Рассмотрение двухпровдной линии на основе теории Максвела. Статические задачи. Динамические задачи. Волновое уравнение. Условие применимости до-максвелловского рассмотрения. Постановка математической задачи о колебаниях распределенной системы; граничные и начальные условия.
Мы перешли в прошлый раз к вопросу об электрических колебаниях в системе из параллельных проводов.

Мы считаем проводники идеальными. В этом случае внутри проводников
\[
\mathbf{E}=0, \quad \mathbf{H}=0
\]

и, кроме того, на поверхности проводников вектор Е направлен перпендикулярно поверхности, а вектор Н-тангенџиально к ней:
\[
E_{\text {ह }}=0, \quad H_{\perp}=0 .
\]

Мы должны теперь связать с $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$ поверхностные плотности тока и заряда (это почти что вопрос обозначений).

Мы сделаем следующее первое предположение (потом мы его оправдаем). Мы предположим, что $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$ лежат в плоскостях, перпендикулярных к осям проводов. Мы имеем тогда:
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon \oint E_{n} d s=4 \pi e_{1}, \\
\oint H_{s} d s=\frac{4 \pi}{c} I,
\end{array}
\]

где интегралы берутся по замкнутой линии, охватывающей один из проводов; $e_{1}$ есть заряд на единиџу длины этого провода. Уравнение (1) мы можем написать на основании того, что
\[
\varepsilon \int E_{n} d S=4 \pi e_{1},
\]

где [интеграл взят по боковой поверхности џилиндра единичной высоты; так как для него $d S=1 \cdot d s$, то
\[
\int E_{n} d S=\oint E_{n} d s .
\]

Согласно Максвеллу, уравнения (1) и (2) являются, в сущности, определениями тока и заряда. По Максвеллу, все дело в поле, а „сила тока“ и „заряд“-это лишь названия величин:
\[
\frac{c}{4 \pi} \int H_{s} d s, \quad \frac{\varepsilon}{4 \pi} \int E_{n} d s .
\]

Но с нашей точки зрения сила тока и заряд-реальные вещи, в особенности с точки зрения электронной теории.
Энергия в некотором объеме $V$ есть
\[
W=\frac{1}{8 \pi} \int\left(\varepsilon E^{2}+\mu H^{2}\right) d V .
\]

Часто, излагая уравнение Максвелла, ничего не говорят об энергии. Но, по моему мнению, переход от уравнений Максвелла к другим явлениям дается именно этой зависимостью-зависимостью энергии от $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$. Без нее вся теория слепа, так как на опыте мы исследуем электрические явления через неэлектрические (механические, тепловые и т. п.). Переход от одних к другим совершается с помощью выражения энергии.
Рассмотрим случай, когда поле статическое.
Пусть $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$ не зависят от времени, т. е.
\[
\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}=0, \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t}=0 .
\]

В этом случае уравнения (20) предыдущей лекџии распадаются на две группы: одну для Е, другую для Н. Получаются две совершенно независимые задачи: электростатическая и магнитостатическая. Если же поля переменные, то сразу получается связь между электрическими и магнитными величинами.

Основную задачу мы решим сразу, если будут решены обе стаџионарные (статические) задачи.

Вместо электрического поля, связанного с зарядом $e_{1}$, и магнитного поля, связанного с током $I$, мы введем величины:
\[
\mathbf{E}_{0}=\varepsilon \frac{\mathbf{E}}{e_{1}}, \quad \mathbf{H}_{0}=c \frac{\mathbf{H}}{I} .
\]

Мы делаем это для того, чтобы лучше выявить связь между обеими стаџионарными задачами. В переменных $\mathbf{E}_{0}, \mathbf{H}_{0}$ уравнения получают простое написание. Заметим прежде всего, что
\[
\oint E_{0 n} d s=4 \pi, \oint H_{0 s} d s=4 \pi .
\]

Начнем с электростатической задачи. В этой задаче
\[
\operatorname{rot} \mathbf{E}=0, \operatorname{div} \mathbf{E}=0 .
\]

Возьмем сперва хорошо известный случай конџентрического кабеля (рис. 144). (Практически нас больше интересует случай двух параллельных проводов. Он будет подробно разобран на семинаре).
Рис. 144.
Рис. 145.

