Главная > Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

2. От преобразования Фурье к вейвлет-преобразованию

Интегральное преобразование Фурье и ряды Фурье являются основой гармонического анализа. Получаемые в результате преобразования коэффициенты Фурье поддаются достаточно простой физической интерпретации, причем простота ни в коем случае не умаляет важности последующих выводов о характере исследуемого сигнала. Применение интегрального преобразования и рядов Фурье (в вычислениях, аналитических преобразованиях) очень наглядно, все необходимые свойства и формулы выписываются с помощью всего двух действительных функций sin t, cos t (или одной комплексной — синусоидальной волны и достаточно легко доказываются.

Вейвлет-преобразование не так хорошо и широко известно, поскольку применяется сравнительно недавно и математический аппарат находится в стадии активной разработки. Поэтому для большей наглядности будем, следуя [4], вводить необходимые понятия вейвлет-анализа, проводя аналогии и сравнения с анализом Фурье, значимость и привлекательность которого для широкого круга исследователей неоспоримы и проверены временем.

Определения, свойства и их следствия приводятся для одномерных функций, рядов данных. При необходимости все сказанное может быть обобщено на многомерные случаи. Для определенности мы говорим о функциях, зависящих от времени, о временных рядах и, соответственно, о частотах. Однако без нарушения общности независимая координата может быть пространственной (с соответствующими волновыми числами) и любой другой.

2.1. Ряды Фурье

Напомним некоторые понятия, которые понадобятся нам в дальнейшем. Пусть — пространство квадратично интегрируемых функций с конечной энергией (нормой)

Это — определение кусочно-непрерывной функции . Она может быть периодически расширена и определена на всей оси так, что

Любая функция из пространства -периодиче-ских квадратично интегрируемых функций может быть представлена в виде ряда Фурье:

Коэффициенты в (2) имеют вид

и ряд (2) равномерно сходится к

Отметим, что

есть ортонормированный базис пространства построенный с помощью масштабного преобразования единственной функции таким образом, что

Итак, каждая -периодическая квадратично интегрируемая функция может быть получена суперпозицией масштабных преобразований базисной функции т.е. является композицией синусоидальных волн с различными частотами (с коэффициентами, зависящими от номера гармоники).

Напомним, что для коэффициентов рядов Фурье выполняется равенство Парсеваля

Categories

1
email@scask.ru