Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2.3. Случайные величиныСлучайная
величина
Когда выборочное
пространство для случайного эксперимента состоит из непрерывного, а значит, из
бесконечного множества значений, вероятность получения одного определенного
значения или элемента множества равна нулю. Однако сумма (вероятностей по
бесконечному числу элементов во всем выборочном пространстве должна равняться
единице. В этих случаях удобно определить функцию распределения вероятностей
где
Если
то,
используя ф-лу (2.16), получим, что вероятность события
Если
Предел в ф-ле
(2.19) при
Из определения
Таким образом,
вероятность того, что событие
Некоторые свойства плотностей вероятностей и функций распределения, на которые следует обратить внимание, приведены ниже:
Приведем некоторые
примеры часто используемых непрерывных распределений (ниже во всех случаях Равномерное:
Экспоненциальное:
Импульсное:
Релеевское:
Гауссовское(нормальное):
Здесь
Графики приведенных выше функций даны на рис 2.1. Импульсное распределение показывает, что дискретные распределения могут быть представлены как непрерывные с плотностями в виде дельта-функций. Нормальное распределение является весьма важным, в чем мы сможем убедиться в дальнейшем.
Рис 2.1 Примеры непрерывных распределений вероятности: а)равномерное; б)экспонециальное; в) импульсное; г)релеевское; д)гауссовское Если
имеются две случайные величины
которая
представляет собой вероятность того, что
Определим теперь
событие
тогда вероятность
наступления события
где события
Обе
части ф-лы (2.25) можно разделить на
Переходя
к пределу
Если теперь
определить предел при
Выражение
Это выражение
является другим определением плотности вероятности двух случайных величин.
Вероятность того, что Функцию распределения вероятности можно записать, проинтегрировав выражение (2.31):
Некоторые свойства двумерных плотностей и функций распределения, на которые следует обратить внимание, приведены ниже:
Если имеются
больше чем две случайные величины, система обозначений, которой мы до сих пор
пользовались, становится громоздкой. Гораздо выгоднее использовать векторную
запись. Поэтому удобно определить
где символ
Здесь
Для удобства будем говорить, что один вектор меньше другого, когда каждая составляющая первого меньше соответствующей составляющей второго. Таким образом, следующие записи эквивалентны:
В векторной форме:
где интеграл с
векторными пределами является Часто представляет интерес возможность получения распределения или плотности только одной величины по совместному распределению или плотности. Для двух случайных величин из ф-л (2.33) и (2.34д) следует
Таким образом, индивидуальная плотность вероятности
Для
Так как функция плотности вероятности случайного вектора является функцией совместной плотности, то индивидуальная плотность вероятности может быть представлена в виде
Этот результат
легко распространяется на случай, когда нужно получить совместную плотность
для более чем одной случайной величины из совместной плотности для Во многих
(случаях для определения непрерывных случайных величин нужно знать условные функции
распределения и плотности. Начнем с двух случайных скалярных величин Определим
два события
Тогда согласно
(2.10) вероятность того, что
Используя функции плотностей вероятности, можно это выражение представить в виде
Так как
вероятность того, что
Таким
образом, при
Условная плотность вероятности определяется как производная от условной функции распределения:
Интересно отметить, что это выражение имеет тот же вид, что и (2.48). Точно также можно показать, что
где условная плотность вероятности
Выражения,
подобные (2.51) и (2.53), весьма часто используются при оценке и обнаружении
сигналов. Например, если
или
Из (2.51) следует, что если две случайные величины независимы, то
Объединяя ф-лы
(2.51) и (2.53) так, чтобы исключить
Это выражение аналогично формуле Байеса для дискретных событий (2.15):
Понятия условной плотности остаются справедливыми и для векторного случая, для которого имеем следующие выражения для условных плотностей вероятностей через совместные:
и для индивидуальных плотностей:
Для
двух независимых случайных векторов
Формулу Байеса можно также непосредственно применить к векторному случаю, и она имеет такой же вид, как и (2.57):
Во многих случаях в теории оценивания и ее применении в связи и управлении необходимо вычислить плотность вероятности функции случайных величин. Обратим теперь внимание на эту важную задачу.
|
1 |
Оглавление
|