В кабеле поле радиально, причем, как известно из элементарных курсов,
\[
E=\frac{2 e_{1}}{\varepsilon_{r}} \text {. }
\]

Так как мы рассматриваем электростатический случай, то можно ввести потенџиал
\[
\psi=-\frac{2 e_{1}}{\varepsilon} \ln r
\]

Подсчитаем емкость на единиџу длины кабеля:
\[
C=\frac{e_{1}}{\psi_{1}-\psi_{2}}=\frac{\varepsilon}{2 \ln \left(r_{2} / r_{1}\right)} .
\]

Энергия находится в слое- между металлическими џилиндрами и равна (на единиџу длины)
\[
W=\frac{e_{1}^{2}}{2 C}=\frac{e_{1}^{2}}{\varepsilon} \ln \frac{r_{2}}{r_{1}} .
\]

С этим выражением связана одна очень важная вещь, которая имеет существенное значение и для наших колебательных задач. Попробуем перейти к случаю одного бесконечного заряженного џилиндра. Пусть $r_{2} \rightarrow \infty$. Тогда
\[
C \rightarrow 0, \quad W \rightarrow \infty .
\]

Итак, если мы имеем дело с одним бесконечным проводом, то из задачи о конџентрическом кабеле мы для него ничего не получим,

мы приходим к нелепости. Это означает, что в случае бесконечного провода вторая обкладка никогда не бывает безразлична.

Возьмем для сравнения случай конџентрических шаров с радиусами $r_{1}$ и $r_{2}$ (рис. 145). Здесь
\[
\text { емкость }=\frac{\text { заряд }}{\text { разность потенуилов }}=\frac{r_{1} r_{2}}{r_{2}-r_{1}} \text {. }
\]

Если $r_{2} \rightarrow \infty$, то емкость стремится к $r_{1}$. В этом и только в этом смысле говорят о емкости одного проводника. Это понятие имеет смысл только для проводника, конечного во всех направлениях. Для одного бесконечного цилиндра емкости не существует. Поэтому говорить о емкости на единиџу длины одного бесконечно длинного проводника – абсурд. Если вторая обкладка находится на расстоянии, не очень большом по отношению к длине џилиндрического проводника, ее влияние существенно.

Таким образом, мы должны заранее сказать, что нельзя строить теорию для одного бесконечно длинного провода. Но если у нас $n$ проводов и сумма их зарядов равна нулю, то все эти затруднения отпадают. Мы будем рассматривать именно тот случай, когда
\[
\sum_{i} e_{i}=0
\]
( $e_{i}$-заряд $i$-го провода на единицу длины). Можно считать, что симметричная лехерова система удовлетворяет өтому условию, если $d / l \ll 1$ ( $d$ – расстояние между проводами, $l$-их длина) и если расстояние до земли очень велико. Но если она несимметрична, условие (5) не выполнено. При измерениях с такой лехеровой системой начинаются всякие неприятности, и мы видим теперь, как это связано со всей теорией.

Пусть ось $x$ направлена вдоль проводов (рис. 141). Тогда все величины, входящие в.наши уравнения, не зависят от $x$.
Будем искать функџию $\varphi$, такую, что
\[
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y^{2}}-\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial z^{2}}=0
\]

Потребуем кроме того, чтобы $\varphi$ была постоянна на каждом проводе и чтобы на первом проводе было
\[
\oint \frac{\partial \varphi}{\partial n} d s=4 \pi,
\]

а на втором проводе
\[
\oint \frac{\partial \varphi}{\partial n} d s=-4 \pi .
\]

Если такая функџия найдена, то, взяв
\[
\mathbf{E}_{0}=-\operatorname{grad} \varphi,
\]

мы получим поле $\mathbf{E}_{0}$, удовлетворяющее всем поставленным условиям. В самом деле, так как
\[
E_{0 x}=-\frac{\partial \varphi}{\partial x}
\]

