2.3. Обратное вейвлет-преобразование

Синусоидальная волна формирует ортонормированный базис функционального пространства и с обратным преобразованием Фурье проблем не возникает. Ортонормированность же базисов пространства построенных на основе вейвлетов, определяется и выбором базисного вейвлета, и способом построения базиса (значениями базисных параметров

Конечно же, вейвлет может считаться базисной функцией только в том случае, если построенный с его помощью базис ортонормирован и обратное преобразование существует. Однако строгие доказательства полноты и ортогональности сложны и громоздки, примеры этого можно видеть в [2-5], где разрабатывается теория вейвлет-преобразования. Кроме того, для практических целей часто достаточно бывает устойчивости и "приблизительной" ортогональности системы функций разложения, т.е. достаточно, чтобы она была "почти базисом". Как правило, для анализа сигналов используются такие "почти базисные" вейвлеты.

За подробным изложением и доказательствами отошлем к уже цитированным работам, здесь же выпишем обратное преобразование лишь для тех двух случаев, что описаны выше: для базиса (7), допускающего расширения и сдвиги и базиса (10), построенного при произвольных значениях

При базисных параметрах обратное вейвлет-преобразование записывается с помощью того же базиса (10), что и прямое:

— нормализующий коэффициент (аналогичный коэффициенту нормализующему преобразование Фурье):

(крышечкой сверху обозначается фурье-образ).

Условие конечности константы ограничивает класс функций которые могут быть использованы в качестве базисных вейвлетов. В частности, очевидно, что образ Фурье должен быть равен нулю в начале координат , следовательно, должен быть равен нулю по крайней мере нулевой момент:

Чаще всего в приложениях достаточно рассмотрения только положительных частот, т.е. вейвлет, соответственно, должен удовлетворять условию

В случае дискретного вейвлет-преобразования устойчивый базис определяется следующим образом.

Функция называется -функцией, если базис определенный выражением (7), является базисом Рисса (Riesz) в том смысле, что существуют две константы А и для которых соотношение

выполняется при любой (ограниченной, дважды квадратично суммируемой) последовательности :

Для любой -функции существует базис — "двойник" базиса (в том смысле, что с помощью которого можно построить рекон-струкционную формулу

Если — ортогональный вейвлет и — ортонормированный базис, то совпадают и формула (14) является формулой обратного преобразования. Если — не ортогональный вейвлет, но является двухместным или парным -вейвлетом (dyadic wavelet), то он имеет двойника с помощью которого двойник семейства строится подобно базису (7):

В общем же случае реконструкционная формула (14) даже не обязательно является вейвлет-рядом в том смысле, что не является вейвлетом и может не иметь базиса-двойника, построенного по типу (10).