7.4. Стационарные процессы и фильтр Винера

Здесь рассмотрим частный случай задачи, разобранный в предыдущем параграфе, и назовем его фильтром Винера. Для простоты ограничимся исследованием только непрерывного случая. Все выкладки, представленные в этом параграфе, являются частным случаем общей теории фильтра Калмана—Винера. Метод вычислений, основанный на алгоритме фильтра Калмама, вообще говоря, ближе к практическому осуществлению, чем метод, рассматриваемый здесь. С другой стороны, многие практически важные задачи оценивания можно отнести, по крайней мере с достаточным приближением, к стационарным, и методы, излагаемые в этом параграфе и разработанные раньше общей теории Калмана, уже нашли успешное применение в многочисленных практических задачах.

В 1949 г. была опубликована работа Винера «Экстраполяция, интерполяция и сглаживание стационарных временных последовательностей». Ее публикация явилась важной вехой не только потому, что результаты были новыми и вызвали к себе повышенный интерес, но и (что более важно) они возводили частную задачу в ранг теории, которая в то время нашла широкое применение, в частности, теории частотных фильтров. К сожалению, из-за того, что основные результаты были сформулированы на «частотном языке», они непосредственно не могли быть обобщены на нестационарные задачи. Хотя нестационарная задача и была сформулирована в общем виде, т. е. записано уравнение Винера—Хопфа, но было получено очень мало практических результатов, за исключением только работ Бутона [31], Заде и Рагазини [287], [288]. До тех пор, пока не был разработан алгоритм фильтра Калмана, вычислительные трудности не были преодолены в общем нестационарном случае.

Стационарный фильтр Калмана. В стационарном варианте общей задачи оценивания состояния должны выполняться следующие три условия:

1. Модели сообщения и наблюдения не изменяются во времени, т. е. они описываются уравнениями с постоянными коэффициентами:

;                  (7.151)

,                    (7.152)

где — матрицы постоянных коэффициентов.

2. Входной шум и шум измерений стационарны, по крайней мере, в широком смысле, т.е.

;            (7.153)

,               (7.154)

где  и   — матрицы постоянных коэффициентов. Кроме того, предполагается, что  и  — некоррелированные белые шумы с нулевым средним.

3. Интервал наблюдений начинается при . Очевидно, что это условие никогда не может выполняться на практике. Однако, поскольку момент начала наблюдений расположен достаточно далеко в прошлом, так что все переходные процессы успевают закончиться, то это допущение можно считать справедливым.

Если эти три допущения выполняются, то, очевидно, задача оценивания уже не зависит от выбора начала отсчета времени в том смысле, что допустимо любое конечное перемещение шкалы времени без изменения условий задачи. Поэтому коэффициент усиления фильтра Калмана должен быть постоянным для конечных значений времени , поскольку не существует причины его изменения между двумя конечными моментами времени . Кроме того, случайный процесс  и, следовательно, процесс  стационарны, так что, а уравнение дисперсии (7.105) записывается в виде

.                 (7.155)

Постоянный коэффициент усиления Калмана в этом случае определяется как

.                                    (7.156)

и, наконец, уравнение фильтрации имеет вид

.                               (7.157)

Заметим, что в стационарном случае уравнение дисперсии превращается в вырожденное матричное уравнение Риккати.

Один из часто используемых способов решения ур-ния (7.155) (обычно с помощью ЦВМ) заключается в решении нестационарного уравнения дисперсии (7.105) с соответствующими постоянными значениями коэффициентов, из которых составлены матрицы  и , и произвольной неотрицательно определенной матрицей начальных условий для  в текущем времени до тех пор, пока полученное решение не достигнет постоянного установившегося значения. Это окончательное значение  принимается за искомое решение ур-ния (7.155). Здесь алгебраическое уравнение преобразуется в дифференциальное, так как алгоритмы решения дифференциальных уравнений на цифровых (или аналоговых) вычислительных машинах, как правило, эффективнее алгоритмов решения нелинейных алгебраических уравнений. Другой подход, который может быть использован для отыскания решения ур-ния (7.155), связан с реализацией на ЦВМ  поисковой процедуры, например, градиентного метода [202].

Пример 7.7. Определим стационарный фильтр, обеспечивающий минимальною дисперсию ошибки, для системы

где  и .

Вырожденное уравнение Риккати (7.155) для этого примера записывается в виде

Если перемножить все указанные матрицы, то получим следующие три уравнения

Решение последнего уравнения относительно  имеет вид . Если выбрать в качестве решения положительный корень этого уравнения, то получим  и соответственно . Для того чтобы  была положительно определенной, необходимо выбрать положительные значения для  и  — так, что в результате имеем

.