а $\varphi$ от $x$ не зависит, то $\mathbf{E}_{0}$ перпендикулярно оси $x$. Далее, $\operatorname{rot} \mathbf{E}_{0}$ равен нулю, так как $\mathbf{E}_{0}$ есть градиент скаляра; $\operatorname{div} \mathbf{E}_{0}$ равна нулю в силу дифференциального уравнения для $\varphi$. Остается еще условие, что $\mathbf{E}_{0}$ перпендикулярно к проводнику. Но если $\varphi$ на проводнике постоянно, то $\operatorname{grad} \varphi$ перпендикулярен к его поверхности.
Далее
\[
\mathbf{E}=\frac{e_{1}}{\varepsilon} \mathbf{E}_{0}, \quad \mathbf{E}=-\operatorname{grad} \psi
\]

где $\psi$ – обычный потенциал:
\[
\psi=-\frac{e_{1}}{\varepsilon} \varphi
\]

Для статического случая можно определить емкость $C$ на единиџу длины. Определяется она так:
\[
C=\frac{e_{1}}{\psi_{1}-\psi_{2}}=\frac{e_{1}}{\int_{1}^{2} E_{s} d s}=\frac{\varepsilon}{\int_{1}^{2} E_{0 s} d s} .
\]

Мы выразили ее через $\mathbf{E}_{0}$.
Я думаю, что все это известно, и хотел лишь написать, что это имеет место в общем случае.

Менее известна соответствующая магнитная задача. Чем она отличается от өлектрической? Здесь, аналогично (4),
\[
\operatorname{rot} \mathbf{H}_{0}=0, \quad \operatorname{div} \mathbf{H}_{0}=0,
\]

но в отличие от электростатики – и это, на первый взгляд, кажется немного затруднительным – здесь тангенциальные слагающие на проводниках отличны от нуля: на первом проводнике
\[
\oint H_{0 s} d s=4 \pi .
\]

Я утверждаю, однако, что, зная $\varphi$, мы легко найдем $\mathbf{H}_{0}$, положив
\[
H_{0 x}=0, \quad H_{0 y}=-\frac{\partial \varphi}{\partial z}, \quad H_{0 z}=\frac{\partial \varphi}{\partial y} .
\]

В самом деле, при этом
\[
\operatorname{div} \mathbf{H}_{0}=\frac{\partial H_{0 x}}{\partial x}+\frac{\partial H_{0 y}}{\partial y}+\frac{\partial H_{0 z}}{\partial z}=0
\]

и
\[
\operatorname{rot} \mathbf{H}_{0}=0 \text {, }
\]

так как
\[
\begin{aligned}
\operatorname{rot}_{x} \mathbf{H}_{0} & =\frac{\partial H_{0 z}}{\partial y}-\frac{\partial H_{0 y}}{\partial z}=\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial z^{2}}=0, \\
\operatorname{rot}_{y} \mathbf{H}_{0} & =\frac{\partial H_{0 x}}{\partial z}-\frac{\partial H_{0 z}}{\partial x}=0, \\
\operatorname{rot}_{z} \mathbf{H}_{0} & =\frac{\partial H_{0 y}}{\partial x}-\frac{\partial H_{0 x}}{\partial y}=0 .
\end{aligned}
\]

Легко видеть, что $\mathbf{H}_{0}$ удовлетворяет также условиям на поверхности проводников. Заметим, что скалярное произведение ( $\mathbf{E}_{0}, \mathbf{H}_{0}$ ) равно нулю, т. е. $\mathbf{E}_{0} \perp \mathbf{H}_{0}$. Но мы доказали, что $\mathbf{E}_{0}$ перпендикулярно к поверхности проводника. Следовательно, $\mathbf{H}_{0}$ тангенџиально к этой поверхности.

Не трудно далее убедиться, что $\mathbf{E}_{0}$ и $\mathbf{H}_{0}$ по абсолютной величине равны друг другу. На основании (6) и (9) имеем:
\[
H_{0}^{2}=\left(\frac{\dot{\varphi}}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)^{2}=E_{0}^{2} .
\]

Следовательно, если
\[
\oint E_{0 n} d s=4 \pi
\]
(а это условие у нас выполнено), то и
\[
\oint H_{08} d s=4 \pi,
\]
т. е. выполнено условие (8).

