5. Применение вейвлет-преобразования к модельным сигналам

В этом разделе показаны некоторые возможности вейвлет-преобразования в выявлении различных характерных особенностей сигналов. Вейвлет-преобразование применяется к модельным сигналам, построенным на основе функций с хорошо известными свойствами (см. также [17]).

Для каждого примера приведен график анализируемого ряда. Коэффициенты показаны в виде проекций на плоскость (временной масштаб, время); по оси абсцисс отложено время, по оси ординат — временной масштаб (он линейно растет вниз). Как и на рис. 3б, светлые области соответствуют положительным, а темные — отрицательным значениям оттенками серого цвета в каждой области выделены диапазоны значений Картины линий локальных экстремумов или локальных максимумов представлены в тех же координатах.

Приведенные результаты получены с помощью МНАТ-вейвлета. Вычисления проводились в прямоугольной области значений параметров Ряды данных для этого продлевались; способ дополнения показан на графиках анализируемых функций. На картинах линий локальных максимумов показан треугольник достоверности, или максимальный угол влияния.

5.1. Гармоническая функция

Вейвлет-преобразование применялось к рядам синусоид

Результаты вейвлет-преобразования такой функции легко сравнить с теми, что дает привычное преобразование Фурье. Значения периодов и постоянной анализируемых сигналов приведены в табл. 1. В нее занесены также номер соответствующего рисунка и

номер сигнала. По коэффициентам вейвлет-преобразования должны быть получены масштабы .

Таблица 1. Параметры гармонических функций

Сигнал 1. На рисунке 6а показан сигнал — сумма синусоид с заметно отличающимися частотами (как видно из графика, ряд продолжен средним значением).

На картине значений коэффициентов (рис. 6б) легко различаются многочисленные периодически повторяющиеся детали в верхней части картины (при малых значениях масштаба а), являющиеся результатом резонанса высокочастотной составляющей сигнала с мелкомасштабными вейвлетами; а также три темные и две светлые области на крупных масштабах (положительные и отрицательные значения соответственно), являющиеся результатом сильной корреляции между крупномасштабными вейвлетами и низкочастотной составляющей сигнала, представленной всего двумя с половиной периодами.

Рис. 6. Сигнал 1 (а) и результаты его вейвлет-преобразования: картины коэффициентов (б), линий локальных экстремумов (в) и линий локальных максимумов (г).

На рисунке 6в представлены линии локальных экстремумов; сплошные линии отмечают локальные максимумы, точечные — локальные минимумы. На картине локальных максимумов (рис. 6г) показаны только линии, относящиеся к положительным экстремумам. Обе картины выявляют периодическую структуру анализируемого сигнала и представляют собой масштабно-временной скелет описываемого сигналом процесса. Линии, отмечающие положение локальных экстремумов коэффициентов вейвлет-преобразования, соответствуют экстремумам анализируемой функции — точкам смены знака ее производной.

В дальнейшем будет демонстрироваться лишь один из скелетонов; если линии локальных минимумов не несут смысловой нагрузки и лишь усложняют рисунок, как для сигнала 1, то будет представлена только картина линий локальных максимумов.

Сигнал 2 представляет собой часть сигнала 1. Картина коэффициентов вейвлет-преобразования позволяет говорить о крупномасштабной составляющей в сигнале, даже если на длине сигнала уложился всего один период крупномасштабной составляющей сигнала 1.

Энергетический спектр позволяет в этом простом случае определить даже масштаб крупномасштабной составляющей сигнала, хотя она и представлена всего одним периодом. На рисунке 7 показан спектр энергии напомним, что для МНАТ-вейвлета характерный временной масштаб связан с масштабом вейвлет-преобразования а соотношением Сплошной линией на рисунке показан энергетический спектр сигнала 2, штриховой — сигнала 1. В обоих случаях легко выделяются пики, соответствующие масштабам 5 и 100; мелкомасштабная часть спектра более подробно показана в правом верхнем углу рисунка. С помощью спектров Фурье в обоих случаях удается выявить только высокочастотную составляющую.

Сигналы 3 и 4 представляют собой синусоиды с периодами равными 50 и 25 соответственно На рисунке 8 показаны сигнал 4 и полученные картины коэффициентов

Рис. 7. Энергетические спектры сигналов 1 (штриховая линия) и 2 (сплошная линия); в верхнем углу справа более крупно показана мелкомасштабная часть спектра.

