5.5. Проверка многих гипотез

Результаты, полученные при решении задачи проверни двух гипотез, в этом разделе будут обобщены на случай проверки  гипотез. Как и ранее, в качестве критерия оптимальности здесь будет использован минимум среднего риска. Выражение для среднего риска (5.23) при  гипотезах принимает вид

,          (5.101)

где  -  потери при принятии гипотезы ,  когда на самом деле справедлива гипотеза ; - априорная вероятность гипотезы ;  - плотность вероятности выборки при-ой гипотезе;   -  выборочное пространство при гипотезе ;  -  выборочное пространство.

Повторив рассуждения, проведенные для бинарного случая, можно переписать выражение (5.101) и получить правило выбора одной из  гипотез, основанное на использовании отношения правдоподобия [163]. Согласно этому правилу принимается та гипотеза , для которой справедливо неравенство

              (5.102)

для всех . Рассмотрим здесь более подробно следующий частный случай. Пусть потери при правильных решениях равны нулю, а при ошибочных — одинаковы; предположим также, что все рассматриваемые гипотезы равновероятны. На основании ф-лы (5.102) гипотеза  принимается, если

         (5.103)

для всех . Воспользовавшись формулой Байеса, неравенство (5.103) можно записать следующим образом:

.                  (5.104)

Таким образом, следует вычислить апостериорные вероятности  рассматриваемых гипотез и принять ту гипотезу, апостериорная вероятность которой максимальна.

Можно рассмотреть также задачу проверки  сложных гипотез. В частности, оказывается, что при назначении потерь таким образом, как это было сделано выше, для принятия решения необходимо вычислять интегралы

.             (5.105)

Принимается гипотеза  с таким индексом , для которого интеграл (5.105) оказывается наибольшим.

Пример 5.4. Рассмотрим задачу проверки  следующих гипотез ():

где  -  нормальный шум с нулевым средним значением и дисперсией .  Значение параметра  будем считать известным и положительным, а все рассматриваемые гипотезы равновероятными. Примем также что потери при правильных решениях равны нулю, а при любых неправильных — единице.

После проведения наблюдений будем принимать ту гипотезу , апостериорная вероятность которой при полученной выборке наибольшая. Согласно формуле Байеса

.

Так как  для любой рассматриваемой гипотезы, то отыскание гипотезы, апостериорная вероятность которой максимальна, сводится к отысканию гипотезы  при которой значение плотности

при полученном единственном наблюдении оказывается наибольшим. Здесь  обозначает возможные значения сигнала  . Этот способ принятия решения приводит к выбору гипотезы  с наименьшим значением модуля .  Границы областей принятия отдельных гипотез определяются просто как проекции точек пересечения функций плотности вероятности наблюдаемой величины при этих гипотезах (см. рис. 5.8).

Рис. 5.8 Области принятия отдельных гипотез (пример 5.4)

Значение байесовского риска для этого примера совпадает с вероятностью ошибки и может быть выполнено по формуле

,

Из рис 5.7 следует, что вероятность ошибки определяется выражением

Путем введения новой переменной интегрирования все интегралы этого выражения можно выразить через интеграл от стандартной нормальной плотности вероятности. В результате получим  . Как и следовало ожидать, вероятность ошибки уменьшается с ростом  и уменьшением . Полученные в этом примере соотношения можно без труда обобщить на случай выборки объема .