Главная > Теория оценивания и ее применение в связи и управлении
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2.3. Случайные величины

Случайная величина  представляет собой действительную функцию, значение которой определяется результатом  произвольного эксперимента. Иначе говоря, случайная величина присваивает вещественное значение каждой точке выборочного пространства. В предыдущем разделе мы определяли вероятности конечных совокупностей событий, вычисляя относительную частоту появления каждого события. Для определения плотности вероятности и функции распределения непрерывных случайных величин, определенных на бесконечных множествах событий, используется предельный переход. Важными для дальнейшего изложения будут понятия вероятности по времени и вероятности по ансамблю, которые непосредственно приводят к определению случайного процесса как выборочного пространства, состоящего из событий, являющихся функциями времени. Таким образом, случайный процесс можно представить как совокупность функций времени. В гл. 3 будет дан обзор теории случайных процессов. В этой главе ограничимся только случайными величинами.

Когда выборочное пространство для случайного эксперимента состоит из непрерывного, а значит, из бесконечного множества значений, вероятность получения одного определенного значения или элемента множества равна нулю. Однако сумма (вероятностей по бесконечному числу элементов во всем выборочном пространстве должна равняться единице. В этих случаях удобно определить функцию распределения вероятностей  следующим образом:

                            (2.15)

где  представляет собой вероятность того, что  меньше или равен . Чтобы связать это с полученной ранее дискретной вероятностью, следует лишь отметить, что мы просто определяем событие  как то, что , или, выражаясь более строго, что событие  является совокупностью исходов , принадлежащих выборочному пространству , таких, что , т. е.

 .                     (2.16)

Если  представляет собой событие

,                                               (2.17)

то, используя ф-лу (2.16), получим, что вероятность события

                                              (2.18)

Если , то из предыдущего выражения находим

                             (2.19)

Предел в ф-ле (2.19) при , если он существует, называют функцией плотности вероятности :

          (2.20)

Из определения  согласно (2.18) и события  согласно (2.17) следует, что

.                  (2.21)

Таким образом, вероятность того, что событие  больше , но меньше или равно , равно значению функции плотности вероятности , умноженной на . Из ур-ния (2.20) следует, что функцию распределения вероятностей можно получить интегрированием функции плотности вероятности

.                                (2.22)

Некоторые свойства плотностей вероятностей и функций распределения, на которые следует обратить внимание, приведены ниже:

                                                (2.23а)

                                                   (2.23б)

 для всех             (2.23в)

 для всех                                (2.23г)

                                            (2.23д)

Приведем некоторые примеры часто используемых непрерывных распределений (ниже во всех случаях , ):

Равномерное:

Экспоненциальное:

          

Импульсное:

Релеевское:

Гауссовское(нормальное):

                               

Здесь  - дельта-функция;  - единичная ступенчатая функция, начинающаяся  при ;  - табулированный интеграл

.

Графики приведенных выше функций даны на рис 2.1. Импульсное распределение показывает, что дискретные распределения могут быть представлены как непрерывные с плотностями в виде дельта-функций. Нормальное распределение является весьма важным, в чем мы сможем убедиться в дальнейшем.

Рис 2.1 Примеры непрерывных распределений вероятности: а)равномерное; б)экспонециальное; в) импульсное;  г)релеевское; д)гауссовское

Если имеются две случайные величины  и , можно определить двумерную функцию распределения вероятностей:

,       (2.24)

которая представляет собой вероятность того, что  меньше или равно  и  меньше или равно . Чтобы связать эту функцию с двумерной дискретной функцией распределения вероятностей, следует лишь заметить, как и в одномерном случае, что мы определяем событие , как событие, при котором , ; другими  словами

                              

                                                                 (2.25)

Определим теперь событие  следующим образом:

                 (2.26)

тогда вероятность наступления события

,                  (2.27)

где события  ,, и  определены как

 ;                                    

;                       

;             (2.28)

;                          

Обе части ф-лы (2.25) можно разделить на  и записать через функции распределения:

    (2.29)

Переходя к пределу , получим

.               (2.30)

Если теперь определить предел при , получим следующий важный результат:

.                   (2.31)

Выражение  представляет собой совместную функцию плотности вероятности двух случайных величин. Из определения события  видно, что

         (2.32)

Это выражение является другим определением плотности вероятности двух случайных величин. Вероятность того, что  и  лежат в прямоугольной области, образованной приращениями , равна значению функции плотности вероятности, умноженному на площадь прямоугольника, образованного приращениями.

