2. От преобразования Фурье к вейвлет-преобразованию

Интегральное преобразование Фурье и ряды Фурье являются основой гармонического анализа. Получаемые в результате преобразования коэффициенты Фурье поддаются достаточно простой физической интерпретации, причем простота ни в коем случае не умаляет важности последующих выводов о характере исследуемого сигнала. Применение интегрального преобразования и рядов Фурье (в вычислениях, аналитических преобразованиях) очень наглядно, все необходимые свойства и формулы выписываются с помощью всего двух действительных функций sin t, cos t (или одной комплексной — синусоидальной волны и достаточно легко доказываются.

Вейвлет-преобразование не так хорошо и широко известно, поскольку применяется сравнительно недавно и математический аппарат находится в стадии активной разработки. Поэтому для большей наглядности будем, следуя [4], вводить необходимые понятия вейвлет-анализа, проводя аналогии и сравнения с анализом Фурье, значимость и привлекательность которого для широкого круга исследователей неоспоримы и проверены временем.

Определения, свойства и их следствия приводятся для одномерных функций, рядов данных. При необходимости все сказанное может быть обобщено на многомерные случаи. Для определенности мы говорим о функциях, зависящих от времени, о временных рядах и, соответственно, о частотах. Однако без нарушения общности независимая координата может быть пространственной (с соответствующими волновыми числами) и любой другой.

2.1. Ряды Фурье

Напомним некоторые понятия, которые понадобятся нам в дальнейшем. Пусть — пространство квадратично интегрируемых функций с конечной энергией (нормой)

Это — определение кусочно-непрерывной функции . Она может быть периодически расширена и определена на всей оси так, что

Любая функция из пространства -периодиче-ских квадратично интегрируемых функций может быть представлена в виде ряда Фурье:

Коэффициенты в (2) имеют вид

и ряд (2) равномерно сходится к

Отметим, что

есть ортонормированный базис пространства построенный с помощью масштабного преобразования единственной функции таким образом, что

Итак, каждая -периодическая квадратично интегрируемая функция может быть получена суперпозицией масштабных преобразований базисной функции т.е. является композицией синусоидальных волн с различными частотами (с коэффициентами, зависящими от номера гармоники).

Напомним, что для коэффициентов рядов Фурье выполняется равенство Парсеваля