Таким образом, мы нашли, как и требовалось, действительные положительно определенные корни вырожденного уравнения Риккати.

Чтобы найти постоянный коэффициент усиления фильтра Калмана , достаточно подставить найденную матрицу  в ур-ние (7.156). В результате получаем

.

На рис. 7.9, а показана «каноническая» реализация фильтра Винера. Если нас интересуют, как это часто бывает, только оценки состояния  или , то могут быть использованы фильтры, реализованные по структурным схемам рис. 7.9б, 7.9в. Эти фильтры могут оказаться проще фильтра, изображенного на рис. 7.9а. Однако фильтр, структурная схема которого представлена на рис. 7.9а, одновременно формирует оценки  и , которые в общем случае не связаны соотношением . Теперь рассмотрим классическую форму решения уравнения фильтра Винера, которое лежит в основе реализации фильтров, изображенных на рис. 7.9, б, 7.9, в.

Рис. 7.9. Структурные схемы фильтров, рассмотренных в примере 7.7

Фильтр Винера. Выше результаты решения стационарной задачи оценивания были получены путем введения дополнительных предположений, связанных со стационарностью задачи и позволивших упростить обобщенный алгоритм фильтрации Калмана. В частности, было установлено, что фильтр Калмана становится стационарным. Теперь сформулируем стационарную задачу оценивания в другой форме, достаточно близкой к первоначальной работе Винера. Сформулируем задачу на «частотном языке» с использованием таких понятий, как передаточные функции, спектральные плотности. На первый взгляд может показаться, что существует лишь незначительная связь между задачами Калмана и Винера. Однако ниже будет показано, что эти две задачи эквивалентны, хотя решение, полученное в форме фильтра Калмана, с точки зрения вычислений часто оказывается предпочтительнее. Задачу можно представить в виде структурной схемы, изображенной на рис 7.10. Сигнал  искажается аддитивным шумом , причем  и  взаимно

Рис. 7.10. Представление многомерной задачи фильтрации Винера.

некоррелированные стационарные случайные процессы с нулевым средним и со спектральными плотностями , . Наблюдение  пропускается через линейный фильтр с постоянными параметрами и передаточной функцией . Сигнал на выходе фильтра обозначен как . Задача состоит в выборе такого фильтра , на выходе которого формировалась бы наилучшая, в смысле минимума дисперсии, оценка исходного сигнала , который получается при действии идеального оператора  на сигнал . Часто под идеальным оператором понимают тождественный (единичный) оператор, поэтому  представляет собой неискаженный сигнал . Короче говоря, необходимо выбрать передаточную функцию фильтра , которая обеспечивала бы минимальное среднеквадратическое значение ошибки (СКО)

.                  (7.158)

где .

Согласно теореме Парсеваля среднеквадратическая ошибка может быть выражена через матрицу спектральных плотностей ошибки :

.                                  (7.159)

Это выражение, которое определяет среднеквадратическую ошибку как интеграл спектральной плотности ошибки, заданной в области комплексных частот, позволяет выполнить вывод уравнения фильтра в частотной области, оперируя лишь со спектральными плотностями. Этот частотный подход позволяет значительно упростить выкладки, но, очевидно, его применение ограничено лишь стационарными задачами.

Спектральная плотность ошибки, которая может быть найдена методами, рассмотренными в § 3.5, равна

.             (7.160)

Подставляя это выражение в ур-ние (7.159), получаем

.            (7.161)

Задача состоит в том, чтобы выбрать матричную передаточную функцию , минимизирующую среднеквадратическую ошибку. Для решения этой задачи представим  как

.                                                        (7.162)

где  — оптимальная передаточная функция,  — произвольная матричная передаточная функция;  — скалярная величина. Передаточная функция оптимального фильтра получается как решение уравнения

.                                                                 (7.163)

при произвольной .

Воспользуемся этим методом для решения сформулированной задачи оценивания. Если считать, что , то среднеквадратическая ошибка выражается следующим образом

(7.164)

Здесь мы ввели два аргумента  и , чтобы подчеркнуть, что СКО зависит как от , так и . Уравнение (7.163) теперь записывается в виде

                                (7.165)

Если воспользоваться свойством симметрии матриц спектральной плотности и тождеством , то ур-ние (7.165) можно записать в виде

.                      (7.166)

Уравнение (7.166) будет удовлетворяться при произвольной , если

.                      (7.167)

Это решение соответствует физически нереализуемому фильтру Винера, поскольку , вообще говоря, имеет полюса в правой полуплоскости комплексной переменной . Напоминаем, что наличие полюсов в правой полуплоскости свидетельствует не о неустойчивости системы, а скорее о физической нереализуемости системы, так как в такой системе отклик опережает воздействие.