Рис. 8. Сигнал 4 и картины коэффициентов и линий локальных максимумов.

вейвлет-преобразования и линий локальных максимумов. Верхние части картин демонстрируют периодический характер сигнала. Темные и светлые крупномасштабные детали в нижней части картины коэффициентов связаны с граничными эффектами и очень малоинтенсивны; на рисунках это проявляется в том, что эти крупномасштабные области имеют заметно меньше цветовых уровней, чем основные периодические детали (здесь — один цветовой уровень), и волнистые линии локальных экстремумов.

Одинаковая длина линий локальных максимумов (внутри треугольника достоверности) и периодичность их появления указывают на единственную характерную частоту сигнала и постоянство периода. Об этом свидетельствует также своеобразная "штриховая" структура скелетона в нижней части треугольника достоверности; в случае наличия нескольких частот (см. результаты для сигналов 6 и 8) она станет "интерференционной".

Такая своеобразная интерференционная (или штриховая, как для сигнала 4) структура скелета возникает в тех случаях, когда длина ряда оказывается достаточной, чтобы внутри треугольника достоверности реализовались все присущие сигналу масштабы (это выполняется для всех рассмотренных сигналов, кроме первого), и из-за того, что коэффициенты после реализации всех масштабов резко уменьшаются, становятся очень малыми и стремятся к нулю колебательным образом (отсюда и волнистые линии локальных максимумов).

Вычисленные по значениям коэффициентов вейвлет-преобразования сигналов 3 и 4 спектры имеют характерные пики на масштабах 25 и 12,5 соответственно.

Сигналы 5 и 6 представляют собой разные комбинации сигналов 3 и 4: сигнал 5 составлен из последовательно включающихся сигналов 3 и 4, а сигнал 6 представляет собой их сумму. Сигналы 5 и 6 интересны тем, что они неразличимы для преобразования Фурье: легко удостовериться, что их спектры Фурье практически одинаковы. Для вейвлет-преобразования эти сигналы очень разные, см. соответствующие сигналам 5 и 6 картины коэффициентов и линий локальных максимумов на рис. 9а и рис. 96.

Энергетические вейвлет-спектры этих сигналов, как и их спектры Фурье, очень похожи, поскольку получены сверткой по всей длине ряда. Они имеют широкие максимумы, поглощающие оба масштаба. Заметим, что нестационарные свойства сигналов, например, эволюционирующие частоты (масштабы), хорошо выявляются с помощью локализованного спектрального

Рис. 9. Сигналы 5 (а) и 6 (б) — то же, что на рис. 8.

Рис. 10. Сигналы 7 (а) и 8 (б) - то же, что на рис. 8.

анализа, когда при вычислении спектров свертка коэффициентов вейвлет-преобразования ведется не по всей длине ряда, а по его отрезкам.

Сигнал 7. На рисунке 10а представлены результаты для сигнала, отличающегося от сигнала 4 лишь фазовым сдвигом на в середине ряда. Ясно, что спектр Фурье такого сигнала отличается от спектра Фурье сигнала без фазового сдвига наличием дополнительных пиков. Причина в том, что любая деталь сигнала в любой части ряда оказывает влияние на все коэффициенты Фурье и все частоты.

Присутствие деталей такого рода в сигнале с учетом прямой связи между частотами в спектре и характерными масштабами процесса может заметно исказить интерпретацию результата. Обычно наличие дополнительных пиков в спектре связывается с наличием нескольких масштабов, которых в приведенном примере на самом деле нет — масштаб один.

Вейвлет-преобразование прекрасно справляется с такого рода особенностью, локализуя ее (см. картины коэффициентов и линий локальных максимумов на рис. 10а).

Сигнал 8. На рисунке 10б приведены результаты для сигнала, представляющего собой сумму двух синусоид с очень близкими частотами; наличие второй частоты проявляется лишь наклоненными линиями локальных максимумов. Подобные наклоны могут появиться и в результате низкочастотной модуляции, однако в таком случае не было бы характерной интерференционной картины скелетона, говорящей о реализации всех масштабов, присутствующих в сигнале.