В только что решенной нами задаче о стаџионарном токе можно ввести понятие индуктивности на единицу длины, соответственно понятию емкости на единиџу длины в электростатической задаче.
Одно из определений самоиндукџии есть
\[
\int \mu H_{n} d S=\frac{1}{c} L I,
\]

где слева стоит поток магнитной индукџии через контур, по которому течет ток I. Возьмем наш случай. Так как Н пропорџионально $I$, то поток магнитной индукџии, проходящий через поверх-

Рис. 146. ность $A B C D$ (рис. 146), где $A B=C D=1$, мы можем представить в таком виде:
\[
\int H_{x} d S=\frac{L}{c} I \text {, }
\]

где $L$ по определению – индуктивность на единиџу длины.

Заменяя $\mathbf{H}$ через $\mathbf{H}_{0}$, а интеграл по поверхности – интегралом по пути от провода 1 до провода 2, получаем:
\[
\frac{\rho .}{c} \int_{1}^{2} H_{0 n} d s=\frac{L}{c} .
\]

На основании соотношения между $\mathbf{H}_{0}$ и $\mathbf{E}_{0}$ можно написать:
\[
\frac{\mu}{c} \int_{1}^{2} E_{0 s} d s=\frac{L}{c},
\]

откуда
\[
L=\mu \int_{1}^{2} E_{0 s} d s .
\]

Из сравнения (7) и (10) получается:
\[
C L=s .
\]

Это очень важное соотношение. $L$ и $C$ зависят от расположения и формы проводников, но их произведение зависит только от свойств среды, в которой находятся проводники. Для воздуха имеем с большой точностью
\[
C L=1 .
\]

О емкости и индуктивности на единиџу длины здесь можно говорить благодаря тому, что әлектрическое и магнитное поля перпендикулярны оси $x$; поэтому как в электрическом, так и в магнитном поле можно выделить отдельные слои.
До сих пор ток и заряд у нас были постоянны. Пусть теперь
\[
I=I(x, t), \quad e_{1}=e_{1}(x, t) .
\]

Я утверждаю, что картина поля такова: $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$ остаются в плоскостях, перпендикулярных оси $x$ (электрическое и магнитное поля попрежнему не имеют $x$-компонент), и в каждой такой плоскости электрическое и магнитное поле связаны с $e_{1}$ и $I$ так же, как в статическом случае. При этом величины полей не зависят от $x$. До сих пор электростатическая и „токовая“ задачи были независимы. Я утверждаю, что теперь между ними существует определенная связь.
Докажем эти утверждения.
Ясно, что при только что описанной картине с дивергенџиями все остается в порядке, так как попрежнему членов с $\partial / \partial x$ в них не будет, а члены с $\partial / \partial y$ и $\partial / \partial z$ останутся прежними. Посмотрим, как обстоит дело с роторами. Имеем:
\[
c \operatorname{rot} \mathbf{H}=\varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} .
\]

Для произвольных скаляра $\varphi$ и вектора $\mathbf{A}$ имеем:
\[
\operatorname{rot} \varphi \mathbf{A}=\varphi \operatorname{rot} \mathbf{A}+[
abla \varphi, \mathbf{A}]
\]
(эту общую формулу легко вывести). Поэтому
\[
\operatorname{rot} I \mathbf{H}_{0}=I \operatorname{rot} \mathbf{H}_{0}+\left[
abla I, \mathbf{H}_{0}\right] .
\]

Но $\operatorname{rot} \mathbf{H}_{0}=0$, а $
abla I$ имеет только компоненту по оси $x$, равную по величине $\partial I / \partial x$. Векторное произведение $\left[
abla I, \mathbf{H}_{0}\right]$ имеет направление вектора $\mathbf{E}_{0}$ (это ясно из рассмотрения направлений векторов $\mathbf{E}_{0}$ и $\mathbf{H}_{0}$ ) и равно по величине – $\frac{\partial I}{\partial x} \mathbf{E}_{0}$. Следовательно,
\[
c \operatorname{rot} \mathbf{H}=-\frac{\partial I}{\partial x} \mathbf{E}_{0} .
\]

Так как
\[
\varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}=\frac{\partial e_{1} \mathbf{E}_{0}}{\partial t}
\]