Для того чтобы  представляла собой допустимое решение, ,  и  должны быть физически реализуемыми или, другими словами, должны иметь все полюса в левой полуплоскости комплексной переменной . Используя это ограничение на , можно выбрать , которая удовлетворяла бы ур-нию (7.166) и была физически реализуемой.

Допустим, что матрица спектральной плотности  представляет собой спектр, который допускает факторизацию в виде

,                      (7.168)

где  — матрица, для которой  имеет все нули и полюса в левой полуплоскости комплексной переменной . Выполнение этого условия гарантирует, что  и обратная матрица  будут аналитическими функциями в правой полуплоскости комплексной переменной . Процедура нахождения  представляет собой, вообще говоря, трудную вычислительную задачу, которую можно обычно довести до конца только численным методом при помощи достаточно сложных алгоритмов [2]. Уравнение (7.166) теперь можно записать в виде

.                          (7.169)

Представим  в виде двух слагаемых

                              (7.170)

где  объединяет все члены, имеющие полюса в левой полуплоскости, а  — все члены, имеющие полюса в правой полуплоскости.

Матрицу , которую можно также рассматривать как преобразование Лапласа части отклика фильтра, существующей при положительном времени, назовем физически реализуемой частью фильтра и обозначим. При этом полный импульсный отклик фильтра определяется как преобразование Лапласа для величины, стоящей в правой части ур-ния (7.170).

Если подставить ур-ние (7.170) в (7.169), то необходимое условие оптимальности запишется в виде

.        (7.171)

Однако второй интеграл здесь равен нулю, так как все полюса  лежат в правой полуплоскости. Если контур интегрирования заканчивается слева и ни один полюс не расположен внутри контура, то значение интеграла равно нулю, так что ур-ние (7.171) принимает вид

.                            (7.172)

Поэтому оптимальный физически реализуемый фильтр имеет передаточную функцию

,                                                                             (7.173)

которую можно также выразить через исходные величины

.                 (7.174)

Итак, мы получили окончательное решение многомерной стационарной задачи оценивания в форме матричного фильтра Винера. Матричный фильтр Винера как решение многомерной стационарной задачи оценивания был получен Дарлингтоном [49], Янгом и Томасом [279], а также Девисом [51]. Однако этот результат не нашел широкого применения в инженерной практике из-за достаточно трудных проблем вычислительного характера, связанных с необходимостью факторизации спектра, заданного в виде матрицы. Хотя в работах [2], [90], [198] приведены вычислительные процедуры для факторизации спектра, которые основаны на решении матричных уравнений Риккати, широкое использование алгоритмов фильтрации Калмана вытеснило многих сторонников использования матричного фильтра Винера.

В том случае, когда сигнал  и шум  — некоррелированы, оптимальный фильтр имеет передаточную функцию

.                              (7.175)

где

.                             (7.176)

.                                                  (7.177)

В одномерном случае

.                   (7.178)

и, наконец, когда сигнал  и аддитивный шум  некоррелированы, передаточная функция оптимального линейного фильтра имеет вид

.                      (7.179)

Пример 7.8. Рассмотрим простую одномерную задачу. Спектральная плотность сигнала равна . Шум белый со спектральной плотностью , причем сигнал  и шум — некоррелированы. Необходимо оценить сигнал , причем . В рассматриваемом случае

.

Факторизацию спектра легко выполнить, и в результате имеем:

;    .

Отметим, что два полюса, расположенные в начале координат, были разделены так, что один из них был отнесен к правой полуплоскости, а другой — к левой полуплоскости. Используя ур-ние (7.179), получаем:

.

Рассмотрим числитель этого выражения. Разложение на элементарные дроби имеет вид

.

Функция  не имеет существенного значения, так как в нее входит  в первой степени, а нас интересует только та часть разложения на элементарные дроби, которая имеет полюса только в левой полуплоскости. Так как  стоит в числителе , то эта функция должна иметь корни только в правой полуплоскости комплексной переменной .  Следовательно, получаем

.

и передаточная функция оптимального фильтра

.

