},
\]
1 [См. 19-ую лекџию.]

где $C_{1}$ и $C_{2}$-произвольные постоянные. Необходимым и достаточным условием линейной независимости функџий $x_{1}(t), x_{2}(t)$ является неравенство нулю детерминанта Вронского:
\[
W=\left|\begin{array}{ll}
x_{1} & x_{2} \\
\dot{x}_{1} & \dot{x}_{2}
\end{array}\right| .
\]

Любые два линейно независимые решения уравнения (4) образуют так называемую фундаментальную систему решений.

Рассмотрим частные решения $\varphi(t)$ и $\psi(t)$ уравнения (4), удовлетворяющие следуюшим начальным условиям:
\[
\left.\begin{array}{ll}
\varphi(0)=1, & \psi(0)=0, \\
\dot{\varphi}(0)=0, & \dot{\psi}(0)=1 .
\end{array}\right\}
\]

Согласно известной теореме теории линейных дифференџиальных уравнений
\[
W(t)=W(0) e^{-\int_{0}^{t} p_{1}(\xi) d \xi} .
\]

В данном случае
\[
W(0)=\left|\begin{array}{ll}
\varphi(0) & \psi(0) \\
\dot{\varphi}(0) & \dot{\psi}(0)
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right|=1,
\]

и, следовательно,
\[
W(t)=e^{-\int_{0}^{t} p_{1}(\xi) d \xi}
eq 0 .
\]

Таким образом, решения $\varphi$ и $\psi$ образуют фундаментальную систему.

Докажем теперь, что существует такое решение $x_{1}(t)$ уравнения (4), которое через период воспроизводит себя с точностью до постоянного множителя, т. е. такое, что
\[
x_{1}(t+\tau)=s x_{1}(t),
\]

где $s$ – постоянная. Из (8) следует, что
\[
x_{1}(t+n \tau)=s^{n} x_{1}(t) .
\]

Заметим, что если $\varphi(t)$ и $\psi(t)$ – решения уравнения (4), то в силу периодичности коэффиџиентов этого уравнения $\varphi(t+\tau)$ и $\psi(t+\tau)$

тоже являются решениями. Как и всякое решение, они могут быть выражены линейно через фундаментальную систему $\varphi(t), \psi(\tau)$ :
\[
\left.\begin{array}{l}
\varphi(t+\tau)=a \varphi(t)+b \psi(t) \\
\psi(t+\tau=c \varphi(t)+d \psi(t)
\end{array}\right\}
\]
( $a, b, c, d$ – постоянные), откуда
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{\varphi}(t+\tau)=a \dot{\varphi}(t)+b \dot{\psi}(t), \\
\dot{\psi}(t+\tau)=c \dot{\varphi}(t)+d \dot{\psi}(t) .
\end{array}\right\}
\]

Положив в (9) и (10) $t=0$ и приняв во внимание (5), получаем:
\[
\left.\begin{array}{l}
a=\varphi(\tau), b=\dot{\varphi}(\tau), \\
c=\psi(\tau), d=\dot{\psi}(\tau) .
\end{array}\right\}
\]

Возьмем теперь решение
\[
x(t)=A \varphi(t)+B \psi(t),
\]

где $A, B$ – постоянные. Можно ли их подобрать таким образом, чтобы выполнялось соотношение (8)?
Подставляя (12) в (8), получаем:
\[
A \varphi(t+\tau)+B \psi(t+\tau)=s[A \varphi(t)+B \psi(t)],
\]

откуда, принимая во внимание (9),
\[
[A(a-s)+B c] \varphi+[A b+B(d-s)] \psi=0 .
\]

Это равенство должно выполняться тождественно (при любом $t$ ). Так как $\varphi(t)$ и $\psi(t)$ линейно независимы, отсюда следует, что
\[
\left.\begin{array}{l}
A(a-s)+B c=0, \\
A b+B(d-s)=0 .
\end{array}\right\}
\]

Это-система линейных и однородных относительно $A$ и $B$ уравнений. Она имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда
\[
\left|\begin{array}{cc}
a-s & c \\
b & d-s
\end{array}\right|=s^{2}-(a+d) s+\left|\begin{array}{ll}
a & c \\
b & d
\end{array}\right|=0 .
\]

Пусть $s_{1}$ и $s_{2}$-корни уравнения (14). Подставляя их эначения в (13), мы находим из этих уравнений соответствующие значения отношения $A / B$ :
\[
\frac{A}{B}=-\frac{c}{a-s_{1}}, \frac{A}{B}=-\frac{c}{a-s_{2}} .
\]

При таких значениях отношения $A \mid B$ решение (12) удовлетворяет условию (8), т. е. воспроизводит себя через период с точностью до множителя $s_{1}$ или $s_{2}$. Если $s_{1}$ и $s_{2}$ не равны между собой, существует два линейно независимые решения, обладающие свойством (8). Обозначим их через $x_{1}(t)$ и $x_{2}(t)$ :
\[
\begin{array}{l}
x_{1}(t+\tau)=s_{1} x_{1}(t), \\
x_{2}(t+\tau)=s_{2} x_{2}(t) .
\end{array}
\]

Решения $x_{1}(t)$ и $x_{2}(t)$ также образуют фундаментальную систему.
Введем посредством соотношений
\[
s_{1}=e^{\lambda_{1} \tau}, s_{2}=e^{\lambda_{2} \tau}
\]