и $\mathbf{E}_{0}$ не зависит от $t$, мы можем написать первое уравнение Максвелла в таком виде:
\[
-\frac{\partial I}{\partial x} \mathbf{E}_{0}=\frac{\partial e_{1}}{\partial t} \mathbf{E}_{0} .
\]

Получается следуюший результат: чтобы удовлетворялось первое уравнение Максвелла, должно быть
\[
-\frac{\partial I}{\partial x}=\frac{\partial e_{1}}{\partial t} .
\]

Аналогично доказывается, что второе уравнение Максвелла удо-влетворяется, если
\[
-\frac{\partial e_{1}}{\partial x}=\frac{\varepsilon \mu}{c^{2}} \frac{\partial l}{\partial t} .
\]

Таким образом, мы получим точное, строгое решение нашей полной задачи, если возьмем:
\[
\mathbf{E}=\frac{e_{1}}{\varepsilon} \mathbf{E}_{0}, \mathbf{H}=\frac{I}{c} \mathbf{H}_{0},
\]

где $\mathbf{E}_{0}$ и $\mathbf{H}_{0}$ – решения статических задач для соответствующего $\boldsymbol{x}$, а $e_{1}$ и $I$ удовлетворяют уравнениям (12) и (13). Единственная трудность при решении задачи состоит в том, чтобы найти $\varphi$..

В первую очередь нас интересуют токи. Дифференџируя уравнения (12) и (13) и исключая $e_{1}$, получаем:
\[
\frac{\varepsilon \mu}{c^{2}}-\frac{\partial^{2} I}{\partial t^{2}}=\frac{\partial^{2} I}{\partial x^{2}}
\]

или
\[
a^{2} \frac{\partial^{2} I}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2} I}{\partial t^{2}},
\]

где
\[
a=\frac{c^{\cdot}}{\sqrt{\varepsilon \mu}} .
\]

Для рассмотренного случая мы совершенно строго получили волновое уравнение. Скорость распространения равна $a$. Она не зависит от расстояния между проводниками; чтобы знать скорость распространения волн, не нужно знать в отдельности $L$ и $C$. Но если нужно знать энергию, то необходимо ввести емкость и индуктивность на единиџу длины.
На основании (11) можно переписать уравнения (12) и (13).

в таком виде:
\[
\left.\begin{array}{l}
-\frac{\partial I}{\partial x}=\frac{\partial e_{1}}{\partial t}, \\
-\frac{1}{C} \frac{\partial e_{1}}{\partial x}=\frac{L}{c^{2}} \frac{\partial I}{\partial t} .
\end{array}\right\}
\]

Введем посредством соотношения
\[
e_{1}=C V
\]

ввличину $V$. Тогда уравнения (16) принимают вид
\[
\left.\begin{array}{l}
-\frac{\partial I}{\partial x}=C \frac{\partial V}{\partial t}, \\
-\frac{\partial V}{\partial x}=\frac{L}{c^{2}} \frac{\partial I}{\partial t} .
\end{array}\right\}
\]

Мы пришли к тем же уравнениям, что и в прошлый раз, но тогда способ их получения был явно неправильный. Мы видим теперь, что понятие разности потенџиалов в некотором отношении сохраняет здесь свой смысл.

Как уже говорилось, понятие разности потенџиалов, вообще говоря, неприменимо к переменным полям, потому что в таких полях интеграл $\int_{1}^{2} E_{g} d s$, взятый по различным путям между одними и теми же точками проводов, различен. Но в данном случае можно выделить класс путей такой, что $\int_{1}^{2} E_{8} d s$, взятый по любому из них между двумя любыми точками проводников, имеет одинаковое значение. Это – пути, лежащие в плоскостях, перпендикулярных направлению проводов.

В рассмотренном нами случае можно говорить о емкости и индуктивности на единицу длины, рассматривая энергию отдельных слоев, перпендикулярных направлению проводов. Это имеет смысл лишь потому, что $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$ лежат в плоскостях, перпендикулярных проводам, и в этих плоскостях поля квазистатические. Мы выяснили в итоге, с какими условиями связана возможность простого, до-максвелловского рассмотрения.