Минимальная величина дисперсии ошибки вычисляется путем подстановки выражения для  в ф-лу (7.159) и последующего интегрирования по контуру. Эта часть работы значительно облегчается тем, что интегралы вида

.                              (7.180)

где

.                           (7.181)

табулированы для всех значений  [172]. При  значения интегралов  соответственно равны:

                   (7.182)

Однако сведение выражений к табличным интегралам часто требует выполнения громоздких алгебраических преобразований. Если сигнал и шум некоррелированны, то

.                              (7.183)

Анализируя отдельно каждый член, входящий в это выражение, можно заметить, что разложение на множители, которое необходимо для сведения интегралов к табличным, легко выполняется просто разложением на множители спектральных плотностей  и , которые очень часто уже заданы в факторизованном виде.

Полезным свойством этого метода является то, что он сразу дает возможность разделить среднеквадратическую ошибку на составляющую сигнала и составляющую шума. Если соответственно обозначить эти составляющие как  и , то получим

.                           (7.184)

где

;                (7.185)

.                                                         (7.186)

Пример 7.9. Воспользуемся представленным выше методом для определения минимальной величины среднеквадратической ошибки оптимального фильтра, синтезированного в примере 7.8.. Так как сигнал и шум некоррелированны, то воспользуемся упрощенными уравнениями (7.184) — (7.186). Среднеквадратическая ошибка определяется выражением

Это выражение записано в таком виде, который позволяет непосредственно использовать для вычислений табличный интеграл (7.182) с параметрами  и . В результате получаем

.

Согласно выражению (7.186) шумовая составляющая среднеквадратической ошибки

.

И в этом случае воспользуемся табличным интегралом с параметрами: . В результате получаем

Наконец, находим суммарную среднеквадратическую ошибку:

.

Более полное исследование фильтра Винера, в том числе и ряд обобщений основной теории, интересующийся читатель может найти в литературе (см. например, [171], [202], [299*]). Дискретный вариант фильтра Винера подробно изучен в [123].

Соотношение между стационарными фильтрами Калмана и Винера. В предыдущих пунктах этого параграфа были исследованы два различных метода решения стационарной задачи оценивания. Уравнение стационарного фильтра Калмана, или вырожденной формы обобщенного фильтра Калмана, было получено во временной области и выражено через переменные состояния. Уравнение фильтра Винера, напротив, было получено в частотной области и выражено через частотную характеристику. В обоих случаях вывод уравнения базировался на непосредственном использовании методов вариационного исчисления. При неглубоком анализе может показаться, что эти два подхода имеют мало общего. Однако это не так, и существует тесная связь между этими двумя подходами.

Основное отличие между задачами, сформулированными для фильтров Калмана и Винера, состоит в способе задания модели сообщения. При рассмотрении фильтра Калмана модель сообщения задается векторным дифференциальным уравнением первого порядка (7.151), а связанная с ней модель наблюдений — ур-нием (7.152). При рассмотрении фильтра Винера модель сообщения задается через спектральную плотность  сигнала . Очевидно, что эти два подхода эквивалентны, так как можно найти спектральную плотность процесса, который связан с моделью сообщения, используемой при рассмотрении фильтра Калмана, как

.                              (7.187)

Точно также, если задана спектральная плотность сообщения, то можно всегда определить связанные с ней векторные дифференциальные уравнения первого порядка, формирующие процесс с заданной спектральной плотностью. В частности, для скалярного наблюдения можно разложить  на два сомножителя: , где  имеет все полюса и нули в левой полуплоскости, a  имеет все полюса и нули в правой полуплоскости. Если записать  в виде

                      (7.188)

то можно построить модель сообщения с переменной фазой в виде [см. (7.151) и (7.152)]

;    ;                         (7.189)

.

Чтобы установить эквивалентность стационарных фильтров Калмана и Винера, выберем модели сообщения и наблюдений в постановке задачи Калмана и найдем их эквивалентное спектральное представление, которое необходимо при использовании подхода Винера. Затем решим эти две задачи оценивания и сравним полученные результаты.

Предположим, что модели сообщения и наблюдений при решении задачи методом Калмана заданы уравнениями:

.                              (7.190)

.                                   (7.191)

где  и  — белые шумы с нулевым средним значением и ковариациями ; .