новые постоянные $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$. Они называются характеристическими показателями. Так как $s_{1}$ и $s_{2}$, вообще говоря, комплексны, то $x_{1}, x_{2}$, а также $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$, вообще говоря, тоже комплексны.
Разложим $s, \lambda$ и $x$ на действительные и мнимые части:
\[
\begin{array}{l}
s=a+i b ; \\
\lambda=\alpha+i \beta ; \\
x=\xi+i n .
\end{array}
\]

Имеем:
\[
s=e^{\alpha \tau} e^{i \beta \zeta}, x(t+\tau)=e^{\alpha \tau} e^{i \beta \tau} x(t) .
\]

Умножение на $e^{\alpha \tau}$ означает увеличение модуля $x$ в $e^{\alpha \tau}$ раз; умножение на $e^{i \beta^{T}}$ означает поворот вектора на комплексной плоскости на угол $\beta \tau$ (рис. 67). Вектор $x(t)$ за время $\tau$ поворачивается на некоторый угол, и если $\alpha>0$ – удлиняется, а если $\alpha<0$ – укорачивается. Если $\alpha=0$, вектор за время $\tau$ поворачивается, но длина его принимает исходное значение.
Но $\alpha=\ln |s| / \tau$, а следовательно:
\[
\begin{array}{ll}
\text { при } \alpha>0 & |s|>1, \\
\text { при } \alpha<0 & |s|<1, \\
\text { при } \alpha=0 & |s|=1 .
\end{array}
\]

На плоскости $a, b$ (рис. $68, a$ ) области внутри окружности $|s|=1$ соответствуют убывающие со временем решения, области вне этой окружности – возрастающие со временем решения, самой окружности – периодические решения. Соответствующие области
на плоскости $\alpha, \beta$ (рис. $68, \sigma$ ): полуплоскость левее оси $\alpha=0$, полуплоскость правее этой оси, сама ось $\alpha=0$.

Вспомним теперь, что $s$ является корнем квадратного уравнения (14). Обозначим в нем:
\[
p=a+d, q=\left|\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right| .
\]

Решения $\varphi$ и $\psi$ действительны, так как коэффиџиенты уравнения (4), а также начальные значения (5) действи-

Рис. 67. тельны. Поэтому $a, b, c, d$, а следовательно, и $p, q$ – действительные постоянные. Необходимое и достаточное условие того, чтобы оба корня $s_{1}$ и $s_{2}$ уравнения (14)
\[
s^{2}-p s+q=0
\]

были по модулю меньше единиџы ( $\left|s_{1}\right|<1,\left|s_{2}\right|<1$ ), таково:
\[
q<1,1+p+q>0,1-p+q>0 .
\]

Корни $s_{1}$ и $s_{2}$ действительны, если

и комплексны, если
\[
p^{2}-4 q \geqslant 0,
\]
\[
p^{2}-4 q<0 \text {. }
\]

Таким образом, на плоскости $p, q$ (рис. 69) случаю $\left|s_{1}\right|<1$, $\left|s_{2}\right|<1$ соответствует область внутри треугольника $(-2,1),(2,1)$, $(-1,0)$, заключенного между прямыми $q=1, \quad 1+p+q=0$, $1-p+q=0$.

В этом случае все решения уравнения (4) затухают к состоянию равновесия $x=0, \dot{x}=0$. В случае, когда хотя бы один из модулей $\left|s_{1}\right|$ или $\left|s_{2}\right|$ больше единиды, существует нарастающее решение – состояние равновесия неустойчиво. Значениям $p$ и $q$, лежашим внутри параболы
\[
4 q=p^{2}
\]
(заштрихованная область), соответствуют комплексные корни, значениям $p$ и $q$ вне заштрихованной области – два действительных корня. Точкам параболы соответствует кратный корень.
Если выполнено условие (8), т. е. если
\[
x(t+\tau)=s x(t)=e^{\lambda \tau} x(t),
\]

то Функџия
\[
\Phi(t)=x(t) e^{-\lambda \tau}
\]

есть периодическая функџия с периодом -. Это легко показать:
\[
\Phi(t-\tau)=e^{-\lambda(t+\tau)} x(t+\tau)=e^{-\lambda t} e^{-\lambda \tau} x(t+\tau)=e^{-\lambda \tau} x(t)=\Phi(t) .
\]

Следовательно, решения $x_{1}(t)$ и $x_{2}(t)$ имеют вид:
Рис. 68.
\[
x_{1}(t)=e^{\lambda_{1} t} \Phi_{1}(t), x_{2}(t)=e^{\lambda_{i} t} \Phi_{2}(t),
\]

Рис. 69.
где $\Phi_{1}(t)$ и $\Phi_{2}(t)$ – периодические функции с периодом $\tau$. Если $s_{1}
eq s_{2}$, то общее решение уравнения (4) будет
\[
x=C_{1} e^{\lambda_{1} t} \Phi_{1}(t)+C_{2} e^{\lambda_{2} t} \Phi_{2}(t) .
\]

Можно показать, что в случае кратного корня $\left(s_{1}=s_{2}\right.$ ) уравнение (4) имеет частное решение вида
\[
\boldsymbol{t e}^{\lambda l} \Phi(t),
\]

и, следовательно, общее решение в этом случае имеет вид
\[
x=C_{1} e^{\lambda t} \Phi(t)+C_{2} t e^{\lambda t} \Phi(t) .
\]