2.3. Случайные величины

Случайная величина  представляет собой действительную функцию, значение которой определяется результатом  произвольного эксперимента. Иначе говоря, случайная величина присваивает вещественное значение каждой точке выборочного пространства. В предыдущем разделе мы определяли вероятности конечных совокупностей событий, вычисляя относительную частоту появления каждого события. Для определения плотности вероятности и функции распределения непрерывных случайных величин, определенных на бесконечных множествах событий, используется предельный переход. Важными для дальнейшего изложения будут понятия вероятности по времени и вероятности по ансамблю, которые непосредственно приводят к определению случайного процесса как выборочного пространства, состоящего из событий, являющихся функциями времени. Таким образом, случайный процесс можно представить как совокупность функций времени. В гл. 3 будет дан обзор теории случайных процессов. В этой главе ограничимся только случайными величинами.

Когда выборочное пространство для случайного эксперимента состоит из непрерывного, а значит, из бесконечного множества значений, вероятность получения одного определенного значения или элемента множества равна нулю. Однако сумма (вероятностей по бесконечному числу элементов во всем выборочном пространстве должна равняться единице. В этих случаях удобно определить функцию распределения вероятностей  следующим образом:

                            (2.15)

где  представляет собой вероятность того, что  меньше или равен . Чтобы связать это с полученной ранее дискретной вероятностью, следует лишь отметить, что мы просто определяем событие  как то, что , или, выражаясь более строго, что событие  является совокупностью исходов , принадлежащих выборочному пространству , таких, что , т. е.

 .                     (2.16)

Если  представляет собой событие

,                                               (2.17)

то, используя ф-лу (2.16), получим, что вероятность события

                                              (2.18)

Если , то из предыдущего выражения находим

                             (2.19)

Предел в ф-ле (2.19) при , если он существует, называют функцией плотности вероятности :

          (2.20)

Из определения  согласно (2.18) и события  согласно (2.17) следует, что

.                  (2.21)

Таким образом, вероятность того, что событие  больше , но меньше или равно , равно значению функции плотности вероятности , умноженной на . Из ур-ния (2.20) следует, что функцию распределения вероятностей можно получить интегрированием функции плотности вероятности

.                                (2.22)

Некоторые свойства плотностей вероятностей и функций распределения, на которые следует обратить внимание, приведены ниже:

                                                (2.23а)

                                                   (2.23б)

 для всех             (2.23в)

 для всех                                (2.23г)

                                            (2.23д)

Приведем некоторые примеры часто используемых непрерывных распределений (ниже во всех случаях , ):

Равномерное:

Экспоненциальное:

Импульсное:

Релеевское:

Гауссовское(нормальное):

Здесь  - дельта-функция;  - единичная ступенчатая функция, начинающаяся  при ;  - табулированный интеграл

.

Графики приведенных выше функций даны на рис 2.1. Импульсное распределение показывает, что дискретные распределения могут быть представлены как непрерывные с плотностями в виде дельта-функций. Нормальное распределение является весьма важным, в чем мы сможем убедиться в дальнейшем.

Рис 2.1 Примеры непрерывных распределений вероятности: а)равномерное; б)экспонециальное; в) импульсное;  г)релеевское; д)гауссовское

Если имеются две случайные величины  и , можно определить двумерную функцию распределения вероятностей:

,       (2.24)

которая представляет собой вероятность того, что  меньше или равно  и  меньше или равно . Чтобы связать эту функцию с двумерной дискретной функцией распределения вероятностей, следует лишь заметить, как и в одномерном случае, что мы определяем событие , как событие, при котором , ; другими  словами

                                                                 (2.25)

Определим теперь событие  следующим образом:

                 (2.26)

тогда вероятность наступления события

,                  (2.27)

где события  ,, и  определены как

 ;                                    

;                       

;             (2.28)

;                          

Обе части ф-лы (2.25) можно разделить на  и записать через функции распределения:

    (2.29)

Переходя к пределу , получим

.               (2.30)

Если теперь определить предел при , получим следующий важный результат:

.                   (2.31)

Выражение  представляет собой совместную функцию плотности вероятности двух случайных величин. Из определения события  видно, что

         (2.32)

Это выражение является другим определением плотности вероятности двух случайных величин. Вероятность того, что  и  лежат в прямоугольной области, образованной приращениями , равна значению функции плотности вероятности, умноженному на площадь прямоугольника, образованного приращениями.