Предположим, что система, описываемая ур-нием (7.190), асимптотически устойчива и управляема. Эквивалентная спектральная плотность сигнала  в постановке задачи Винера определяется как

,                           (7.192)

где  — резольвентная матрица;

,                      (7.193)

а спектральная плотность шума  равна

.                                   (7 .194)

Матрица  предполагается положительно определенной, так что она допускает представление

,                                       (7.195)

где  — положительно определенная симметричная матрица. Требование, чтобы матрица  была положительно определенной, физически означает, что в каждом канале наблюдения присутствует шум.

Стационарная задача фильтрации Калмана теперь сформулирована как многомерная задача фильтрации Винера и могут быть применены результаты решения, полученные в предыдущем пункте. На первом этапе матрица спектральной плотности , определяемая как

.         (7.196)

должна быть разложена согласно (7.168). Спектр факторизуется если в качестве  рассматривать матрицу

.                          (7.197)

где

.                                                              (7.198)

и  — положительно определенная симметричная матрица, представляющая собой решение вырожденного матричного уравнения Риккати:

.                              (7.199)

Существование такого решения гарантируется устойчивостью ур-ния (7.190) (см. § 7.5). Приведенное выше разложение спектра может быть проведено непосредственной подстановкой. Произведение  равно

. (7.200)

Так как  определяется ур-нием (7.198)  то ур-ние (7.200) принимает вид

или

.

После исключения членов  и  и подстановки ф-лы (7.199) получим окончательно

.                                (7.201)

Итак, мы показа ли, что  может быть представлена в виде (7.170), причем  определяется из ур-ния (7.197). Остается теперь показать, что все полюса и нули  лежат в левой полуплоскости комплексной переменной . Используя специальное матричное тождество [214], получим

.

Так как  — несингулярная матрица, то  также может быть разложена на множители. В результате получаем

,

так что

.                            (7.202)

Используя теорию линейного регулирования [108] и принцип дуальности, можно показать, что все корни полиномов  и  расположены в левой полуплоскости. Следовательно,  удовлетворяет всем требованиям и может быть выполнена факторизация матрицы .

Если матрицу , определяемую ур-нием (7.197), подставить в ф-лу (7.177), то  будет иметь вид

.         (7.203)

Теперь необходимо выполнить разложение на простые дроби и выделить физически реализуемую часть фильтра . Чтобы получить правильный результат, перепишем , используя ур-ние (7.199), в следующем виде:

.                          (7.204)

Добавляя  к величине, стоящей в круглых скобках, и используя (7.193), ур-ние (7.204) можно записать как

или

.                      (7.205)

Так как  и , то (7.205) можно записать в виде

,

 так что

.                     (7.206)

Если это уравнение теперь подставить в ф-лу (7.203), то передаточная функция  будет иметь вид

.                   (7.207)

Согласно лемме об обращении матриц  можно записать:

,                                                            (7.208)

так что

.   (7.209)

После разложения  на множители, где

.                                    (7.210)

и выполнения ряда алгебраических преобразований  запишется в виде

.                             (7.211)

Используя те же самые доводы, что и при анализе , можно заключить, что  имеет все полюса в правой полуплоскости, a  — в левой. Поэтому передаточную функцию  фильтра можно записать в виде

.                      (7.212)

Если еще раз применить лемму об обращении матриц и использовать ур-ния (7.193) и (7.210), то получим

.

или

.                            (7.213)

Стационарный фильтр Калмана, обеспечивающий решение рассматриваемой задачи, определяется ур-ниями (7.155) —(7.157), причем . Сравнение этих результатов с ур-ниями (7.198) и (7.199) показывает, что  и . Легко показать, что передаточная функция фильтра Калмана определяется ур-нием (7.213), что свидетельствует о полной эквивалентности алгоритмов Калмана и Винера для решения стационарных задач фильтрации.

Вообще говоря, алгоритм Калмана в вычислительном отношении обладает преимуществом перед алгоритмом Винера главным образом благодаря тому, что он лучше приспособлен для вычислений на ЦВМ, особенно при решении многомерных стационарных задач или уравнений высокого порядка, в которых наблюдение является вектором, а также нестационарных задач. С другой стороны, имеется ряд задач, в которых факторизация спектра можжет быть выполнена в общем виде, и это позволяет глубже вникнуть в сущность полученного решения. Методом Винера могут быть также исследованы случаи небелого шума наблюдений, идеальные операции предсказания и задержки, а также учтены ограничения, связанные с насыщением и ограниченной полосой пропускания системы [172], [202]. Заметим, однако, что после того, как найден оптимальный фильтр , для получения требуемой частотной характеристики необходимо еще определить его физически реализуемую часть, а это далеко не всегда простая задача.