2.5. Средние значения

В предыдущих разделах рассматривались понятия вероятности, плотности вероятностей и функции распределения вероятностей для одной и более чем одной случайной величины. Мы видели, что вероятности соответствуют относительным частотам появления событий и не удивительно поэтому, что средние значения (математические ожидания) случайных величин или векторов могут быть определены из функции распределения вероятностей случайных величин.

Рассмотрим дискретную случайную величину , которая принимает   возможных значений: .  Если, как и раньше, обозначим через  число случаев появления события  и положим, что общее число событий равно , то найдем среднее значение дискретной случайной величины  в виде

                             (2.101)

Вероятность наступления события  определялась нами из предельного соотношения

                         (2.102)

Объединяя (2.101) и (2.102), получим выражение среднего значения через вероятность наступления событий

                                     (2.103)

При возрастании  число дискретных событий увеличивается и, наконец, для очень больших  можно рассматривать  как непрерывную величину, которая аппроксимирует дискретную величину, принимающую значения  с вероятностью .  Таким образом, (2.103) преобразуется к виду

                               (2.104)

При  сумма в ф-ле (2.104) может быть заменена интегралом, который определяет среднее значение непрерывной случайной величины

                                  (2.105)

Когда распределение дискретное

                       (2.106)

подстановка (2.106) в (2.105) непосредственно приводит к ф-ле (2.103) для среднего значения дискретной случайной величины.

С помощью рассуждений, аналогичных тем, которые использовались при выводе ф-лы (2.105), получим выражение для среднего значения случайного вектора

                         (2.107)

Понятие среднего может быть распространено и на случайный вектор , полученный преобразованием случайного вектора  :

                                                        (2.108)

при помощи основной теоремы о среднем значении

             (2.109)

С помощью этой теоремы можно получить математические ожидания значений степеней случайного вектора. Таким образом, определяют различные статистические моменты. Величина

                              (2.110)

называется -м моментом случайной величины . Первый момент  называется средним значением или математическим ожиданием и обозначается  . Центральные моменты случайной величины определяются как

                               (2.111)

Особенно важными являются среднее значение , среднеквадратическое значение  и дисперсия   случайной величины:

                                    (2.112)

                                 (2.113)

        (2.114)

Эти понятия можно без каких-либо изменений применять и для векторного случая, когда вводятся понятия среднего значения вектора, матрицы среднеквадратических значений и ковариационной матрицы вектора . Эти величины определяются следующим образом:

                                     (2.115)

                                       (2.116)

          (2.117)

где — симметричная матрица размера :

                                       (2.118)

Отсюда следует, что члены главной диагонали ковариационной матрицы представляют собой дисперсию случайных величин, образующих случайный вектор. Можно определить моменты непосредственно из характеристических функций, которые получаются, если положить в (2.108)    так что

                    (2.119)

Тогда

                                              (2.120)

                                             (2.121)

Для скалярной случайной величины  -й момент

                                         (2.122)

Используя приведенные результаты, легко показать, что среднее значение суммы случайных величин равно сумме средних значений слагаемых. Важно отметить, что при этом нет необходимости в специальной оговорке относительно статистической независимости.

В большинстве задач, которые рассматриваются в дальнейшем, появляются случайные величины, зависящие от других случайных величин. Поэтому закончим главу определением моментов случайных величин, зависящих от других случайных величин.

Условное среднее значение случайной величины  , когда зависимая от нее случайная величина приняла определенное значение, равна

               (2.122)

Безусловное среднее значение случайной величины  

.                                             (2.123)

Так как индивидуальная плотность вероятности  , может быть получена из совместной плотности  , то совместная, условная и индивидуальная плотности связаны соотношением   . Тогда можно записать эквивалентное (2.123) выражение в виде

В этом выражении легко выделить условное математическое ожидание (2.122). Таким образом,  получим соотношение между условным и безусловным средними значениями

                   (2.124)

или

                                 (2.125)

где индексация используется для выделения случайной величины, для которой находится среднее. Как правило, мы не будем использовать индексацию моментов распределения, если только это не будет необходимо для ясности.

Условная дисперсия , если задан , будет обозначаться как    или  . Имеем

                          (2.126)

Для условных дисперсий можно получить выражения, аналогичные ф-лам (2.124) и (2.125). Легко показать, что

   (2.127)

где все символы усреднения относятся к  или к , зависящему от . Если теперь рассмотреть усреднение по  в ур-ниях (2.127), то получим:

;

      (2.128)

где введены индексы для дисперсий, чтобы исключить возможную путаницу. Объединив полученные результаты (с 2.127), увидим, что дисперсия случайной величины эквивалентна среднему по  условной дисперсии  плюс дисперсия по  условного математического ожидания . Это утверждение можно записать следующим образом:

                (2.129)

Определяя условную характеристическую функцию

           (2.130)

можно использовать ее для получения различных моментов. В частности, имеем

           (2.131)