3.3. Примеры вейвлетобразующих функций

Поскольку вейвлет-преобразование есть скалярное произведение анализирующего вейвлета на заданном масштабе и анализируемого сигнала, коэффициенты содержат комбинированную информацию об анализирующем вейвлете и анализируемом сигнале (как и коэффициенты преобразования Фурье, которые содержат информацию о сигнале и о синусоидальной волне).

Выбор анализирующего вейвлета, как правило, определяется тем, какую информацию необходимо извлечь из сигнала. Каждый вейвлет имеет характерные особенности во временном и в частотном пространстве, поэтому иногда с помощью разных вейвлетов можно полнее выявить и подчеркнуть те или иные свойства анализируемого сигнала.

Если продолжить уже упоминавшуюся аналогию с математическим "микроскопом", то параметр сдвига фиксирует точку фокусировки микроскопа, масштабный коэффициент а — увеличение и, наконец, выбором базисного вейвлета определяются оптические качества микроскопа.

Вещественные базисы часто конструируются на основе производных функции Гаусса:

(здесь ). Более высокие производные имеют больше нулевых моментов и позволяют извлечь информацию об особенностях более высокого порядка, содержащихся в сигнале.

На рисунке показаны вейвлеты, полученные при соответственно. Из-за их формы первый называют обычно -вейвлет, второй — МНАТ-вейвлет, или "Мексиканская шляпа" (Mexican hat — похож на сомбреро).

МНАТ-вейвлет, имеющий узкий энергетический спектр и два равных нулю момента (нулевой и первый), хорошо приспособлен для анализа сложных сигналов. Обобщенный на двумерный случай МНАТ-вейвлет часто используется для анализа изотропных полей. Если же производная берется лишь в одном направлении, получается неизотропный базис с хорошей угловой избирательностью [6]. Для построения такого базиса к масштабным преобразованиям и сдвигам базисного вейвлета необходимо добавить его вращение. При этом математический микроскоп (вейвлет-преобразование) приобретает еще и качества поляризатора с углом поляризации, пропорциональным углу поворота вейвлета.

На основе функции Гаусса строится также хорошо известный -вейвлет (Difference of Gaussians):

Рис. 2. Примеры часто используемых вейвлетов: (a) WAVE, (б) МНАТ, (в) Morlet, (г) Paul, (д) LMB, (е) Daubechies. Показаны вейвлеты в зависимости от времени (левая колонка) и их образы Фурье (правая колонка).

Примеры комплексных вейвлетов приведены на рис. 2в, (показаны их действительные составляющие). Наиболее часто используемый комплексный базис строится на основе хорошо локализованного в -пространстве вейвлета Морле (Morlet) [1]:

плоская волна, модулированная гауссианом единичной ширины. На рисунке 2в вейвлет Морле показан для . С увеличением ко возрастает угловая избирательность базиса, но ухудшается пространственная.

Часто применяемый в квантовой механике вейвлет Пауля (Paul) [8]

показан на рис. 2г для (чем больше тем больше нулевых моментов имеет вейвлет).

Представленные комплексные вейвлеты являются прогрессивными. Так называются вейвлеты, имеющие нулевые коэффициенты Фурье при отрицательных значениях волновых чисел. Они хорошо приспособлены для анализа сигналов, для которых важен принцип причинности: эти вейвлеты сохраняют направление времени и не создают паразитной интерференции между прошлым и будущим.

Отметим, что при анализе комплексного одномерного сигнала или при использовании комплексного анализирующего вейвлета в результате вейвлет-преобразования получаются двумерные массивы значений модуля коэффициентов и фазы:

На рисунке 2 д, е приведены примеры вейвлетов, которые часто служат основой для построения ортогональных дискретных базисов (типа (7)) с помощью процедуры Малла (Mallat) [9]: LMB-вейвлет, предложенный Лемарье, Мейером и Бэтлом (Lemarie, Meyer, Battle) [10, 11] и один из вейвлетов Добечи [5]. Это биортого-нальные вейвлеты, имеющие пару (двойника), необходимую для получения реконструкционной формулы. В цитированных работах представлены другие примеры таких вейвлетов и способы их конструирования.