4.5. Среднее значение и дисперсия процесса на выходе нелинейной системы

Системы с непрерывным временем. Найти решение уравнения Фоккера-Планка часто оказывается невозможным. Но для целей данной книги обычно достаточно знать лишь вектор средних значений и ковариационную матрицу процесса  на выходе системы. К счастью, эти характеристики, в крайнем случае приближенно, могут быть получены из уравнений Фоккера-Планка.

Рассмотрение начнем с нелинейной системы, возбуждаемой винеровским процессом и описываемой уравнением

,               (4.140)

где

                       (4.141)

Как и ранее, введем обозначения

               (4.142)

и запищем уравнение системы в виде

,               (4.143)

где  теперь является винеровским процессом с независимыми приращениями, для которого

.                        (4.144)

В принципе, переходную плотность вероятности процесса можно получить как решение уравнения Фоккера-Планка (4.128) которое при введенных обозначениях записывается следующим образом:

       (4.145)

Практически же решить это уравнение удается лишь в том случае, когда функция  линейна по , а  вообще от  не зависит. Вектор средних значений и ковариационная матрица процесса  определяются путем интегрирования переходной плотности вероятности. Так,

                  (4.146)

или, в несколько иных обозначениях,

.           (4.147)

Аналогично

.        (4.148)

Преобразуем уравнение Фоккера-Планка (4.145) в стохастическое дифференциальное уравнение [имея в виду, что ]. Умножая обе части этого уравнения на   интегрируя по  в пределах от   до , получаем

,                 (4.150)

где интеграл от правой части равенства (4.149) вычислялся по частям при следующих граничных условиях:

для всех  и  при  и . Слагаемые  непосредственно получаем из основного уравнения

.

Для приближенного вычисления величины  разложим функцию  в ряд Тейлора относительно среднего значения  процесса . Ограничившись в разложении слагаемыми второго порядка, запишем

    (4.151)

где

   (4.152)

Для последнего слагаемого в выражении (4.151) удобно использовать также и другое обозначение

,             (4.153)

которое впредь будет использоваться для любой матрицы  и квадратной симметричной матрицы . Подставляя в (4.150) аппроксимирующую функцию (4.151) вместо , получаем приближенное соотношение

,            (4.154)

в котором

.             (4.155)

Из этого соотношения следует, что для вычисления среднего значения процесса  необходимо знать ковариационную матрицу этого процесса. Если система линейна, то  и среднее значение процесса х не зависит от его ковариационной матрицы, как это уже было показано в § 3 5.

Если в разложении функции  ограничиться только линейным членом, т. е. принять аппроксимацию

,                   (4.156)

то стохастическое дифференциальное уравнение для среднего значения процесса  примет вид

.             (4.157)

Его можно записать как «обычное» дифференциальное уравнение

.             (4.158)

Во многих случаях оказывается, что абсолютное значение производной  достаточно мало. Для линейной системы, когда , оно просто равно нулю. В таких случаях последнее уравнение практически будет обеспечивать ту же точность вычисления вектора средних значений, что и ур-ние (4.154).

Получим теперь выражение для ковариационной матрицы (4.155) процесса . Еще раз подчеркнем, что правильные результаты в общем случае могут быть получены лишь при использовании методов стохастического исчисления. Воспользуемся легко проверяемым тождеством

             (4.159)

которое перепишем следующим образом:

         (4.160)

Умножая обе части уравнения Фоккера-Планка (4.149) на эквивалентные выражения матрицы  и интегрируя их по всем возможным значениям , получим следующее точное соотношение:

         (4.161)

К сожалению, решить для общего случая это уравнение не удается. Поэтому снова воспользуемся аппроксимациями функций  и  с помощью рядов Тейлора относительно точки . Ограничиваясь в этих разложениях такими членами, что в ф-ле (4.161) получаются моменты процесса , порядок которых не более двух, и учитывая, что нечетные степени разности  имеют нулевое среднее значение, получим приближенное уравнение

           (4.162)

основывающееся на разложении функций  и . Здесь использовано обозначение ф-лы (4.153). Для того чтобы полностью определить это уравнение для ковариационной матрицы вектора состояния  нелинейной системы, описываемой ур-нием (4.143), необходимо изучить слагаемое . Из ур-ния (4.154) следует, что это слагаемое будет включать члены, содержащие величину  только во второй степени. На основании рассуждений, которые были использованы при выводе соотношения (4.115), можно считать, что  (напомним, что величина  бесконечно мала). Следовательно, слагаемое  можно положить равным нулю. Таким образом, приближенное уравнение для ковариационной матрицы вектора переменных состояния принимает вид

     (4.163)

Разделив обе части этого уравнения на  и положив , получим следующее «обычное» дифференциальное уравнение:

         (4.164)

Часто последнее слагаемое в этом уравнении оказывается малым и его можно опустить; получающееся при этом уравнение по точности сравнимо с ур-нием (4.158).

Таким образом, для нелинейной системы, описываемой дифференциальным уравнением

,          (4.165)

где  — нормальный белый шум с нулевым средним значением и ковариационной матрицей

,          (4.166)

получены две системы приближенных уравнений, позволяющих определить эволюцию вектора средних значений и ковариационной матрицы вектора переменных состояния . При выводе первой системы уравнений использовались приближения

;           (4.167)

,                   (4.168)

при которых

;          (4.169)

         (4.170)

Если же используется аппроксимация с учетом членов разложения второго порядка, т. е.

