7. Заключение

Итак, на простых примерах применения вейвлет-преобразования для анализа одномерных функций с хорошо известными свойствами показаны некоторые возможности этого относительно нового математического аппарата, позволяющего выявить и наглядно показать структуру (квазипериодическую, автомодельную и т.д.) описываемого анализируемой функцией процесса и дающего информацию о характерных масштабах процесса.

То, что модельные примеры были одномерными рядами, не нарушает общности применения вейвлет-преобразования: определения и свойства преобразования легко переносятся на многомерные случаи, а независимая переменная (у нас — время) может быть любой скалярной или векторной величиной.

Масштабно-временная развертка, получающаяся в результате вейвлет-преобразования сигнала, позволяет выявить не только осцилляции с хорошо фиксированным

периодом, но и нестационарные осцилляции, локализованные периодичности и т.п.

Энергия (или дисперсия) коэффициентов вейвлет-преобразования пропорциональна дисперсии анализируемых данных и дает распределение энергии процесса по масштабам. Возможность получения этой характеристики локально позволяет, например, при анализе турбулентных процессов не только получить набор характерных масштабов, но и объективно определить масштабы, связанные с когерентными структурами, и исследовать перемежаемость процесса.

По коэффициентам вейвлет-преобразования, а также по значениям локальных экстремумов можно вычислить размерность анализируемого множества или спектр размерностей, если оно мультифрактально.

Фильтрационные и реконструкционные свойства преобразования позволяют оперировать информацией (сглаживание, разложение на компоненты, свертка и т.п.) без потери значимых деталей. Разрывы непрерывности, скачки и другие особенности, возникающие из-за вариаций измеряемой характеристики и сбоев или шума инструментов измерения, легко детектируются, локализуются и при необходимости могут быть устранены или скорректированы.

Возможности вейвлет-преобразования показаны также на примерах анализа некоторых натурных временных метеорологических рядов.

Вейвлет-преобразование представляется очень перспективным математическим аппаратом не только для задач, связанных с анализом сигналов различной природы, но и для решения уравнений, описывающих сложные нелинейные процессы с взаимодействиями в широких диапазонах масштабов.

Следует сказать, что вейвлет-преобразование ни в коем случае не является заменой гармонического анализа и не умаляет его достоинств. Оно просто иное и позволяет посмотреть на анализируемый процесс с несколько иной точки зрения — с точки зрения другого анализатора (семейства анализаторов).

В заключение автор благодарит Российский фонд фундаментальных исследований за частичную поддержку (грант № 93-01-17342) и Ю.А. Кравцова за внимание к работе и ценные замечания.