1. Введение

Термин "вейвлет" (дословный перевод — маленькая волна) появился сравнительно недавно — его ввели Гроссман и Морле (Grossman & Morlet) в середине 80-х годов в связи с анализом свойств сейсмических и акустических сигналов [1]. В настоящее время семейство анализаторов, названных вейвлетами, начинает широко применяться в задачах распознавания образов; при обработке и синтезе различных сигналов, например, речевых; при анализе изображений самой различной природы (это могут быть изображение радужной оболочки глаза, рентгенограмма почки, спутниковые изображения облаков или поверхности планеты, снимок минерала и т.п.); для изучения свойств турбулентных полей; для свертки (упаковки) больших объемов информации и во многих других случаях.

Вейвлет-преобразование одномерного сигнала состоит в его разложении по базису, сконструированному из обладающей определенными свойствами солитоноподобной функции (вейвлета) посредством масштабных изменений и переносов. Каждая из функций этого базиса характеризует как определенную пространственную

(временную) частоту, так и ее локализацию в физическом пространстве (времени).

Таким образом, в отличие от традиционно применяемого для анализа сигналов преобразования Фурье вейвлет-преобразование обеспечивает двумерную развертку исследуемого одномерного сигнала, при этом частота и координата рассматриваются как независимые переменные. В результате появляется возможность анализировать свойства сигнала одновременно в физическом (время, координата) и в частотном пространствах. Сказанное легко обобщается на неодномерные сигналы или функции.

В зарубежной литературе уже принято спектр Фурье называть single spectrum в отличие от спектра, полученного на основе коэффициентов вейвлет-преобразования, — time-scale spectrum, или wavelet spectrum.

Область использования вейвлетов не ограничивается анализом свойств сигналов и полей различной природы, полученных численно, в эксперименте или при наблюдениях. Вейвлеты начинают применяться и для прямого численного моделирования — как иерархический базис, хорошо приспособленный для описания динамики сложных нелинейных процессов, характеризующихся взаимодействием возмущений в широких диапазонах пространственных и временных частот.

Результаты многочисленных экспериментов свидетельствуют о том, что при больших значениях числа Рейнольдса значительная часть объема турбулентной жидкости остается пассивной относительно диссипации энергии и, следовательно, относительно обратного ее каскада. Вейвлет-анализ оказывается очень удобным для анализа процессов с перемежаемостью. Он позволяет выявить пространственно распределенные свойства изучаемого объекта, определить наличие перемежаемости и распределение областей диссипации, получить локальную высокочастотную и глобальную крупномасштабную информацию об объекте и многое другое достаточно точно и без избыточности.

Известны трудности, встречающиеся при обработке коротких высокочастотных сигналов или сигналов с локализованными частотами. Вейвлет-преобразование оказывается очень удобным инструментом для адекватной расшифровки таких данных, поскольку элементы его базиса хорошо локализованы и обладают подвижным частотно-временным окном.

Далеко не случайно многие исследователи называют вейвлет-анализ "математическим микроскопом" — название прекрасно отражает замечательное свойство метода сохранять хорошее разрешение на разных масштабах. Способность этого "микроскопа" обнаружить внутреннюю структуру существенно неоднородного объекта и изучить его локальные скейлинговые свойства продемонстрирована на многих примерах, в частности, на таких классических, как фрактальные функции Вейерштрасса и вероятностные меры канто-ровских рядов. Применение вейвлет-анализа к турбулентному полю скорости в ветровом туннеле при больших числах Рейнольдса впервые дало наглядное подтверждение наличия каскада Ричардсона. Показано сходство энергетического каскадного процесса со структурой мультифрактальных неоднородных канторовских рядов. Еще более эффективным оказалось применение вейвлет-анализа к мультифрактальным инвариантным мерам некоторых хорошо известных динамических систем, моделирующих наблюдаемые в диссипативных системах ситуации перехода к хаосу.

Таким образом, вейвлеты могут с успехом применяться для решения различных проблем. Однако они еще недостаточно широко известны кругу исследователей, занимающихся анализом экспериментальных и натурных данных. В настоящей работе сделана попытка по возможности наглядно и просто изложить сведения из теории вейвлетов, необходимые при практическом применении вейвлет-преобразования для анализа сигналов различной природы.

В разделе 2 проведена аналогия между рядами Фурье и разложением в ряды по вейвлетам, введены основные определения вейвлет-преобразования. В разделе 3 описаны признаки и свойства функций, с помощью которых формируется базис вейвлет-преобразования, приведены примеры наиболее часто используемых вейвлетов. В разделе 4 перечислены свойства вейвлет-преобразования, введены некоторые физические характеристики и показаны некоторые возможности вейвлет-анализа. Материал основан, главным образом, на сборниках и монографиях [2-4] и прекрасных работах Ингрид Добечи (Ingrid Daubechies) [5] и Мари Фарж (Marie Farge) [6]. В разделе 5 приводятся примеры применения вейвлет-преобразования к модельным сигналам различного характера; в разделе 6 представлены результаты вейвлет-анализа натурных временных метеорологических рядов.