Функцию распределения вероятности можно записать, проинтегрировав выражение (2.31):

  .                      (2.33)

Некоторые свойства двумерных плотностей и функций распределения, на которые следует обратить внимание, приведены ниже:

                      (2.34а)

                                                                            (2.34б)

          для всех  ;               (2.34в)

         для всех  ;                 (2.34г)

                                                                  (2.34д)

                                                                 (2.34е)

    для всех  и                                         (2.34ж)

                                                        (2.34з)

Если имеются больше чем две случайные величины, система обозначений, которой мы до сих пор пользовались, становится громоздкой. Гораздо выгоднее использовать векторную запись. Поэтому удобно определить -мерный вектор-столбец как

                                                (2.35)

где символ   означает транспонирование. Нам понадобится также приращение -мерного вектора , которое будем определять как

                                              (2.36)

Здесь  является скалярным элементом. Следует быть внимательными и отличать его от дифференциального вектора , который будем определять как

                              (2.37)

Для удобства будем говорить, что один вектор меньше другого, когда каждая составляющая первого меньше соответствующей составляющей второго. Таким образом, следующие записи эквивалентны:

                (2.38)

В векторной форме:

                    (2.39)

                                             (2.40)

                             (2.41)

   (2.42)

где интеграл с векторными пределами является -мерным интегралом. Мы сможем неоднократно убедиться в том, что векторное представление случайных величин значительно проще для их понимания и операций над ними, чем эквивалентное скалярное представление.

Часто представляет интерес возможность получения распределения или плотности только одной величины по совместному распределению или плотности. Для двух случайных величин из ф-л (2.33) и  (2.34д) следует

                      (2.43)

 Таким образом, индивидуальная плотность вероятности

                                     (2.44)

Для   -мерного случая индивидуальная плотность вероятности одной величины    (-й компоненты вектора ) может быть легко выражена, если определить  -мерный вектор    как исходный вектор , в котором исключена  -я компонента, т. е.

                                                                   (2.45)

Так как функция плотности вероятности случайного вектора является функцией совместной плотности, то индивидуальная плотность вероятности может быть представлена в виде

                                               (2.46)

Этот результат легко распространяется на случай, когда нужно получить совместную плотность для более чем одной случайной величины из совместной плотности для  случайных величин.

Во многих (случаях для определения непрерывных случайных величин нужно знать условные функции распределения и плотности. Начнем с двух случайных скалярных величин   и , а затем распространим результат на векторные случайные величины    и  

Определим два события  и  :

   ,             (2.47)

Тогда согласно (2.10) вероятность того, что  больше, чем  ,  но меньше или равен  при условии, что значение    лежит в интервале от    до  ,  равна

                                             (2.48)

Используя функции плотностей вероятности, можно это выражение представить в виде

                       (2.49)

Так как вероятность того, что    при условии, что   уже получена, то теперь нужно получить функцию распределения  при условии, что  задано. Действительно, при  мы должны получить функцию распределения. Однако возникают некоторые трудности, так как знаменатель в правой части (2.49) будет равен нулю почти во всех случаях, когда .  Если положить  , то

Таким образом, при   условная функция распределения вероятности для   при условии    имеет вид

            (2.50)

Условная плотность вероятности определяется как производная от условной функции распределения:

                             (2.51)

Интересно отметить, что это выражение имеет тот же вид, что и (2.48). Точно также можно показать, что

                                             (2.52)

где условная плотность вероятности

                             (2.53)

Выражения, подобные (2.51) и (2.53), весьма часто используются при оценке и обнаружении сигналов. Например, если   представляет собой переданное, а    — принятое сообщение, то условная средняя оценка включает определение  . Поэтому при изложении вопросов обнаружения и оценки сигналов будут широко использоваться условные плотности вероятности. Когда условные плотности или распределения не зависят от случайных величин, две случайные величины независимы, т. е. для независимых случайных величин

                   ( 2.54)

или

                    (2.55)

Из (2.51) следует, что если две случайные величины независимы, то

     (2.56)

Объединяя ф-лы (2.51) и (2.53) так, чтобы исключить  , получим формулу Байеса для плотностей вероятностей

                             (2.57)

Это выражение аналогично формуле Байеса для дискретных событий  (2.15):

Понятия условной плотности остаются справедливыми и для векторного случая, для которого имеем следующие выражения для условных плотностей вероятностей через совместные:

                                         (2.58)

                                         (2.59)

и для индивидуальных плотностей:

                                                     (2.60)

                                                    (2.61)

Для двух независимых случайных векторов    и   имеем:

                      (2.62)

                        (2.63)

         (2.64)

Формулу Байеса можно также непосредственно применить к векторному случаю, и она имеет такой же вид, как и (2.57):

.                                              (2.65)

Во многих случаях в теории оценивания и ее применении в связи и управлении необходимо вычислить плотность вероятности функции случайных величин. Обратим теперь внимание на эту важную задачу.

 

1
Оглавление
email@scask.ru