3. Базисные функции вейвлет-преобразования

До сих пор термином "вейвлет" без определения обозначалась некая солитоноподобная функция, вводились связанные с нею понятия и описывались некоторые ее свойства. В литературе мы не встретили общепринятого удачного определения вейвлета. Для примера приведем наиболее простое [3], на наш взгляд, и опирающееся на уже введенные выше понятия.

3.1. Определение вейвлета

Любая локализованная -функция называется -вейвлетом (или просто вейвлетом), если для нее существует функция (ее пара, двойник) такая, что семейства построенные согласно (7) и (15), являются парными базисами функционального пространства

Каждый таким образом определенный вейвлет независимо от того, ортогональный он или нет, позволяет любую функцию представить в виде ряда (8), коэффициенты которого определяются интегральным вейвлет-преобразованием относительно .

Вейвлет-двойник единственный и сам является -вейвлетом. Пара симметрична в том смысле, что в свою очередь является двойником для

Если R-вейвлет обладает свойством ортогональности, то — ортогональный базис.

Для многих практических целей достаточно, чтобы вейвлет обладал свойством полуортогональности, т.е. чтобы его базис Рисса удовлетворял условию .

R-вейвлет называется неортогональным, если он не является полу ортогональным вейв летом. Однако, будучи -вейвлетом, он имеет двойника, и пара дает возможность сформировать семейства и удовлетворяющие условию биортогональности и позволяющие построить полноценные ряд по вейвлетам и реконструкционную формулу.

С необходимостью иметь обратное вейвлет-преобразование (или реконструкционную формулу) связано большинство ограничений, накладываемых на вейвлет.