Если взять лехерову систему очень больших размеров, то мы имеем право пользоваться в качестве приближения теорией, относящейся к бесконечно длинной системе. Но как быть в случае простой антенны? Изложенная теория почти справедлива для многих практически важных случаев, например для горизонтальной антенны, находящейся на расстоянии от земли, малом по сравнению с ее длиной. Остается вопрос, как обстоит дело в случае антенны в виде так называемого открытого проводника (вибратора)? Этот вопрос требует особого рассмотрения.

Мы убедились, что ряд важнейших физических проблем приводит к одномерному волновому уравнению. Нам нужно теперь заняться исследованием колебаний одномерных распределенных систем. Нам нужно вычитать из этих уравнений ответы на ряд физических вопросов.
Начнем с рассмотрения несколько более сложного уравнения:
\[
\frac{\partial}{\partial x}\left(E q \frac{\partial y}{\partial x}\right)=\rho q \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}},
\]

или, считая, что $q$-константа, и обозначая $E=p(x)$,
\[
\frac{\partial}{\partial x}\left[p(x) \frac{\partial y}{\partial x}\right]=p(x) \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} .
\]

Теория краевых задач и теория интегральных уравнений развивались на этом сравнительно простом примере.
Если $p$ и $\rho$ – постоянны, то, обозначив
\[
a^{2}=\frac{p}{p},
\]

имеем:
\[
a^{2} \frac{t^{2} y}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}
\]

Уравнение системы с одной степенью свободы имеет џелый класс решений, содержащий две произвольные постоянные. Peшения уравнений в частных производных образуют еще гораздо более широкий класс. Чтобы сделать задачу определенной, нужно прежде всего задать краевые условия, вовсе не связанные с данным уравнением. Само уравнение лишь в очень малой степени задает вид решения.

Уравнению с постоянными $p$ и , т. е. уравнению (20), удовлетворяет всякая функџия вида
\[
y=f_{1}(x-a t)+f_{2}(x+a t),
\]

где $f_{1}$ и $f_{2}$-совершенно произвольные функции. Это-чрезвычайно общее решение. Оно почти ничего не говорит о характере проџесса.

Но физика ставит вполне определенные задачи, причем здесь возможны гораздо более разнообразные постановки задач, чем в случае сосредоточенных систем, например, такие:
1. Как побежит удар по бесконечному стержню?
2. Стержень ограничен (нужно указать при этом физические условия на конџах; они могут быть, например, закреплены). Требуется найти колебание, возникающее при заданных начальных условиях.

Разнообразие физических задач, возникающих в случае распределенных систем, сказывается в следующем.
1. В характере объекта; например, в том, каковы условия на конџах стержня; если они закреплены, то
\[
y_{x=0}=0, \quad y_{x=l}=0 \text { при } t \geqslant 0
\]
( $l$ – длина стержня).
2. В начальных условиях; в случае стержня начальные условия состоят в задании распределения отклонения и скорости по всему стержню в начальный момент:
\[
y(x, 0)=f(x), \quad \frac{\partial y(x, 0)}{\partial t}=F(x) .
\]

Здесь $f(x)$ и $F(x)$ – заданные функции.
В случае стержня, закрепленного на конџах, задача ставится так: нужно найти такую функцию $y(x, t)$, которая удовлетворяет:
1) уравнению
\[
\frac{\partial}{\partial x}\left[p(x) \frac{\partial y}{\partial x}\right]=\rho(x) \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}
\]
2) условиям на конџах
\[
y_{x=0}=0, \quad y_{x=l}=0 \quad(t \geqslant 0) ;
\]
3) начальному условию
\[
y(x, 0)=f(x) \quad(0<x<l) ;
\]
4) начальному условию
\[
\frac{\partial y(x, 0)}{\partial t}=F(x) \quad(0<x<l) .
\]

Физическая система определена только тогда, когда, кроме дифферендиального уравнения, заданы условия на конџах. Кроме того, мы должны рассматривать определенный опыт, – он определяется начальными условиями.

Можно ли найти такую функџию $y(x, t)$, которая удовлетворяет условиям (1)-(4)? Оказывается, что можно и что эта функџия-единственная. Если мы нашли какое-то решение, то мы нашли то, что нужно. Это очень облегчает дело. Доказательство единственности решения имеет поэтому очень важное значение.