6.4. Суточные значения индекса Южного Колебания

Анализируемый ряд суточных значений индекса C(t) охватывает десятилетний отрезок времени (к сожалению, не принадлежащий дереву, описанному в разделе 6.3). На рисунке 15а, б представлены ряд суточных значений индекса C(t) и картина коэффициентов его вейвлет-преобразования (масштаб растет до 3 лет).

Сравнение показывает, что среднемесячные значения очень хорошо описывают межгодовую изменчивость

Рис. 15. Суточные значения индекса Южного Колебания за отмеченный линией на рис. 146 период, картина коэффициентов и распределение плотности энергии.

процесса и достаточно хорошо — годовой ход. Внутригодовая изменчивость гораздо лучше описывается подробным рядом, однако наиболее характерные детали прослеживаются на картинах коэффициентов вейвлет-преобразования обоих рядов.

Картина распределения плотности энергии индекса Южного Колебания (рис. 15в, здесь масштаб меняется до 1 года) показывает ярко выраженный годовой ход и существенно нестационарную структуру процесса на меньших временных масштабах. Подробный анализ выявляет в этой нестационарной структуре диапазоны локальных периодичностей процесса с масштабами около недели (большинство максимумов наблюдается на масштабах и дней), месяца 25 дней), 8-9 месяцев и около 2 лет месяца).

Эти и описанные в разделах 6.2 и 6.3 масштабы можно обнаружить на спектрах мощности, представленных на рис. 16. Здесь показаны спектры мощности, рассчитанные по коэффициентам преобразования Фурье (рис. 16а) и вейвлет-преобразования (рис. 16б) рядов среднемесячных (штриховые линии) и суточных (сплошные линии) значений Спектр мощности (см. формулу соответствует сглаженному на каждом масштабе спектру Фурье. Оба спектра имеют довольно большие отрезки со степенным поведением на масштабах от нескольких дней до месяца и от двух-трех месяцев до года.

Воспользуемся процедурой Такенса (теорией вложения нелинейных динамических систем [27]) для конструирования фазового пространства по временной реализации и построения возможного аттрактора.

Следуя Такенсу, сконструируем из -компонентные векторы состояния следующим образом:

Здесь — временная задержка. Распределение векторов состояния составляет реконструированное фазовое пространство размерности .

Двумерные проекции полученных траекторий показаны на рис. 17 для разных значений параметра временной задержки . Первые три портрета получены на основе ряда суточных значений, два последних — из ряда среднемесячных значений. Все траектории ограничены, однако не показывают явно периодической структуры. Характерные петельки видны на двух первых портретах, пропадают при задержке в один месяц и снова появляются при . В остальном портреты с задержкой равной одному и трем месяцам практически повторяют друг друга.

Рис. 16. Спектры мощности (а) и скалограммы (б) для среднемесячных (штриховые линии) и суточных (сплошные линии) значений C(t).

Таким образом, описываемый временным рядом процесс, как и большинство процессов в природе, происходит в очень широком диапазоне временных масштабов. Спектры Фурье анализируемого ряда достаточно зашумлены, однако на них выделяются пики вблизи выделенных характерных периодов (практически тех же, что и на спектрах мощности, полученных по коэффициентам вейвлет-преобразования). Картины распределения плотности энергии представленные выше, демонстрируют сложное нестационарное поведение процесса, наличие периодических и непериодических составляющих на разных масштабах.

Такой процесс может быть композицией стохастической компоненты и нескольких регулярных компонент.

Рис. 17. Проекции фазового пространства, полученные на основе рядов суточных и среднемесячных значений .

Портрет с задержкой , т.е. построенный на пределе или уж совсем за пределами возможностей длины имеющейся у нас реализации, отличается от предыдущих и интересен тем, что траектория этого аттрактора имеет три оси (можно представить себе динамическую систему с тремя стационарными решениями).

Ограниченность траекторий и не слишком большая размерность системы говорят о возможности построения модели процесса и хотя бы о принципиальной возможности предсказания его поведения на не слишком больших временах. Ясно, однако, что длина имеющихся реализаций не позволяет делать категорических выводов, а форма последней проекции говорит по крайней мере о необходимости анализа более представительных данных.