         (4.171)

        (4.172)

где , то рассматриваемая система приближенных уравнений принимает вид

;           (4.173)

         (4.174)

Для решения систем ур-ний (4.169) и (4.170) или (4.173) и (4.174) необходимо указать начальные условия ,  которые можно рассматривать как априорные среднее значение и ковариационную матрицу вектора переменных состояния . По определению

;            (4.175)

.         (4.176)

Уравнения (4.169) и (4.170), найденные при использовании приближений первого порядка, можно получить также путем линеаризации системы, описываемой дифференциальным ур-нием (4.165). Используя разложения слагаемых в ф-ле (4.165) относительно среднего значения процесса , запишем

           (4.177)

или

,                  (4.178)

где

                 (4.179)

- матричный коэффициент линеаризованной системы, а

          (4.180)

- шум на входе линеаризированной системы, для которого

;

.          (4.181)

Используем теперь полученные ранее соотношения, определяющие эволюцию среднего значения и ковариационной матрицы вектора состояния линейной системы. Такими соотношениями являются ур-ния (3.146) и (3.153):

;            (4.182)

.           (4.183)

Подставляя в эти уравнения выражения для  из (4.179) и  и  из (4.181), приходим к ур-ниям (4.169) и (4.170).

Конечно, ур-ния (4.173) и (4.174), при выводе которых использовались приближения второго порядка, нельзя получить из линейной теории, изложенной в гл. 3. Часто оказывается, что линеаризированные уравнения, или уравнения первого порядка, обеспечивают точность, вполне достаточную для многих приложений. Однако в гл 9 будет показано, что использование линеаризированных уравнений, аналогичных ур-ниям (4.169) и (4.170), в задачах оценивания может привести к расходящимся оценкам Применение нелинейных уравнений, аналогичных ур-ниям (4173) и (4.174), уменьшает или вовсе устраняет эффект расходимости, который обусловлен в основном неточностью модели Такая неточность обычно возникает при выборе уравнения системы либо при выборе параметров начальных условий

Пример 4.5. Вычислим среднее значение и дисперсию процесса  удовлетворяющего уравнению , где  - белый нормальный шум с нулевым средним значением, для которого .

Приближения первого порядка в данном случае приводят к правлениям [ф-лы (4.69) и (4.170)]

.

Решение этой системы при начальных условиях  легко находится и имеет вид .

Подобные среднее значение и дисперсию имеет процесс на выходе линейной системы (интегратора), описываемой уравнением , где  -  белый шум.

Приближения второго порядка для рассматриваемого примера приводят к системе уравнений (см. ф-лы (4.173) и (4.174)]

Снова, если , то решение этой системы имеет вид , т е для рассмотренных начальных условий оба типа приближений приводят к одному и тому же результату В общем случае это не так. На рис 4.1 и рис 4.2 приведены графики среднего значения и дисперсии процесса  для рассмотренных в этом примере двух способов аппроксимации и для различных начальных условий.

Рис 4.1. Среднее значение процесса : 1 — аппроксимация первого порядка , 2 — аппроксимация второго порядка , 3 — оба типа аппроксимации

Дискретные системы. Уравнение Фоккера-Планка нельзя применить формально к исследованию процессов в дискретных системах. Поэтому здесь кратко рассмотрим другой вспомогательный подход. Получим уравнения, описывающие из менения среднего значения ю ковариационной матрицы вектора значения ю ковариационной матрицы вектора переменных состояния , характеризуемого следующей нелине ищи марковской моделью.

,           (4.184)

где  -  белый нормальный шум, для которого

            (4.185)

Рис 4.2 Дисперсия процесса : 1 — аппроксимация первого порядка , 2 — аппроксимация второго порядка , 3 — оба типа аппроксимации

Разложим функции  в ряды Тейлора относительно истинных значений среднего  и дисперсии  так же, как это было сделано при получении соотношений (4.167) и (4.168) или (4.171) и (4.172) Подставляя полученное приближение для  в ур-ние (4.184) и усредняя обе его части, получим уравнение, описывающее (изменение среднего значения вектора состояния . Аналогичным образом получается уравнение для ковариационной матрицы. Для этого вместо  в (4.184) подставляются их приближенные выражения. Преобразования, которые далее необходимо выполнить, полностью совпадают с соответствующими преобразованиями для непрерывного случая и здесь опускаются. Искомые уравнения, основанные на аппроксимации первого порядка, имеют вид

;             (4.186)

.         (4.187)

Аналогичные уравнения, полученные при         использовании аппроксимации второго порядка, записываются следующим образом:

;          (4.188)

    (4.189)

где слагаемое

          (4.190)

получено из

     (4.191)

после применения формулы разложения момента четвертого порядка нормальной случайной величины и учета того факта, что центральные моменты третьего порядка нормальных случайных величин равны нулю.

Часто оказывается возможным пренебречь слагаемым , поскольку оно содержит произведения малых величин типа . Начальными условиями, которые необходимы для решения полученных систем уравнений при аппроксимациях первого и второго порядка, являются априорные среднее значение и ковариационная матрица:

.                   (4.192)

Полезно рассмотреть случай, когда в этих приближенных выражениях частота отсчетов неограниченно увеличивается. Предположим, что справедливы следующие предельные соотношения связывающие свойства белого шума при дискретном и непрерывном времени:

и пусть также

;

.

В этом случае при увеличении частоты отсчетов в ур-ниях (4.186) и (4.187) приходим к ур-ниям (4.169) и (4.170). Аналогичным образом можно показать, что при некоторых условиях ур-ния (4.188) и (4.189) при увеличении частоты отсчетов переходят в ур-ния (4.173) и (4.174), полученные лри аппроксимации второго порядка для непрерывного времени. Здесь важно отметить, что слагаемое  при таком, предельном переходе стремится к нулю.