Функцию распределения вероятности можно записать, проинтегрировав выражение (2.31):

  .                      (2.33)

Некоторые свойства двумерных плотностей и функций распределения, на которые следует обратить внимание, приведены ниже:

                      (2.34а)

                                                                            (2.34б)

          для всех  ;               (2.34в)

         для всех  ;                 (2.34г)

                                                                  (2.34д)

                                                                 (2.34е)

    для всех  и                                         (2.34ж)

                                                        (2.34з)

Если имеются больше чем две случайные величины, система обозначений, которой мы до сих пор пользовались, становится громоздкой. Гораздо выгоднее использовать векторную запись. Поэтому удобно определить -мерный вектор-столбец как

                                                (2.35)

где символ   означает транспонирование. Нам понадобится также приращение -мерного вектора , которое будем определять как

                                              (2.36)

Здесь  является скалярным элементом. Следует быть внимательными и отличать его от дифференциального вектора , который будем определять как

                              (2.37)

Для удобства будем говорить, что один вектор меньше другого, когда каждая составляющая первого меньше соответствующей составляющей второго. Таким образом, следующие записи эквивалентны:

                (2.38)

В векторной форме:

                    (2.39)

                                             (2.40)

                             (2.41)

   (2.42)

где интеграл с векторными пределами является -мерным интегралом. Мы сможем неоднократно убедиться в том, что векторное представление случайных величин значительно проще для их понимания и операций над ними, чем эквивалентное скалярное представление.

Часто представляет интерес возможность получения распределения или плотности только одной величины по совместному распределению или плотности. Для двух случайных величин из ф-л (2.33) и  (2.34д) следует

                      (2.43)

 Таким образом, индивидуальная плотность вероятности

                                     (2.44)

Для   -мерного случая индивидуальная плотность вероятности одной величины    (-й компоненты вектора ) может быть легко выражена, если определить  -мерный вектор    как исходный вектор , в котором исключена  -я компонента, т. е.

                                                                   (2.45)

Так как функция плотности вероятности случайного вектора является функцией совместной плотности, то индивидуальная плотность вероятности может быть представлена в виде

                                               (2.46)

Этот результат легко распространяется на случай, когда нужно получить совместную плотность для более чем одной случайной величины из совместной плотности для  случайных величин.

Во многих (случаях для определения непрерывных случайных величин нужно знать условные функции распределения и плотности. Начнем с двух случайных скалярных величин   и , а затем распространим результат на векторные случайные величины    и  

Определим два события  и  :

   ,             (2.47)

Тогда согласно (2.10) вероятность того, что  больше, чем  ,  но меньше или равен  при условии, что значение    лежит в интервале от    до  ,  равна

                                             (2.48)

Используя функции плотностей вероятности, можно это выражение представить в виде

                       (2.49)

Так как вероятность того, что    при условии, что   уже получена, то теперь нужно получить функцию распределения  при условии, что  задано. Действительно, при  мы должны получить функцию распределения. Однако возникают некоторые трудности, так как знаменатель в правой части (2.49) будет равен нулю почти во всех случаях, когда .  Если положить  , то

Таким образом, при   условная функция распределения вероятности для   при условии    имеет вид

            (2.50)

Условная плотность вероятности определяется как производная от условной функции распределения:

                             (2.51)

Интересно отметить, что это выражение имеет тот же вид, что и (2.48). Точно также можно показать, что

                                             (2.52)

где условная плотность вероятности

                             (2.53)

Выражения, подобные (2.51) и (2.53), весьма часто используются при оценке и обнаружении сигналов. Например, если   представляет собой переданное, а    — принятое сообщение, то условная средняя оценка включает определение  . Поэтому при изложении вопросов обнаружения и оценки сигналов будут широко использоваться условные плотности вероятности. Когда условные плотности или распределения не зависят от случайных величин, две случайные величины независимы, т. е. для независимых случайных величин

                   ( 2.54)

или

                    (2.55)

Из (2.51) следует, что если две случайные величины независимы, то

     (2.56)

Объединяя ф-лы (2.51) и (2.53) так, чтобы исключить  , получим формулу Байеса для плотностей вероятностей

                             (2.57)

Это выражение аналогично формуле Байеса для дискретных событий  (2.15):

Понятия условной плотности остаются справедливыми и для векторного случая, для которого имеем следующие выражения для условных плотностей вероятностей через совместные:

                                         (2.58)

                                         (2.59)

и для индивидуальных плотностей:

                                                     (2.60)

                                                    (2.61)

Для двух независимых случайных векторов    и   имеем:

                      (2.62)

                        (2.63)

         (2.64)

Формулу Байеса можно также непосредственно применить к векторному случаю, и она имеет такой же вид, как и (2.57):

.                                              (2.65)

Во многих случаях в теории оценивания и ее применении в связи и управлении необходимо вычислить плотность вероятности функции случайных величин. Обратим теперь внимание на эту важную задачу.